ўқитувчи. Продолжение табл (1). Исследование УпругоПластических Состояний Стержней при ПространственноПеременных Нагружениях

• Название: Исследование УпругоПластических Состояний Стержней при ПространственноПеременных Нагружениях
• Анкор: ўқитувчи
• Дата: 01.12.2021
• Размер: 182.35 Kb.
• Имя файла: Продолжение табл (1).docx
• Тип: Исследование; #287409
• страница: 2 из 3

ГЛАВА 1

РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМОВ РЕШЕНИЯ СТАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ СТЕРЖНЕЙ ПРИ ПРОСТРАНСТВЕННО-ПЕРЕМЕННЫХ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИХ НАГРУЖЕНИЯХ

Настоящая глава ооотоит из трех разделов.

В первом разделе даетоя постановка задачи при совместном дей­ствии продольных, поперечных и крутильных сил. Устанавливается зависимость между напряжениями и деформациями при повторно-пере­менном упруго-пластическом нагружении и выводится математическая модель на основе вариационного принципа Лагранжа.

Во втором разделе на основе метода конечных разностей строит­ся вычислительный алгоритм.

В третьем разделе приводится реализационная схема для БЭСМ-6 по разработанному вычислительному алгоритму.

I.I. Постановка краевой задачи

Рассмотрим призматический стержень произвольного сечения при воздействии внешних сил [18,19,32,47-48,88]. Для этого ось OX направим по длине cтержня, а оcи OZ _и OY - по поперечному cечению (рио.2.2.1). Перемещение центральной линии cтержня обо­значим через U, V, W; углы наклона каоательной к упругой линии при чистом изгибе -£₁, £₂ ; углы поперечного сдвига β₁, β₂; а угол закручивания - через θ , погонный угол закрутки-ν. Тогда на основании статичеcких гипотез устанавливается однознач­ная зависимость между перемещениями стержня U₁(x,y,z), U₂(x,y,z), U₃(x,y,z), и U(x), V(x), W(x) и т.д.

Перемещения точек cтержня при совместном действии продольных, поперечных и крутильных cил можно представить в виде [18,46]

U₁=U - Ƶԃ₁-Yԃ₂+ϕʋ+α₁β₁ +α₂β₂ ;

U₂ = V + Ƶθ ; (I.I.I)

U₃ =W – yθ ,

Теперь, согласно формулы Коши, с учетом формул (I.I.I) вычисляем компоненты деформации:



L₁₁ = = - ƶ - y +ϕ(ƶ,y) +α₁ + α₂ ;

L₁₂ = + = + + + - ԃ₂ ; (I.I.2)

L₁₃ = + = - y + + - ԃ_{1 ;}

L₂₂ = L₃₃ = L₂₃ =0


Зависимость между компонентами тензора напряжения и деформации определяется из теории малых упруго – пластических деформаций А.А. Ильюшина – В. В. Москвитина [ 39-40, 66- 67] (рис.I.I.I).

Известно , что, если при повторных и переменных упруго-пластических нагружениях величина текущей внешней нагрузки превышает величину нагрузки предыдущего полуцикла, то нарушаются условия теоремы о переменном нагружении. Поэтому для решения краевых задач, согласно работам ( 12,16), текущие компоненты напряжений выражены через текущие компоненты напряжений выражены через текущие компоненты деформации. Выполняя необходимые операции в области первого, второго и произвольного количества упруго – пластических нагружений или разгруженний с номером

К , получаем соотношения между напряжениями ( 12,67):







δ₁₁^(k) = 3G(( 1-w^(k)) l₁₁^(k) – w^(k)l₁₁^0(k-1) + ∑W ^0(k-m) ( l₁₁^0(k-m) – l₁₁ ^0(k-m-1))) ,

δ₁₂^(k) = G(( 1-w^(k)) l₁₂^(k) – w^(k)l₁₂^0(k-1) + ∑W ^0(k-m) ( l₁₂^0(k-m) – l₁₂ ^0(k-m-1))) ,

δ₁₃^(k) = 3G(( 1-w^(k)) l₁₃^(k) – w^(k)l₁₃^0(k-1) + ∑W ^0(k-m) ( l₁₃^0(k-m) – l₁₃ ^0(k-m-1))) ,

δ₂₂^(k) = δ₃₃^(k) = δ₂₃^(k) = 0 , ( I.I.3)

где

l₁₁⁰⁽⁰⁾ =l₁₂ ⁰⁽⁰⁾ = l₁₃⁰⁽⁰⁾ =0

B случае линейного упрочнения материала функция пластичности ѡ ^(к) вычисляется по формулам :

при К=I



0 , при l₁ <1 ,

ѡ⁽¹⁾ = ( I.I.4)

ƛ ( 1- ) , при l ≥1 .

и при К ≥2



0 , при l₁^(к) <ԃ_к ,

ѡ^(к) = ( I.I..5)

ƛ ( 1- ) , при l₁^(к) ≥ ԃ_к .

здесь

l₁^(к) = l_i^(k) ̸ l_s , k = 1,2,….,

l₁⁰⁽¹⁾ , ѡ⁰⁽¹⁾ соответствуют значениям l₁⁽¹⁾ , ѡ⁽¹⁾ в точке N ,

αl₁⁰⁽²⁾ , ѡ⁰⁽²⁾ - значения l₁⁽²⁾ , ѡ⁽²⁾ в точке Q ( см. рис.I.I.I),

l_i^(k) = ⅔√( l₁₁^(k))²+ ¾ [( l₁₂^(k))² +( l₁₃^(k))²] . (I.I.6)

на основе обобщенного принципа Мазинга [ 26,27] с помощью параметра ᾱ_к учитываются циклические свойства материалов ,т.е. рассматриваются циклические идеальные , упрочняющиеся и разупрочняющиеся материалы. Параметры ᾱ_к могут быть представлены в виде [26]

ᾱ_к = ᾱ₁ ( к-1)^x ( I.I.7)

здесь ᾱ₁ , z - константы материала.

При этом для циклически упрочняющихся материалов ᾱ_к ˃2 , для разупрочняющихся ᾱ_к ˃2,

А дляциклически идеалных материалов ᾱ_к ˃2.

Вводя различные значения масштабного коэффициента четных и нечетных полуциклов нагружения для ᾱ_{к ,} можно описать также упруго – пластические свойства циклически анизотропных материалов :

ᾱ_к = ᾱ₂ ( к-1)^x + [ 1- (-1)^к]( к-1)^x . (I.I.8)

Константы материалов ᾱ₁ , ᾱ₂ , z определяются экспериментальню.

Для вывода дифференциальных уравнений равновесия стержней при пространственном нагружении используется вариационный принцип Лагранжа [ 47, 18]

δ (- П+А) =0 ; (I.I.9)

где

δП= ∫∑ δ_1i^(k) δ l_1i^(k) dV (I.I.10)

- вариация потенциаьной энергии, а

δА= ∫∑P_i^(k) δU_i^(k) dV + ∫∑q_i^(k) δU_i^(k) dS_{1 x} +∫∑f_i^(k) δU_i^(k) dS₂ (I.I.11)

• 
  Вариация работы внешних сил.
  

Здесь через P _i^(k) обозначены составляющие компоненты объмных сил, отнесенные к единице объема, через q_i^(k) – торцевые составляющие силы, отнесенные к единице площади поперечных сечений, действующие на торцах х=0 и х=l , и через f_i^(k) поверхностные составляющие силы, отнесенные к единице площади поверхности стержня.

На основе вариационного принципа Лагранжа (I.I.9) с использованием с оотношения Коши (I.I.2) и связи между напряжениями и деформациями при условии несжимаемости материала (I.I.3) выводится система нелинейных дифференциальныхуравнений с естественными граничными условиями в векторной форме
[ ( A^УП- А^ПЛ(К)) + ( B^УП – B^ПЛ(К))V^(k)] + ( C^УП – С^ПЛ(к)) + (D^УП – D^ПЛ(К)) V^(k) =F^(K) + + + +



(I.I.12)



{-(

(I.I.13)



Где вектор-функции 9-го порядка; , векторы 9-го порядка; , , , , , , , квадратные матрицы 9-го порядка

Элементы этих матриц и векторов имеют соответственно следующий вид:

};























































,

,