реф. РЕФЕРАТ9. Исследование функций содержание основные теоремы дифференциального исчисления 1 Локальные экстремумы функции
 Скачать 0.94 Mb.
|
|
Теорема 6. Для того чтобы прямая у = kx + b являлась наклонной асимптотой графика функции f (х) при х ® +¥ или х ® – ¥, необходимо и достаточно существование конечных пределов:  (4)Следовательно, если хотя бы один из данных пределов не существует или равен бесконечности, то функция не имеет наклонных асимптот. Пример 7. Найти наклонные асимптоты функции  Решение. Найдем пределы (4):  Следовательно, k = 1.  Следовательно, b = 0. Таким образом, функция  имеет наклонную асимптоту у = kx + b = 1 · х + 0 = х. Ответ: у = х – наклонная асимптота. Пример 8. Найти асимптоты функции  .Решение. а) функция неопределенна в точках х1 = –1, х2 = 1. Следовательно, прямые х1 = –1, х2 = 1 – вертикальные асимптоты данной функции. Действительно,  . ;б) у = kx + b.   Следовательно, у = 2х + 1 – наклонная асимптота данной функции. Ответ: х1 = –1, х2 = 1 – вертикальные, у = 2х + 1 – наклонная асимп- тоты. 2.4 Общая схема построения графика функции 1. Находим область определения функции. 2. Исследуем функцию на периодичность, четность или нечетность. 3. Исследуем функцию на монотонность и экстремум. 4. Находим промежутки выпуклости и точки перегиба. 5. Находим асимптоты графика функции. 6. Находим точки пересечения графика функции с осями координат. 7. Строим график. Прежде чем перейти к примерам, напомним определения четности и нечетности функции. Функция у = f (х) называется четной, если для любого значения х, взятого из области определения функции, значение (–х) также принад-лежит области определения и выполняется равенство f (х) = f (–х). График четной функции симметричен относительно оси ординат. Функция у = f (х) называется нечетной для любого значения х, взятого из области определения функции, значение (–х) также принадлежит об-ласти определения, и выполняется равенство f (–х) = –f (х). График не-четной функции симметричен относительно начала координат. Пример 9. Построить график .Решение. Мы используем данные, полученные для этой функции в других примерах. 1. D (у) = (–¥; 0) È (0; +¥). 2.  Следовательно, функция нечетная. Ее график будет симметричен относительно начала координат.3. (см. пример 2). Исследуем функцию на монотонность и экстремум:
max min 4. (см. пример 5). Исследуем функцию на выпуклость и найдем точки перегиба.
Несмотря на то, что функция поменяла характер выпуклости при переходе через точку х = 0, но в ней нет перегиба, так как в этой точке функция не определена. 5. (см. примеры 6 и 7). Найдем асимптоты функции: а) х = 0 – вертикальная асимптота; б) у = х – наклонная асимптота. 6. Точек пересечения с осями координат у данной функции нет, так как  , при любых х Î ú, а х = 0 Ï D(у).7. По полученным данным строим график функции:  Пример 10. Построить график функции  .Решение. 1. D(у) = (–¥; –1) È (–1; 1) È (1; +¥). 2.  – функция нечетная. Следовательно, график функции будет симметричен относительно начала координат.3. Исследуем функцию на монотонность и экстремум:  3х2 – х4 = 0, х2 · (3 – х2) = 0, х1 = 0, х2 =  , х3 =  .
4. Исследуем функцию на выпуклость и точки перегиба:   х = 0 – точка, подозрительная на перегиб.
5. Найдем асимптоты функции: а) х = –1, х = 1 – вертикальные асимптоты. Действительно:   б) у = kx + b.  , Þ у = –1х + 0 = – х – наклонная асимптота. 6. Найдем точки пересечения с осями координат: х = 0 Þ у = 0 Þ (0; 0) – точка пересечения с осями координат. 7. Строим график:  ЛИТЕРАТУРА Гусак А. А. Математический анализ и дифференциальные уравнения. Минченков Ю. В. Высшая математика. Производная функции. Дифференциал функции: Учебно-методическое пособие. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
)
)