Issn молодой учёныйМеждународный научный журналВыходит два раза в месяц 10 (114) Редакционная коллегия bГлавный редактор
 Скачать 5.47 Mb.
|
|
Загустители Манутекс (2,5%) Эмпринт (6%) Смешанная загустка КМК-унифлок КМК-унифлок-ГАЭ рН загустителей рН=8 рН=8,5 рН=9 рН=9,5 рН печатных красок рН=10 рН=10 рН=10,5 рН=10,5 Из табл. 1, видно, что рН загустителей из манутекса и эмпринта рН=8–8,5 и требует добавления щелочного агента и мочевины, а смешанная загустка на основе КMК–унифлок-ГАЭ сэкономит добавления бикарбоната натрия, мочевины в два раза и достигает должного уровня, которым должна обладать печатная краска. Таким образом, смешанная загустка на основе КMК-у- нифлок-ГАЭ имеет хорошие печатные свойства. Литература: 1. Рахманов, Х. К. Разработка рациональной технологии распределения хлопка-сырца при его складировании Дис… канд. техн. наук. — Ташкент, 1996. 2. I НДР 940103.I. Устройства для подготовки хлопка-сырца к хранению / Рахмонов Х. К, Ходжиев М. Т, Тад- жиев УС Технические науки «Молодой учёный» . № 10 (114) . Май, 2016 г. Рахмонов, Х. К. Теоретическое изучение напряженно-деформированного состояния свободно-насыпного слоя хлопка-сырца в ограниченном объеме // Проблемы механики. — Ташкент, 2005. Антиплоская задача для упругой полуплоскости с жестким включением Самойлова Ирина Алексеевна, магистр, старший преподаватель; Смирнова Марина Александровна, магистр, старший преподаватель Карагандинский государственный университет им. академика Е. А. Букетова (Казахстан) М еханика упругой среды или теории упругости занимается деформацией и движением упругих тел под влиянием внешних воздействий, в качестве которых рассматриваются поверхностные нагрузки, массовые силы (например, вес, нагревание или охлаждение тела. Отсюда основной задачей механики упругой среды является определение перемещений любой точки тела по заданной внешней нагрузке. Для постановки и решения подобных задач первоначально необходимо провести математическое моделирование механики упругой среды Пусть в упругом полупространстве со свободной от напряжений границей имеется включение в виде полосы b y ≤ ≤ 0 , ∞ < < ∞ − z , расположенное в плоскости Требуется найти поле напряжений и смещений, если к внешнему краю указанного включения приложена равномерно распределенная сдвигающая нагрузка интенсивности 0 τ Сформулированная задача эквивалентна следующей краевой задаче ( ) ( ) , 0 , , 2 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ y y x w x y x w 0 , > ∞ < y x , 0 0 = ∂ ∂ = y x w (1) в которой уравнение Лапласа должно удовлетворяться всюду, кроме 0 = x (области, занятой включением. При переходе через включение касательное напряжение xz τ терпит разрыва смещения непрерывны и постоянны, то есть ( ) ( ) ( ) , , 0 , 0 y y w G y xz ϕ τ >= ′ < >= < ( ) , 0 ≡ y ϕ b y ≥ ( ) , , 0 const y w = b y ≤ ≤ 0 (2) Роль интегрального преобразования будет выполнять преобразование Фурье [2]. Умножим (1) на x i α , проинтегрируем по частям раздельно на интервалах ( ) 0 ,− ∞ − , ( ) +∞ + , 0 и на основании (2) получаем следующую одномерную краевую задачу ( ) ( ) ( ) , 1 2 y G y w y w ϕ α α α − = − ′′ , 0 ∞ < < y ( ) , 0 ≡ y ϕ , b y ≥ ( ) 0 0 = ′ α w (3) Фундаментальная функция уравнения (3) имеет вид (5), через которую решение задачи (3) запишется в виде ( ) ( ) [ ] ( ) = + = ∫ + − − − η η ϕ α η α η α α d y Gw b y y 0 2 1 [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) 2 1 2 1 0 Во втором интеграле введем замену η η − = и доопределим функцию ( ) ( ) η ϕ η ϕ = − , получаем [ ] ( ) [ ] ( ) = + ∫ ∫ − − − − − η η ϕ α η η ϕ α η α η α d d b y b y 0 0 2 1 2 1 [ ] ( ) 2 Следовательно, ( ) [ ] ( ) 2 1 η η ϕ α η α α d y Gw b b y ∫ − − − = (4) Обращая полученную трансформанту, находим, ( ) ( ) ( ) , , 2 где ( ) [ ] = = − ∫ − − − − b b x i y d y x K α α η α η α 2 1 , [ ] ( ) = − ∫ ∞ ∞ − − − α α α α η α d x i x y sin cos 2 1 [ ] [ ] = − = ∫ ∫ ∞ ∞ − − − ∞ ∞ − − − α α α α α α η α η α xd d x y y sin 2 1 cos 2 Окончательно, для жесткого включения ( ) ( ) cos 2 1 , 0 ∫ ∫ ∞ − − − = α α α η η ϕ π α α d x d y x Gw y b b (5) Как видим из (5), смещения выражаются через расходящийся интеграл. Чтобы от него избавиться, следует перейти к относительным смещениям, то есть ( ) ( ) [ ] ( ) cos 2 Получим сходящийся интеграл для относительных смещений, вычислим его 303 Technical Sciences “Young Scientist” . #10 (114) . May Пусть в упругом полупространстве со свободной от напряжений границей имеется включение в виде полосы b y ≤ ≤ 0 , ∞ < < ∞ − z , расположенное в плоскости Требуется найти поле напряжений и смещений, если к внешнему краю указанного включения приложена равномерно распределенная сдвигающая нагрузка интенсивности 0 τ Сформулированная задача эквивалентна следующей краевой задаче ( ) ( ) , 0 , , 2 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ y y x w x y x w 0 , > ∞ < y x , 0 0 = ∂ ∂ = y x w (1) в которой уравнение Лапласа должно удовлетворяться всюду, кроме 0 = x (области, занятой включением. При переходе через включение касательное напряжение xz τ терпит разрыва смещения непрерывны и постоянны, то есть ( ) ( ) ( ) , , 0 , 0 y y w G y xz ϕ τ >= ′ < >= < ( ) , 0 ≡ y ϕ b y ≥ ( ) , , 0 const y w = b y ≤ ≤ 0 (2) Роль интегрального преобразования будет выполнять преобразование Фурье [2]. Умножим (1) на x i α , проинтегрируем по частям раздельно на интервалах ( ) 0 ,− ∞ − , ( ) +∞ + , 0 и на основании (2) получаем следующую одномерную краевую задачу ( ) ( ) ( ) , 1 2 y G y w y w ϕ α α α − = − ′′ , 0 ∞ < < y ( ) , 0 ≡ y ϕ , b y ≥ ( ) 0 0 = ′ α w (3) Фундаментальная функция уравнения (3) имеет вид (5), через которую решение задачи (3) запишется в виде ( ) ( ) [ ] ( ) = + = ∫ + − − − η η ϕ α η α η α α d y Gw b y y 0 2 1 [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) 2 1 2 1 0 Во втором интеграле введем замену η η − = и доопределим функцию ( ) ( ) η ϕ η ϕ = − , получаем [ ] ( ) [ ] ( ) = + ∫ ∫ − − − − − η η ϕ α η η ϕ α η α η α d d b y b y 0 0 2 1 2 1 [ ] ( ) 2 Следовательно, ( ) [ ] ( ) 2 1 η η ϕ α η α α d y Gw b b y ∫ − − − = (4) Обращая полученную трансформанту, находим, ( ) ( ) ( ) , , 2 где ( ) [ ] = = − ∫ − − − − b b x i y d y x K α α η α η α 2 1 , [ ] ( ) = − ∫ ∞ ∞ − − − α α α α η α d x i x y sin cos 2 1 [ ] [ ] = − = ∫ ∫ ∞ ∞ − − − ∞ ∞ − − − α α α α α α η α η α xd d x y y sin 2 1 cos 2 Окончательно, для жесткого включения ( ) ( ) cos 2 1 , 0 ∫ ∫ ∞ − − − = α α α η η ϕ π α α d x d y x Gw y b b (5) Как видим из (5), смещения выражаются через расходящийся интеграл. Чтобы от него избавиться, следует перейти к относительным смещениям, то есть ( ) ( ) [ ] ( ) cos 2 Получим сходящийся интеграл для относительных смещений, вычислим его ( ) , ln 2 1 cos 0 2 2 2 ∫ ∞ − − + = − β γ α α γ β x dx x x x , 0 Re > β 0 Re Тогда = − ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ = − ∫ ∞ − − − η β η γ α α α α π η α η α y x a x d x y , , , cos 2 1 0 ( ) ln 4 1 2 2 2 η η − + y x (6) Получаем следующую формулу для смещений ( ) ( ) [ ] 0 , 0 , w y x w G − ( ) ( ) ( ) ln 4 1 ln 4 1 2 2 2 Откуда ( ) ( ) ( ) + − + = ∫ − η η η ϕ π d y x y x Gw b b 2 2 1 ln 4 1 , ( ) ( ) 0 , 0 ln 4 или ( ) ( ) ( ) ,1 1 ln 4 1 , 2 2 const d y x y x Gw b b + − + = ∫ − η η η ϕ π (7) где ( ) ( ) 0 , 0 ln 4 1 1 Реализуем второе условие из (2), приходим к ( ) ( ) , 2 1 ln 2 1 , 0 const d y y w b b = − = ∫ − η η η ϕ π 0 b y ≤ ≤ (8) Уравнение (8) решаем с помощью спектрального соотношения ( ) ( ) = = = − − − − ∫ 2 ,1 , 0 , 2 ln 1 1 ln 1 1 1 1 2 n y T n n d T y n n η η η η π (9) Для применения (9) к (8) сделаем замену bt y = , , τ η то есть перейдем к интервалу (-1,1). Решение ищем в виде ( ) ( ) 1 1 1 2 ∑ ∞ = − = n n n b T b τ ϕ τ τ ϕ (10) ( ) ( ) ( ) ( ) τ τ ϕ π τ τ τ ϕ π b bt b b d b bt b y w − = − = ∫ ∫ − − 1 ln 2 1 1 ln 2 1 , 0 1 1 1 1 ( ) 3 2 ln 2 1 1 0 0 В результате получаем ( ) 2 1 τ τ ϕ − = const b или ( ) 2 С) Произвольную постоянную реализуем с помощью условия включения ( ) ( ) 0 2 1 τ η η ϕ = ∫ − d b b или 2 2 2 2 cos sin 2 0 2 2 2 2 τ π π π η η η η π π ∫ ∫ − − = = = < < − = = = − С dt С t dt b d t b b d С b b Окончательно ( ) y ϕ запишется в виде ( ) 1 2 2 2 0 y b y − = π τ ϕ (12) Подставляя (12) в (7), получаем формулу для смещений Технические науки «Молодой учёный» . № 10 (114) . Май, 2016 г 1 cos 0 2 2 2 ∫ ∞ − − + = − β γ α α γ β x dx x x x , 0 Re > β 0 Re Тогда = − ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ = − ∫ ∞ − − − η β η γ α α α α π η α η α y x a x d x y , , , cos 2 1 0 ( ) ln 4 1 2 2 2 η η − + y x (6) Получаем следующую формулу для смещений ( ) ( ) [ ] 0 , 0 , w y x w G − ( ) ( ) ( ) ln 4 1 ln 4 1 2 2 2 Откуда ( ) ( ) ( ) + − + = ∫ − η η η ϕ π d y x y x Gw b b 2 2 1 ln 4 1 , ( ) ( ) 0 , 0 ln 4 или ( ) ( ) ( ) ,1 1 ln 4 1 , 2 2 const d y x y x Gw b b + − + = ∫ − η η η ϕ π (7) где ( ) ( ) 0 , 0 ln 4 1 1 Реализуем второе условие из (2), приходим к ( ) ( ) , 2 1 ln 2 1 , 0 const d y y w b b = − = ∫ − η η η ϕ π 0 b y ≤ ≤ (8) Уравнение (8) решаем с помощью спектрального соотношения ( ) ( ) = = = − − − − ∫ 2 ,1 , 0 , 2 ln 1 1 ln 1 1 1 1 2 n y T n n d T y n n η η η η π (9) Для применения (9) к (8) сделаем замену bt y = , , τ η то есть перейдем к интервалу (-1,1). Решение ищем в виде ( ) ( ) 1 1 1 2 ∑ ∞ = − = n n n b T b τ ϕ τ τ ϕ (10) ( ) ( ) ( ) ( ) τ τ ϕ π τ τ τ ϕ π b bt b b d b bt b y w − = − = ∫ ∫ − − 1 ln 2 1 1 ln 2 1 , 0 1 1 1 1 ( ) 3 2 ln 2 1 1 0 0 В результате получаем ( ) 2 1 τ τ ϕ − = const b или ( ) 2 С) Произвольную постоянную реализуем с помощью условия включения ( ) ( ) 0 2 1 τ η η ϕ = ∫ − d b b или 2 2 2 2 cos sin 2 0 2 2 2 2 τ π π π η η η η π π ∫ ∫ − − = = = < < − = = = − С dt С t dt b d t b b d С b b Окончательно ( ) y ϕ запишется в виде ( ) 1 2 2 2 0 y b y − = π τ ϕ (12) Подставляя (12) в (7), получаем формулу для смещений ( ) ( ) = + − + − = ∫ − 1 1 ln 1 4 2 , 2 2 2 2 2 0 const d y x y b y x Gw b b η η π τ ( ) 1 1 ln 1 2 2 2 2 2 2 0 const d y x y b b b + − + − = ∫ − η η π τ (13) Так как касательные напряжения x w G xz ∂ ∂ = τ и y w G yz ∂ ∂ = τ , тогда с учетом (13) получим ( ) [ ] , 2 2 2 2 2 2 2 0 η η π τ τ d y b y x x b b xz ∫ − − − + = ( ) ( ) [ ] 2 2 2 2 2 2 2 Последние три формулы и определяют решение поставленной антиплоской задачи для полупространства с жестким включением. Построенное решение может быть использовано при рассмотрении соответствующих технических проблем, когда их модель сводится к решению указанной задачи. Литература: 1. Попов, Г. Я, Абдыманапов С. А, Ефимов В. В, Игликов АИ. Метод разрывных решений в задачах математической физики. — Караганда, 1993. — с. Работнов, ЮН. Механика деформируемого твердого тела. М Наука, 1997. — с.744. |