Ряды в комплексной области. Исследование комплексных рядов 20 заключение 28 список литературы 29

• Название: Исследование комплексных рядов 20 заключение 28 список литературы 29
• Анкор: Ряды в комплексной области
• Дата: 28.02.2021
• Размер: 0.56 Mb.
• Имя файла: 000160f6-7072cdd0.docx
• Тип: Исследование; #180493
• страница: 1 из 3

Титул

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 3

ПОНЯТИЕ РЯДОВ В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ 4

ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ 16

ПРАКТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ РЯДОВ 20

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 28

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 29

ВВЕДЕНИЕ

Исследование функциональных рядов позволяет решать множество прикладных задач. Наиболее широкое применение сегодня находит теория вычетов, которая применяется как в теоретических изыскания, так и в практических разработках, связанных с машиностроением, теорией упругости и многим другим.

Несмотря на то, что данные теории уже давно изучены, прикладное применение использования рядов в комплексной области, а также теории вычетов все более расширяется.

Целью работы является изучение теоретических и практических основ применения рядов в комплексной области.

В ходе работы решаются следующие задачи:

1. Рассмотреть теоретические аспекты и базовые понятия комплексных рядов;

2. Проанализировать теоретическое применение рядов к теории вычетов;

3. Привести примеры анализа и решения задач по теме.

ПОНЯТИЕ РЯДОВ В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ

Ряд

, (1)

членами которого являются комплексные числа, называется числовым рядом (в комплексной области). Ряд (1) можно записать в виде



где и  действительные числа.

Сумма



первых членов ряда (1) называется частичной суммой ряда.

Если существует конечный предел последовательности частичных сумм ряда:



то ряд (1) называется сходящимся, а суммой ряда; если не существует, то ряд (1) называется расходящимся.

Очевидно, что ряд (1) сходится тогда и только тогда, когда сходится каждый из рядов

(2)

(3)

При этом где сумма ряда (2), а сумма ряда (3). Это означает, что исследование сходимости ряда с комплексными членами сводится к исследованию сходимости рядов (2), (3) с действительными членами.

В теории рядов с комплексными членами основные определения, многие теоремы и их доказательства аналогичны соответствующим определениям и теоремам из теории рядов с действительными членами.

Приведем некоторые из них.

Теорема.(необходимый признак сходимости ряда).

Если ряд (1) сходится, то его общий член при стремится к нулю, т.е.

Ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд

(3)

Теорема.

Если сходится ряд (3), то абсолютно сходится ряд (1).

При исследовании на сходимость рядов с комплексными членами применимы все известные из действительного анализа признаки сходимости знакопостоянных рядов.

Признак Даламбера.

Если существует , то при ряд (3) абсолютно сходится, а при  расходится.

Степенным рядом в комплексной области называется ряд

, (4)

или ряд , (5)

где комплексные числа (коэффициенты ряда),

Ряды (4) и (5) при одних значениях аргумента могут сходиться, при других  расходиться.

Совокупность всех значений , при которых ряд (4) [(5)] сходится, называется областью сходимости этого ряда.

Теорема (Абеля).

Если степенной ряд (4) сходится при (в точке , то он абсолютно сходится при всех значениях , удовлетворяющих условию

Следствие.

Если ряд (4) расходится при , то он расходится при всех значениях , удовлетворяющих условию , т.е. вне круга радиуса с центром в начале координат.

Из теоремы Абеля следует, что существует такое число , что при всех , для которых , степенной ряд (4) абсолютно сходится. Эти точки лежат на комплексной плоскости внутри круга радиуса с центром в точке

Величина называется радиусом сходимости ряда, круг называется кругом сходимости ряда, вне этого круга ряд расходится, а на границе  может как сходиться, так и расходиться.

Если , то ряд (4) сходится в точке , если , то ряд сходится на всей комплексной плоскости. Для ряда (28) кругом сходимости является круг с центром в точке .

Радиус сходимости находится по формулам:

.

Свойства ряда (4), (5):

1. 
   Сумма степенного ряда внутри круга его сходимости есть аналитическая функция;
   
2. 
   Степенной ряд внутри круга сходимости можно почленно дифференцировать и почленно интегрировать любое число раз, полученный при этом ряд имеет тот же радиус сходимости, что и исходный ряд.
   

Теоремаю

Всякая аналитическая в круге функция может быть единственным образом разложена в этом круге в степенной ряд

, (6)
, (7)

где  произвольная окружность с центром в точке , лежащая внутри круга.

Степенной ряд (6) называется рядом Тейлора для функции в рассматриваемом круге.

Приведем разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора (Маклорена):











Первые три разложения справедливы во всех точках комплексной плоскости, последние два – в круге

Заменив на в разложении функции , получим:

т.е. формулу Эйлера

Теорема Тейлора (о разложении функции в степенной ряд).

Функция, аналитическая в области комплексных чисел D, в окрестности каждой точки z₀ этой области представляется в виде степенного ряда:
 (7)

радиус сходимости R которого не меньше, чем расстояние от точки z₀ до границы области D. 
Такой степенной ряд называется рядом Тейлора.

Коэффициенты ряда Тейлора вычисляются по формуле:

 (8)

где   - произвольный контур, принадлежащий области D и охватывающий точку z₀ (в частности,   - окружность  ), или по формуле:

 (9)

Радиус сходимости ряда Тейлора равен расстоянию от точки z₀ до ближайшей особой точки функции.

Для вычисления радиуса сходимости ряда Тейлора можно также использовать формулы:

      

Основные разложения.

   (z принадлежит области комплексных чисел);

   (z принадлежит области комплексных чисел);

   (z принадлежит области комплексных чисел);

   (z принадлежит области комплексных чисел);

   (z принадлежит области комплексных чисел);



Теорема Лорана (о разложении функции в ряд по целым степеням).

Функция f(z), аналитическая в кольце

r < | z - z₀ | < R,    

представляется в этом кольце сходящимся рядом по целым степеням, т.е. имеет место равенство:

         (10)

Коэффициенты ряда вычисляются по формуле:  (11)

где   - произвольный контур, принадлежащий кольцу и охватывающий точку z₀; в частности, 
- окружность   

Ряд (10), коэффициенты которого вычисляются по формуле (11), называется рядом Лорана функции f(z).

Совокупность членов ряда с неотрицательными степенями    называется правильной частью ряда Лорана, члены с отрицательными степенями образуют главную часть ряда Лорана:

  или   

Для коэффициентов ряда имеет место формула оценки коэффициентов - неравенство Коши:

  где   

r  -  радиус контура интегрирования в формуле (11).

На границах кольца сходимости ряда Лорана есть хотя бы по одной особой точке функции f(z) - его суммы.

Частными случаями рядов Лорана являются разложения функции в окрестности особой точки z₀ (r= 0) и в окрестности бесконечно удаленной точки (z₀ = 0,  ).

При построении разложений в ряд Лорана используются разложения в степенные ряды (ряды Тейлора), используются основные разложения и арифметические операции со сходящимися рядами.

Рассмотрим элементы теории рядов Фурье для комплексных функций, т.е. функций вида , где i – мнимая единица, – вещественные функции вещественного аргумента. Обозначим символом множество комплексных кусочно-непрерывных функций, определенных на промежутке .

Скалярным произведением функций назовем комплексное число

,

где – функция, комплексно сопряженная с функцией .свойства скалярного произведения комплексных функцийследующие:

1.

2. билинейность

, .

Как и ранее, функции f и g будем называть ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

Определение нормы функции оставим прежним, так что

.

Свойства нормы, претерпевшие изменения при переходе от вещественных функций к комплексным, следующие:

1. теорема косинусов.

или в более общем виде

. (12)

 2. Обобщенная теорема Пифагора.Если , то

.

3. Неравенство Коши – Буняковского.Если функции и непрерывны, то .

В самом деле, если , то на , и доказываемое неравенство выполняется. Пусть . Число очевидно, не отрицательно. С другой стороны, по формуле (12), где и , имеем



.

Таким образом, , а так как , то , что и требовалось доказать.

Пусть теперь система комплексных функций

(13)

ортогональна на промежутке . Сопоставим функции ее ряд Фурье

 

(14)

где коэффициенты Фурье

.

Введем обозначения: – частичная сумма ряда Фурье; – произвольная линейная комбинация функций где .

Тогда, так же, как для вещественных функций выполняется неравенство

(15)

где , причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда , т.е. среди всех функций функция дает наилучшее среднеквадратическое приближение к функции .

Сходимость ряда в среднем и замкнутость системы функций определяются

а) если для некоторой функции выполняется равенство Парсеваля

, (16)

 то ряд (14) сходится в среднем к , т.е. ;

б) ортогональная система функций (13) называется замкнутой на промежутке , если равенство Парсеваля выполняется для каждой функции из .

Введем в рассмотрение систему комплексных функций

. (17)

Свойства системы функции(17) следующие:

1. .

2. Функции являются 2L -периодичными: .

3. Система функций (17) ортогональна на промежутке [–L , L ]. Действительно, при



.

Здесь использована формула .

4. .

Ряд Фурье для функции по системе функций (17) имеет вид

  , (18)

где коэффициенты Фурье

. (19)

Система функций (17) замкнута на [–L , L ] , поэтому для нее справедливы следующие утверждения:

а) ряд (18) сходится в среднем к ,

б) для любой функции из выполняется равенство Парсеваля ,

в) среднеквадратическая погрешность, возникающая при замене функции частичной суммой ее ряда Фурье,

.

Теорема Дирихле. Если вещественная и мнимая части функции удовлетворяют на промежутке [–L , L ] условиям Дирихле, то функция является суммой своего ряда Фурье:

. (20)

 Комплексная форма тригонометрического ряда Фурье

Пусть вещественная функция удовлетворяет условиям Дирихле на промежутке [–L , L ]. Запишем ее разложение в тригонометрический ряд Фурье:

, (21)

где



. (22)

Если в (2.1) выразить и через показательную функцию от мнимого аргумента:



 

то получим ряд

, (23)

где в силу (22)

;

;



=

Последние три формулы можно объединить:

. (24)

Ряд (23) с коэффициентами (24) называется тригонометрическим рядом Фурье в комплексной форме.