КУРСОВАЯ РАБОТА по дисциплине: «Программирование» на тему: «Многочлены». Курсовая программирование. Многочлены

• Название: Многочлены
• Анкор: КУРСОВАЯ РАБОТА по дисциплине: «Программирование» на тему: «Многочлены
• Дата: 05.04.2023
• Размер: 295 Kb.
• Имя файла: Курсовая программирование.doc
• Тип: Курсовая; #1038801
• страница: 1 из 8

Факультет: высшего образования

Направление:

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине: «Программирование»

на тему: «Многочлены»

студент группы шифр

ФИО

«____» ______________ 201 г.

_________________________

подпись студента)

 

Проверил

ФИО

Оценка _____________________

____________________________

(подпись преподавателя)

«___» ____________ 201 г.

 

Лысьва, 2013г.

Содержание

1. Введение 2

1.2 Постановка задачи 4

1.3 Основная теория 4

2. Основная часть 8

2.1 Возможные исходные данные 8

2.2 Неформальное изложение алгоритма 8

} 14

3. Набор тестов для класса 15

3.1 Тесты для сложения двух многочленов 15

3.2 Тесты для вычитания двух многочленов 17

3.3 Тесты для умножения двух многочленов 19

3.4 Тесты для деления двух многочленов 21

3.5 Тесты для нахождения остатка от деления 22

3.6 Тесты для операции отношения равно 23

3.7 Тесты для операции отношения не равно 25

3.8 Тесты для операции возведения многочлена в натуральную степень k 26

3.9 Тесты для вычисления производной от многочлена 27

3.10 Тесты для вычисления значения в точке x₀ 28

3.11 Тесты на вывод многочлена 29

3.12 Тесты на нахождение наибольшего общего делителя двух многочленов 30

4. Руководство пользователя 33

5. Заключение 34

Список использованных источников 35

Приложения 36

1. Введение

Изучение полиномиальных уравнений и их решений составляло едва ли не главный объект «классической алгебры». С изучением многочленов связан целый ряд преобразований в математике: введение в рассмотрение нуля, отрицательных, а затем и комплексных чисел, а также появление теории групп как раздела математики и выделение классов специальных функций в анализе.

Многочлены также играют ключевую роль в алгебраической геометрии, объектом которой являются множества, определённые как решения систем многочленов.

Поэтому создание легкой и доступной программы способной быстро выполнять нужные действия с многочленами любой степени является практичной и упрощает работу, избавляя нас от рутинных вычислений.

1.1 Цель работы

Научиться работать с классами и создать класс, в котором будет создан набор функций, подпрограмм и тп для работы с многочленами от одной переменной (первый многочлен степени m, второй — степени n), а именно выполнять операции: сложения, умножения, вычитания, деления с остатком, возведения степень, операции отношения (равно, не равно), возведение в натуральную степень, вычисление производной от многочлена, вычисление значения в точке x₀.

1.2 Постановка задачи

Реализовать в виде класса набор подпрограмм для выполнения операций с многочленами от одной переменной (первый многочлен степени m, второй — степени n):

1) сложение;
2) вычитание;
3) умножение;
4) деление с остатком;
5) операции отношения (равно, не равно);
6) возведение в натуральную степень k;
7) вычисление производной от многочлена;
8) вычисление значения в точке x₀.
Многочлен представить массивом коэффициентов.

Используя этот класс, решить задачи:
1. Найти наибольший общий делитель многочленов P(x) и Q(x).
2. Вычислить: P^s(x) – Q^r(x).

1.3 Основная теория

Многочлен от n переменных — это сумма одночленов или, строго, — конечная формальная сумма вида.¹

, где

• 
   — набор из целых неотрицательных чисел, именуемый мультииндексом,
  
• 
   — число, именуемое коэффициент многочлена, зависящее только от мультииндекса I.
  

В частности, многочлен от одной переменной есть конечная формальная сумма вида

, где

• 
   — фиксированные коэффициенты,
  
• 
   — переменная.
  

Привести многочлен к стандартному виду — означает привести к стандартному виду все его члены, а затем привести подобные члены. ¹

Сложить два многочлена — это значит представить их сумму  
в стандартном виде.  ¹

Чтобы решить многочлен, надо свести подобные члены. Например:
p1(x)=6x⁴-x⁵+5x⁴+x³; p2(x)=-8x⁴-4x³+5x+6;
p1+ p1=(6x⁴-x⁵+5x⁴+x³)+( -8x⁴-4x³+5x+6)= 6x⁴-x⁵+5x⁴+x³ -8x⁴-4x³+5x+6=6x⁴-x⁵-3x⁴-3x³+5x+6.

Вычесть из одного многочлена другой — это значит представить их разность в стандартном виде.¹

При вычитании многочленов важно помнить, что после раскрытия скобок знаки во втором многочлене меняются на противоположные.

Например:
p1(x) = 6x⁴ - x⁵ + 5x⁴ + x³; p2 (x)=- 8x⁴ - 4x³ + 5x+ 6;
p1- p1 =(6x⁴ – x⁵+ 5x⁴ + x³) - (-8x⁴ - 4x³ + 5x+ 6) = 6x⁴ - x⁵ + 5x⁴ + x³ + 8x⁴ + 4x³ - 5x- 6=6x⁴-x⁵+13x⁴+5x³-5x-6.

Умножить многочлен на многочлен - это значит, каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные одночлены сложить. ¹

Например:
p1(x) = x²+6x-1; p2(x) = 3x+1;
p1*p1 =(x²+6x-1)*(3x+1)= 3x³+x² +6x²+6x-3x-1=3x³+7x²+3x³-1.

Деление многочленов — алгоритм деления многочлена   на многочлен  , степень которого меньше или равна степени многочлена  . Алгоритм представляет собой обобщенную форму деления чисел столбиком, легко реализуемую вручную.²

Пример:

1. Делим первый элемент делимого на старший элемент делителя, помещаем результат под чертой  .



2. Умножаем делитель на полученный выше результат деления (на первый элемент частного). Записываем результат под первыми двумя элементами делимого  .



3. Вычитаем полученный после умножения многочлен из делимого, записываем результат под чертой  .



4. Повторяем предыдущие 3 шага, используя в качестве делимого многочлен, записанный под чертой.



5. Повторяем шаг 4.



6. Конец алгоритма.

Таким образом, многочлен   — частное деления, а   — остаток.

Возведение многочлена в степень

Чтобы возвести двучлен в четвертую, пятую и т.д. степень, надо последовательно умножить разложенный многочлен на самого себя несколько раз.

Например:

p1(x)= (3x² – 2)³=(3x² – 2) (3x² – 2) (3x² – 2)= (3x² – 2)(9x² – 12x+4)= 27x³+54x²+36x+8.

Два многочлена p1(x) и p2(x) считаются равными, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях переменной х и свободные члены (равны их соответствующие коэффициенты). В этом случае пишут:p1 (x) =p2 (x).³

Производная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке).²

Для вычисления производной от многочлена нам потребуются знания таблицы производных:
(xⁿ)’=nx^n-1; c’=0.

Например:
p1(x)= 3x² – 2=6x.

Класс — разновидность абстрактного типа данных в объектно-ориентированном программировании, характеризуемый способом своего построения. Наряду с понятием «объекта» класс является ключевым понятием в ООП. Суть отличия классов от других абстрактных типов данных состоит в том, что при задании типа данных класс определяет одновременно и интерфейс, и реализацию для всех своих экземпляров, а вызов метода-конструктора обязателен. ³

На практике объектно-ориентированное программирование сводится к созданию некоторого количества классов, включая интерфейс и реализацию, и последующему их использованию. Графическое представление некоторого количества классов и связей между ними называется диаграммой классов.

Идея классов пришла из работ по базам знаний, имеющих отношение к исследованиям по искусственному интеллекту. Используемые человеком классификации в зоологии, ботанике, химии, деталях машин, несут в себе основную идею, что любую вещь всегда можно представить частным случаем некоторого более общего понятия. Конкретное яблоко — это в целом некоторое яблоко, вообще яблоко, а любое вообще яблоко — фрукт. Именно поэтому примеры классов в учебных пособиях по объектно-ориентированному программированию так часто упоминают яблоки и груши.