Курсовая по информатике______________. Исследование численных методов вычисления определенных интегралов
 Скачать 1.28 Mb.
|
1.4. Метод парабол (Симпсона). Значительное повышение точности приближенных формул численного интегрирования дает метод парабол (Симпсона). Идея метода исходит из того, что на частичном промежутке дуга некоторой параболы в общем случае теснее прилегает кривой y = f(x), чем хорда, соединяющая концы дуги этой кривой (метод трапеций). Поэтому значения площадей соответствующих элементарных трапеций, ограниченных сверху дугами парабол, являются более близкими к значениям площадей соответствующих частичных криволинейных трапеций, ограниченных сверху дугой кривой y = f(x), чем значения площадей соответствующих прямолинейных трапеций.Рис. 7. Геометрическая интерпретация метода парабол. Рассмотрим функцию y = f(x). Будем считать, что на отрезке [a; b] она положительна и непрерывна. Найдем площадь криволинейной трапеции aABb (рис. 7). Для этого разделим отрезок [a, b] точкой c =  пополам и в точке C(c, f(c)) проведем касательную к линии y = f(x). После этого разделим [a, b] точками p и q на три равные части и проведем через них прямые x = p и x = q. Пусть P и Q – точки пересечения этих прямых с касательной. Соединив A с P и B с Q, получим три прямолинейные трапеции aAPp, pPQq, qQBb. Тогда площадь трапеции aABb можно приближенно посчитать по следующей формуле: ,где  .Откуда получаем  .Заметим, что aA = f(a), bB = f(b), а pP + qQ = 2f(c) (как средняя линия трапеции), в итоге получаем малую формулу Симпсона  (8)В данном случае дуга ACB заменяется параболой, проходящей через точки A, P, Q, B. Малая формула Симпсона дает интеграл с хорошей точностью, когда график подынтегральной функции мало изогнут, в случаях же, когда дана более сложная функция, малая формула Симпсона непригодна. Тогда, чтобы посчитать интеграл заданной функции нужно разбить отрезок [a, b] на n частей и к каждому из отрезков применить формулу (8). Обязательным требованием, вытекающим из геометрического смысла метода парабол, является то, что n должно быть четным. Пусть  , точки деления будут х0=а, x1, x2, …xn-2, xn-1, xn=b, а y0, y1, …yn – соответствующие значения подынтегральной функции на отрезке [a, b].Тогда, применяя малую формулу Симпсона к каждой паре получившихся отрезков, имеем  Тогда  . (9)Заметим, что во всех выражениях  первый множитель равен  : (10)Сделав замену по формулам (10), вынося общий множитель за скобку, в (9) получаем:  группируем слагаемые  .Таким образом, получаем «большую» формулу Симпсона, которая имеет вид:   (11)Предлагаем для запоминания следующий вид формулы:   (11’)где Yкр = y0 + yn, Yнеч = y1 + y3 + … + yn-1, Yчет = y2 + y4 + … + yn-2, а .1.5. Правило Рунге оценки погрешности. В каждой конкретной задаче необходимо определить число точек деления n, необходимое для вычисления интеграла (1) с требуемой точностью ε. Для определения n удобно следующее правило Рунге. Пусть ε – заданная точность вычисления интеграла (1), тогда шаг h должен удовлетворять условию  (12)По этому значению h из соотношения  определяется n. При этом для метода Симпсона в качестве n берется ближайшее четное целое число, превосходящее  , а для методов прямоугольников и трапеций – ближайшее целое, превосходящее .Оценку погрешности можно провести также следующим методом Рунге. Пусть  - приближенное значение интеграла (1), вычисленное с шагом h, а  - значение этого интеграла, вычисленное с шагом 2h. Заметим, что чем меньше шаг h (а, следовательно, больше n), тем точнее получается приближенное значение интеграла.Если  , (13)где и вычислены по методу Симпсона, или , (14)где и вычислены по методу прямоугольников или трапеций, то в качестве приближенного значения интеграла (1) берут значение .Если неравенство для соответствующего метода не выполняется, то найденное значение интеграла не удовлетворяет заданной точности. Тогда проводят новые вычисления с шагом  и вновь проверяют выполнение неравенства (13) или (14). Этот прием многократного уменьшения шага применяют до тех пор, пока соответствующее неравенство не станет истинным. |