реф. РЕФЕРАТ9. Исследование функций содержание основные теоремы дифференциального исчисления 1 Локальные экстремумы функции
![]()
|
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ СОДЕРЖАНИЕ 1. Основные теоремы дифференциального исчисления 1.1 Локальные экстремумы функции 1.2 Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа 2. Исследование функций 2.1 Достаточные условия экстремума функции 2.2 Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точка перегиба 2.3 Асимптоты графика функции 2.4 Общая схема построения графика функции Литература 1. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 1.1 Локальные экстремумы функции Пусть задана функция у = f (х) на множестве Х и х0 – внутренняя точка множества Х. Обозначим через U(х0) окрестность точки х0. В точке х0 функция f (х) имеет локальный максимум, если существует такая окрестность U(х0) точки х0, что для всех х из этой окрестности выполнено условие f (х) £ f (х0). Аналогично: функция f (х) имеет в точке х0 локальный минимум, если существует такая окрестность U(х0) точки х0, что для всех х из этой окрестности выполнено условие f (х) ³ f (х0). Точки локальных максимума и минимума называются точками локальных экстремумов, а значения функции в них – локальными экстремумами функции. Пусть функция f (х) определена на отрезке [а, b] и имеет локальный экстремум на каком-то из концов этого отрезка. Тогда такой экстремум называется локальным односторонним или краевым экстремумом. В этом случае соответствующая окрестность является правой для «а» и левой для «b» полуокрестностью. Проиллюстрируем данные выше определения: ![]() На рисунке точки х1, х3 – точки локального минимума, точки х2, х4 – точки локального максимума, х = а – краевого максимума, х = b – краевого минимума. Заметим, что наряду с локальными минимумом и максимумом определяют так называемые глобальные минимумы и максимумы функции f(х) на отрезке [a, b]. На рисунке точка х = а – точка глобального максимума (в этой точке функция f(х) принимает наибольшее значение на отрезке [a, b]), точка х = х3 – точка соответственно глобального минимума. 1.2 Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа Рассмотрим некоторые теоремы, которые позволят в дальнейшем проводить исследование поведения функций. Они носят названия основных теорем математического анализа или основных теорем дифференциального исчисления, поскольку указывают на взаимосвязь производной функции в точке и ее поведения в этой точке. Рассмотрим теорему Ферма. Пьер Ферма (1601–1665) – французский математик. По профессии – юрист. Математикой занимался в свободное время. Ферма – один из создателей теории чисел. С его именем связаны две теоремы: великая теорема Ферма (для любого натурального числа n > 2 уравнение хn + yn = zn не имеет решений в целых положительных числах х, у, z) и малая теорема Ферма (если р – простое число и а – целое число, не делящееся на р, то а р-1 – 1 делится на р). Теорема Ферма. Пусть функция f (х) определена на интервале (а, b) и в некоторой точке х0 Î (а, b) имеет локальный экстремум. Тогда, если в точке х0 существует конечная производная f '(x0), то f '(x0) = 0. Доказательство. Пусть, для определенности, в точке х0 функция имеет локальный минимум, то есть f (х) ³ f (х0), х Î U(х0). Тогда в силу дифференцируемости f (х) в точке х0 получим: при х > х0: ![]() при х < х0: ![]() Следовательно, эти неравенства в силу дифференцируемости имеют место одновременно лишь когда ![]() Теорема доказана. Геометрический смысл теоремы Ферма: если х0 Î (а, b) является точкой минимума или максимума функции f (х) и в этой точке существует производная функции, то касательная, проведенная к графику функции в точке (х0, f (х0)), параллельна оси Ох: ![]() Заметим, что оба условия теоремы Ферма – интервал (а, b) и дифференцируемость функции в точке локального экстремума – обязательны. Пример 1. у = çх÷, х Î (–1; 1). В точке х0 = 0 функция имеет минимум, но в этой точке производная не существует. Следовательно, теорема Ферма для данной функции неверна (не выполняется условие дифференцируемости функции в точке х0). Пример 2. у = х3, х Î [–1; 1]. В точке х0 = 1 функция имеет краевой максимум. ![]() ![]() Мишель Ролль (1652–1719) – французский математик, член Парижской академии наук. Разработал метод отделения действительных корней алгебраических уравнений. Теорема Ролля. Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [а, b], дифференцируема на (а, b), f (а) = f(b). Тогда существует хотя бы одна точка x, а < x < b, такая, что f '(x) = 0. Доказательство: 1) если f (x) = const на [a, b], то f '(х) = 0, х Î (a, b); 2) если f (x) ¹ const на [a, b], то непрерывная на [a, b] функция достигает наибольшего и наименьшего значений в некоторых точках отрезка [a, b]. Следовательно, max f (x) или min f (x) обязательно достигается во внутренней точке x отрезка [a, b], а по теореме Ферма имеем, что f '(x) = 0. Теорема доказана. Геометрический смысл теоремы Ролля: при выполнении условий теоремы внутри отрезка [a, b] обязательно найдется хотя бы одна точка x, такая, что касательная к графику f (x) в точке (x, f (x)) ïï Ox (см. рисунок). Заметим, что все условия теоремы существенны. ![]() Пример 3. f (x) = çх÷, х Î [-1; 1]. f (-1) = f (1) = 1. В точке х = 0 нарушено условие дифференцируемости. Следовательно, теорема Ролля не применяется – ни в одной точке отрезка [–1; 1] производная в нуль не обращается. Пример 4. ![]() Для данной функции f(0) = f(1) = 0, но ни в одной точке интервала (0; 1) производная не равна 0, так как теорема Ролля не выполняется – функция не является непрерывной на [0; 1]. Огюстен Коши (1789–1857) – французский математик, член Парижской академии наук, почетный член Петербургской и многих других академий. Труды Коши относятся к математическому анализу, дифференциальным уравнениям, алгебре, геометрии и другим математическим наукам. Теорема Коши. Пусть функции f (х) и g(х) непрерывны на отрезке [a, b] и дифференцируемы на интервале (a, b), причем g'(х) ¹ 0, х Î (a, b). Тогда на (a, b) найдется точка x, такая, что ![]() Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию ![]() ![]() ![]() Следовательно: ![]() Теорема доказана. Жозеф Луи Лагранж (1736–1813) – французский математик и механик, почетный член Парижской и Петербургской академий. Ему принадлежат выдающиеся исследования по математическому анализу, по различным вопросам дифференциальных уравнений, по алгебре и теории чисел, механике, астрономии. Лагранж впервые ввел в рассмотрение тройные интегралы, предложил обозначения для производной (y', f '(x)). Теорема Лагранжа. Пусть функция f(х) непрерывна на [a, b], дифференцируема на интервале (a, b). Тогда на (a, b) найдется точка x, такая, что ![]() ![]() Доказательство. Из формулы (1) при g(x) = x получаем формулу (2). Теорема доказана. Равенство (2) называют формулой конечных приращений или формулой Лагранжа о среднем. Геометрический смысл теоремы Лагранжа. При выполнении условий теоремы внутри отрезка [a, b] обязательно найдется хотя бы одна точка x, такая, что касательная к графику функции f (x) в точке (x, f (x)) параллельна секущей, проходящей через точки А (а, f (а)) и В (b, f(b)) (см. рисунок). Рассмотрим следствия из теоремы Лагранжа: 1. (условие постоянства функции на отрезке). Пусть функция f (x) непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b). Если f '(x) = 0, х Î (a, b), то функция f (x) постоянна на [a, b]. ![]() 2. Пусть функции f (x) и g(х) непрерывны на отрезке [a, b], дифференцируемы на интервале (a, b), f '(x) = g'(х), х Î (a, b). Тогда f (x) = g(х) + С, где С = const. 3. (условие монотонности функции). Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируемая на интервале (a, b). Тогда, если f '(x) > 0, х Î (a, b), то f (x) строго монотонно возрастает на (a, b). Если же f '(x) < 0, х Î (a, b), то f (x) строго монотонно убывает на (a, b). 2. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 2.1 Достаточные условия экстремума функции В лекции 1 мы рассмотрели основные теоремы математического анализа, которые широко используются при исследовании функции, построении ее графика. По теореме Ферма: из дифференцируемости функции f (x) в точке локального экстремума х0 следует, что f '(x0) = 0. Данное условие является необходимым условием существования в точке локального экстремума, то есть если в точке х0 – экстремум функции f (x) и в этой точке существует производная, то f '(x0) = 0. Точки х0, в которых f '(x0) = 0, называются стационарными точками функции. Заметим, что равенство нулю производной в точке не является достаточным для существования локального экстремума в этой точке. Пример 1. у = х3, у' = 3х2, у'(0) = 0, но в точке х0 = 0 нет экстремума. Точками, подозрительными на экстремум функции f (x) на интервале (a, b), являются точки, в которых производная существует и равна 0 либо она не существует или равна бесконечности. На рисунках функции имеют минимум в точке х0 = 0: ![]() f '(0) = 0 f '(0) $ f '(0) = ¥ Рассмотрим достаточные условия существования в точке локального экстремума, которые позволят ответить на вопрос: «Есть ли в точке экстремум и какой именно – минимум или максимум?». Теорема 1 (первое достаточное условие экстремума). Пусть непрерывная функция f (x) дифференцируема в некоторой проколотой окрестности U(x0) точки х0 (проколотая окрестность означает, что сама точка х0 выбрасывается из окрестности) и непрерывна в точке х0. Тогда: 1) если ![]() то в точке х0 – локальный максимум; 2) если ![]() то в точке х0 – локальный минимум. |