Ряды в комплексной области. Исследование комплексных рядов 20 заключение 28 список литературы 29

• Название: Исследование комплексных рядов 20 заключение 28 список литературы 29
• Анкор: Ряды в комплексной области
• Дата: 28.02.2021
• Размер: 0.56 Mb.
• Имя файла: 000160f6-7072cdd0.docx
• Тип: Исследование; #180493
• страница: 3 из 3

ПРАКТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ РЯДОВ

Найти область сходимости рядов:

1. 
   
   

Решение: Здесь Данный ряд сходится в области

2. 
   и исследовать сходимость ряда в точках
   

Решение: Здесь

Ряд сходится при всех , удовлетворяющих неравенству т. е. Кругом сходимости является круг с центром в точке и радиусом равным 1.

Точка лежит внутри круга сходимости, в этой точке ряд сходится абсолютно. Точка лежит на границе круга сходимости, в этой точке ряд может сходится (абсолютно или условно) и расходиться. Подставляя значение в выражение общего члена ряда, получим Числовой ряд с общим членом расходится согласно интегральному признаку Коши. Следовательно, в точке степенной ряд расходится.

Точка лежит вне круга сходимости, ряд в этой точке расходится.

Записать разложение по степеням z функции f (z) = ch z.

Найдем производные функции:

f ⁽ⁿ⁾ (z) = ch⁽ⁿ⁾ z = ch z при n = 2k,

f ⁽ⁿ⁾ (z) = ch⁽ⁿ⁾ z = sh z при n = 2k-1.

В данном примере z₀ = 0. По формуле (3) имеем:

C_n = 0 при n = 2k; C_n = 1/n! при n = 2k-1;

.

Так как ch z - аналитическая функция в области действительных чисел, то радиус R равен бесконечности. В результате имеем:

 (z принадлежит области действительных чисел).

Разложить по степеням (z-3) функцию f(z) = sin z.

Обозначим z-3 = t. Используя тригонометрическую формулу для функции sin (3+t), получим:

sin(3+t) = sin3 cos t+cos3 sin t.

Используя основные разложения, имеем:



Так как t = z-3, то   



т.е.    

где         

Разложить функцию     в ряд Лорана по степеням z.

Решение.Так как функция является рациональной дробью, то особыми точками являются нули знаменателя, т.е. z₁ = -1 и z₂ = 3. Запишем функцию в виде


Кольца аналитичности | z | < 1, 1 < | z | < 3, | z | > 3.

Раскладываем дробь на элементарные дроби:


При | z | < 1 имеем:




Таким образом, в круге | z | < 1 функция раскладывается в ряд Тейлора:


В кольце 1 < | z | < 3:



В итоге имеем:   

В круге | z | > 3:  
      

В итоге имеем:   

Разложить функцию f(z) = z³·e^1/z в окрестности точки z₀ = 0.

Решение.Из основного разложения      получаем 





Или



Вычислить вычет функции f (z) = (z+2)/(z²-2z-3) в точке z = 3.

Решение.

Разложим функцию в ряд Лорана по степеням z - 3:


Из этого разложения находим   

Заметим, что здесь точка z = 3 - простой полюс.

Вычислить вычет функции f(z) в точке z = 0,   

Решение.

Запишем   

т.е. z = 0 - устранимая особая точка. Следовательно,   

Вычислить вычет функции   

Так как     то z = 0 для f(z) - полюс второго порядка. Следовательно,

 



Вычислить вычет функции f(z) = ctg 2z во всех ее особых точках.

Решение.

В точках     данная функция имеет полюсы первого порядка (простые полюсы), поскольку

 



Следовательно, 


Вычислить вычет функции   

Решение.

Разложим замкнутую функцию в ряд Лорана в окрестности z = 1: 


Из этого разложения следует, что z = 1 является существенной особой точкой и 

С _-1 = 3/2, т.е.   

Разложить функцию , где – комплексное число, в ряд Фурье на промежутке .

Решение. Найдем коэффициенты Фурье:

 



.

Поскольку , то

,

= .

Искомое разложение будет иметь вид

, (25)

где учтено, что

.

Применяя к ряду (25) равенство Парсеваля

, (26)

можно найти сумму еще одного числового ряда. Действительно, в нашем случае

  ;

.

Тогда из (26) следует

.

Принята, особенно в электротехнике и радиотехнике, следующая терминология. Выражения называют гармоникой, иногда так же называют комплексной гармоникой, называют волновыми числами. Совокупность волновых чисел называется спектром. Если обкладывать эти числа на числовой оси, то получим совокупность отдельных точек. Такую совокупность называют дискретной, а соответствующий спектр дискретным.

Ряды Фурье применяются при разработке радиоэлектронных систем управления и наведения различных зенитно-ракетных комплексов, космических аппаратов, при расчетах заданных параметров управления полетом.

Представить рядом Фурье в комплексной форме функцию





Рисунок 1



 

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Первая часть работы базируется на фундаментальных трудах по функциональному анализу и теории функций комплексного переменного, в ней даны основные понятия и определения, доказаны базовые теоремы, содержащие сведения о комплексных рядах.

Вторая глава включает в себя анализ теории вычетов и применение рядов к вычислению вычетов аналитических функций.

В третьей главе даны примеры практического применения рассмотренных теорий.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Араманович И.Г., Лунц Г.Л., Эльсгольц Л.Э. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. - М.: Наука, 1966.-331с.

2. Волков И.К., Канатников А.Н. Интегральные преобразования и операционное исчисление. Учебник для вузов (под ред. В.С.Зарубина и А.П. Крищенко). – М.: МГТУ, – 1996. (Серия «Математика в техническом университете», вып. XI).

3. Волковыский Л. И., Лунц Г. Л., Араманович И. Г. Сборник задач по теории функций комплексного переменного. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002.

4. Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. 13-е издание, испр. М.: Изд-во Моск. ун-та, ЧеРо, 1997.

5. Евграфов М. А. и др. Сборник задач по теории аналитических функций. М.: Наука, физ.-мат. лит., 1972.

6. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. Задача и упражнения. – М.: Наука, 1981. – 215с.

7. Мышкис А.Д. Математика для втузов. Специальные курсы. – М.: Наука, 1971. – 632с.

8. Сборник задач по математике для втузов. Специальные разделы математического анализа. Под ред.Ефимова А.В., Демидовича Б.П., т.2. – 2-е изд. - М.: Наука, 1986.-368с.

9. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т.2. – М.: ГИФМЛ, 1961. – 628с.

10. Шостак Р.Я. Операционное исчисление. М.: Высшая школа. – 1972. - 252с.