Задания по курсачу матан. Исследование и построить график функции Построить график функции в полярной системе координат
 Скачать 2.8 Mb.
|
|
Вариант 30 1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя: а)  ; б)  .2. Провести исследование и построить график функции  .3. Построить график функции в полярной системе координат  . 4. Найти радиус основания  и высоту  прямого кругового цилиндра, вписанного в сферу единичного радиуса и имеющего среди всех таких цилиндров наибольшую полную поверхность. 5. Вычислить  функции  .6. Оценить с помощью формулы Тейлора абсолютную погрешность приближенной формулы:  ,  . 7. Составить уравнения касательной и нормали к кривой  в точке  и вычислить  .8. Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции:  .9. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора:  .10. Удовлетворяют ли функции  и  условиям теоремы Коши на отрезке  ? 11. По графику функции построить график ее первой производной  Решение типового варианта по дифференциальному исчислению. 1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:   Это есть неопределённость вида  Обозначив выражение под знаком пре-дела через  рассмотрим  Значит,  .2. Провести исследование и настроить график функции:  Область определения:  функция является нечетной; она непрерывна для всех  , поэтому её график вертикальных асимптот не имеет; наклонные и горизонтальные асимптоты:  т.е. при  асимптотой является прямая  а при  асимптотой является прямая  Далее имеем:  знаки     т.е. функция возрастает на интервалах  и  и убывает на интер-вале   является точкой максимума, а  является точкой мини-мума:  знаки   т.е. график функции будет выпуклым на интервале  , и вогнутым на интервале  точка  будет точкойперегиба графика;  График функции будет иметь вид:  3. Построить график функции в полярной системе координат:  График строится “по точкам” с учетом того, что  возрастает при то есть при  и убывает при  то есть при    и так далее. В итоге, график будет иметь вид: 4. Найти радиус основания и высоту конуса наименьшего объема, описан- ного около сферы единичного радиуса.  .Из подобия треугольников    т.к.  то отсюда   О Теперь     и  где  Найдем, при каком эта функция будет наименьшей:  т.к.  то отсюда  Знаки     Значит,  убывает на  и возрастает на  и функция будет наименьшей при Тогда   Таким образом,  5. Вычислить  функции  . Разделим числитель на знаменательи разложим оставшуюся правильную дробь на простые:  при  отсюда  при  отсюда  Таким образом,  Теперь легко найти искомую произ-водную:  Теперь вычислим функции  .Используя формулу Лейбница при  имеем: (все остальные члены будут равны  ); 6. Используя формулу Тейлора 2-ого порядка, вычислить приближенно  идоказать, что при этим погрешность допускает оценку   Далее используем формулу  в которой    между  и  Отбрасывая остаточный член  имеем приближенно  Погрешность этих вычислений допускает оценку  т.к.наибольшее значение этой дроби будет при наименьшем её знаменателе, т.е. при  .7. Составить уравнения касательной и нормали к кривой  в точке  и вычислить   Уравнение касательной имеет вид  Уравнение нормали имеет вид  Далее имеет:   .8. Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции:  , т.е. дифференцируем это равенство по  откуда  Дифференцируем это равенство по еще раз:  .9. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора:  Это есть неопределённость вида  Обозначим  тогда наш предел будет равен  что в силу 1-ого замечательного предела  приводит к  Далее используем готовые разложения  и  подставляя в них вместо  соответственно, получим  Теперь исходный предел будет равен  поскольку последний предел, согласно определению бесконечно малой более высокого порядка, равен  то получаем ответ:  10. Написать формулу Лагранжа для функции  и найтисоответствующую точку  Формула Лагранжа имеет вид  для нашей функции будем иметь  т.е.  и  11. По графику функции построить график её первой производной. Под графиком функции будем строить график её производной, учитывая что: - на интервалах возрастания функции и её производная положительна, а на интервале убывания  это производная отрица-тельна; -точки  и  являются точками экстремума функции, значит производная функции в этих точках равна или не существует:  несуществуют, т.к. в этой график функции имеет вертикальную касательную, а в силу того, что производная – это угловой коэффициент касательной,  - аналогично, т.к. график функции имеет вертикальную касательную и в точке  , то в этой точке производная также имеет бесконечный разрыв; - т.к. при  график функции имеет асимптоту (предположительно ), то график её производной будет иметь горизонтальную асимптоту т.е.   Рис. 1.  Рис. 2. |