|
|
Кафедра физики Индивидуальное домашнее задание по физике Часть IV
Классическая и квантовая статистики. Фононы
Какая дополнительная сила действует на обшивку фюзеляжа самолета за счёт перепада давления в салоне и снаружи самолета. Высота полета 1104 м. Температура 250 К. Давление на поверхности Земли и в салоне одинаково и равно 100 кПа. Давление на заданной высоте определим по барометрической формуле. Затем определим силу давления на единицу поверхности.
Барометр в кабине вертолёта показывает давление 90 кПа. На какой Высоте летит вертолёт, если на поверхности Земли давление 100 кПа. Атмосферу считать изотермической с температурой 290 К.
На какой высоте атмосферное давление вдвое меньше, чем на поверхности земли? Атмосферу считать изотермической с температурой 300 К.
Плотность вероятности обнаружения молекул гелия, движущихся с некоторой скоростью V, оказалась одинаковой при температурах 300 К и 600 К. Найти значение этой скорости.
Азот находится в равновесном состоянии при температуре 420 К. Определить относительное число молекул, скорости которых заключены в пределах от 249,9 м/с до 250,1 м/с и от 999,9 до 1000,1 м/с Записать закон распределения Максвелла для относительных скоростей молекул.
Найдите долю молекул идеального газа, скорости которых отличаются не более чем на 0,001 от значения средней скорости. Необходимо интегрировать функцию распределения по скорости.
Найдите относительное число молекул газа, скорости которых отличаются не более чем на 1% от значения средней квадратичной скорости.
Какая доля земной атмосферы находится в приповерхностном слое толщиной 1000 м? Атмосферу считать изотермической (Т = 300 К), а поле сил тяготения однородным.
Чему равно давление на вершине Эвереста (высота 8848 м.), если принять, что температура воздуха не изменилась с высотой и равна 283 К. Давление на уровне моря равно 100 кПа.
Считая атмосферу изотермической, а ускорение свободного падения не зависящим от высоты, вычислить давление на высоте 5 км. и в шахте на глубине 2 км. Считать температуру Т 293 К. Давление на уровне моря Р 100 кПа. Записать барометрическую формулу, выражающую зависимость давления идеального газа от высоты над поверхностью земли.
Какова температура изотермической атмосферы, если на высоте 6 км. давление в 2 раза меньше, чем на уровне моря ?
Сравнить количества теплоты, необходимые для нагревания одного грамма железа на 10 К от температуры 0 К. и во втором случае от 900 К. Температуру Дебая для железа принять равной 470 К.
Некоторый газ находится в равновесном состоянии. Какой процент молекул газа обладает скоростями отличными от наиболее вероятной не более чем на один процент.
При какой температуре газообразного азота число молекул со скоростями в интервале 700 м/с – 710 м/с будет максимально?
Найти среднюю квадратичную скорость молекул азота, углекислого газа и гелия при температуре 300 К.
Найти среднюю квадратичную, наивероятную и среднюю арифметическую скорости молекул метана при 273 К.
Найти частоту колебаний атомов серебра по теории теплоёмкости Эйнштейна, если характеристическая температура серебра 165 К.
Какая часть молекул сернистого ангидрида при температуре 473 К обладает скоростями в пределах 210 м/с – 220 м/с? Используя формулу распределения Максвелла, находим долю молекул, движущихся со скоростями в указанном интервале.
При какой температуре молекулы гелия имеют такую же среднюю квадратичную скорость, как молекулы водорода при температуре 288 К.
Определить концентрацию свободных электронов в металле при температуре 0 К, если известно, что их средняя энергия 1,5 эВ. Концентрацию свободных электронов определим с помощью формулы для энергии Ферми, которая связана со средней энергией свободных электронов.
Какая часть свободных электронов в алюминии при Т 0 К имеет кинетическую энергию, превышающую половину максимальной?
Определить отношение концентраций свободных электронов в двух металлах при Т 0 К, если известно, что энергия Ферми в одном из них в 3 раза больше, чем в другом.
Определите среднюю кинетическую энергию свободных электронов в литии при температуре 0 К.
Определите максимальное значение импульса свободных электронов в рубидии при температуре 0 К. Учесть, что максимальный импульс и максимальная энергия в металле при абсолютном нуле связаны обычным соотношением.
Определить отношение концентрации свободных электронов при Т 0 К в литии и цезии, если известно, что уровень Ферми в этих металлах соответственно равен 4,72 эВ и 1,53 эВ.
Квантовая теория свободных электронов в металле
Найти разницу энергий (в единицах kT) между электроном, находящимся на уровне Ферми, и электронами, находящимися на уровнях, вероятность заполнения которых равны 0,2 и 0,8. Следует уточнить понятие «вероятность заполнения уровня». Это лучше сделать в работе [5, с. 252]; см. библиографический список. Сделайте аналитическую запись вероятности заполнения электронами данного уровня при температурах отличных от 0оК (функция распределения Ферми с учётом принципа запрета Паули). Уточните смысл, скрывающийся за символами, и запишите функцию распределения для условий, заданных в задаче; получите систему из двух уравнений, что позволит определить энергию уровней. Здесь внимательнее, поскольку просят найти разницу энергий в единицах kT. При записи не забудьте учесть, температура предполагается неизменной; почему?
Металлы литий и цинк приводят в соприкосновение друг с другом при температуре 0оК. На сколько изменится концентрация электронов проводимости в цинке? Какой из этих металлов будет иметь более высокий потенциал? Плотности цинка и лития 7150 и 530 кг/м3 соответственно, относительные атомные массы – 65,4 и 6,9 соответственно. Первый вопрос задачи указывает на то, что при соприкосновении металлов происходит перераспределение электронов; такое может происходить, если электронам по каким-то причинам «уютнее» энергетически перераспределится. Металл как физическая система характеризуется набором (спектром) возможных для неё состояний. Поскольку в природе существует тенденция к преимущественному заполнению состояний с малыми значениями энергий, частицы в первую очередь заполняют низшие состояния. Коль скоро температура 0оК и другие факторы, нарушающие упорядочивающую тенденцию, отсутствуют, наивысшим заполненным состоянием является уровень Ферми. Аналитическое выражение его можно найти в работе [5, с. 251]. Концентрацию свободных электронов можно найти, зная плотность вещества (задана) и массу его атома; атомная масса задана, а число атомов в атомной массе определяется числом Авогадро. Если концентрация электронов в веществах, приведённых в соприкосновение, расходится, они перераспределяются (до выравнивания уровней Ферми), что сопровождается возникновением контактной разности потенциалов (см. 5, с. 267). Отсюда недалеко до ответов и на первый, и на второй вопросы. Удачи, вопросы не запрещены.
Вычислить по теории Дебая теплоёмкость цинка массой 100 г при температуре 10 оК. Температура Дебая равна 300 оК. Условие Т<<ТD считать выполненным. Будьте внимательны, здесь требуется вычислить теплоёмкость массы, но не удельную; по-видимому, она будет равна произведению удельной теплоёмкости на массу. Задача сводится к нахождению удельной теплоёмкости цинка при низких температурах. Цинк как вещество имеет некоторую кристаллическую структуру. Согласно классическим представлениям кристалл, состоящий из N атомов, является системой с 3N колебательными степенями свободы. При Т 0 смещение одного из атомов из положения равновесия влечёт за собой смещения других соседних атомов. Колебание, возникшее в каком-то месте кристалла, передаётся от одного атома к другому; возникает упругая волна. На границе кристалла волна отражается, в результате возникает стоячая волна. Таким образом, кристалл цинка можно рассматривать как ансамбль упругих колебаний разной частоты. Дебай учёл, колебания атомов в кристаллической решётке не являются независимыми; кроме того, при понижении температуры уменьшаются средние скорости движения атомов кристалла и увеличивается соответствующая им дебройлевская длина волны ( h/(m)). Из соотношения неопределённости следует, если дебройлевская длина волны атома становится сравнимой или превышает линейные размеры эффективной области движения, то движение атома не подчиняется законом классической механики. Дебаю блестяще удалось преодолеть эти трудности (для тел с простой кубической решёткой). Аналитическое выражение для удельной теплоёмкости (С) можно найти в работе [6, с. 413, формула 84.13] библиографического списка; интеграл в аналитическом выражении (84.13) можно заменить числом (44/15). Не забывайте, Вы вычисляете теплоёмкость тела. Преобразуйте.
Как и во сколько раз изменится вероятность заполнения электронами энергетического уровня в металле, если уровень расположен на 0,01 эВ ниже уровня Ферми и температура изменяется от 200 до 300 К? Уточните понятие «вероятность заполнения уровня»; сделайте аналитическую запись вероятности заполнения электронами данного уровня при температурах больших 0оК; см. библиографический список [5, с. 252]. Результат отобразите на рисунке.
Каково значение энергии Ферми и температуры Ферми у электронов проводимости двухвалентной меди? Выразить энергию Ферми в джоулях и электрон-вольтах. Плотность меди 8600 кг/м3, относительная атомная масса – 63,5. Уточните понятия: «энергия Ферми», «двухвалентная медь»; «температура Ферми». Запишите аналитическое выражение энергии Ферми (см. библиографический список, работа [5, с. 251]); потребуется знание концентрации электронов; её можно найти через плотность вещества (задана) и массу его атома; атомная масса задана, а число атомов в атомной массе определяется числом Авогадро (не забудьте, медь двухвалентна). Если энергию Ферми, выраженную в джоулях, записать через термодинамические параметры (в том числе и через температуру, несущей смысловую нагрузку температуры Ферми), появляется возможность найти температуру Ферми. Не потеряйте взаимосвязь единицы энергии «электрон-вольт» с единицей энергии «джоуль». Удачи в преобразованиях. Вопросы не запрещены.
Чему равна максимальная энергия электронов в серебре? Считать, что на каждый атом приходится по одному свободному электрону. Серебро как физическая система характеризуется набором (спектром) возможных для неё энергетических состояний. Для окружающей реальности характерна тенденция к преимущественному заполнению состояний с малыми значениями энергии. Под действием этой «упорядочивающей тенденции» частицы (в частности, электроны серебра) в первую очередь занимают места с малыми значениями энергии. Тенденция к преимущественному заполнению низших уровней проявляется при отсутствии в системе каких-либо факторов, влияющих на это распределение. Поставленный в задаче вопрос молчаливо предполагает, температура системы (серебра) близка к абсолютному нулю. Следовательно, Ваши действия должны быть направлены на поиск верхнего энергетического уровня, заполненного при этой температуре. Аналитическое выражение найдёте в работе [5, с. 251] библиографического списка. При нахождении концентрации электронов учтите, её можно выразить через плотность вещества (серебра) и массу его атома; атомную массу и плотность вещества можно найти в справочнике, а число атомов в атомной массе определяется числом Авогадро. Удачи.
Оценить скорость распространения акустических колебаний в алюминии, дебаевская температура которого равна 396 К. Известно, понижение температуры уменьшает средние скорости движения атомов кристаллической решётки, следовательно, увеличивается соответствующая им дебройлевская длина волны. Из соотношения неопределённости следует, когда дебройлевская длина волы частицы становится сравнимой или превышает линейные размеры эффективной области движения, то движение не подчиняется законам классической механики. Дебай учёл, что колебания атомов в кристаллической решётке не являются независимыми, а результатом этого является возникновение упругой волны. Аналитическое выражение, связывающее максимальную частоту колебаний решётки с числом атомов и скоростью распространения колебаний (упругой волны) см. в работе [6, с. 412; формула 84.9] библиографического списка. Дебай также ввёл условие связи максимальной частоты упругих колебаний с температурой, при которой дебройлевская длина волны сравнима с размерами эффективной области движения; названа в честь его температурой Дебая см. в работе [6, с. 413, формула 84.12]. Условие Дебая позволяет найти максимальную частоту упругих колебаний, а для нахождения скорости распространения упругих (акустических) колебаний необходима концентрация атомов в единице объёма. Это можно найти через плотность алюминии и массу атома алюминия; масса атома может быть найдена через атомную массу (таблица Менделеева) и число Авогадро. Удачи в преобразованиях.
Определить вероятность того, что электрон в металле займёт энергетическое состояние, лежащее ниже уровня Ферми на Е 0,05 эВ и выше уровня Ферми на Е 0,05 эВ в двух случаях: а) температура металла Т 290 К; б) температура металла Т 58 К. Уточните понятие «вероятность заполнения уровня»; сделайте аналитическую запись вероятности заполнения электронами заданных уровней при температурах, указанных в условии задачи; см. библиографический список [5, с. 252]; будьте внимательны, для каждой температуры будет два уравнения. Результат желательно отобразить на рисунке.
Вычислить максимальную скорость электронов в кристалле меди при Т 0 К. Определить длину волны де Бройля для этих электронов? Медь как физическая система характеризуется набором (спектром) возможных для неё энергетических состояний. Для окружающей реальности характерна тенденция к преимущественному заполнению состояний с малыми значениями энергии. Под действием этой «упорядочивающей тенденции» частицы (в частности, электроны меди) в первую очередь занимают места с малыми значениями энергии. Тенденция к преимущественному заполнению низших уровней проявляется при отсутствии в системе каких-либо факторов, влияющих на это распределение. В условии задачи температура системы (медь) равна абсолютному нулю. Следовательно, Ваши действия должны быть направлены на поиск верхнего энергетического уровня, заполненного при этой температуре. Аналитическое выражение найдёте в работе [5, с. 251] библиографического списка. При нахождении концентрации электронов учтите, её можно выразить через плотность вещества (медь) и массу его атома; атомную массу и плотность вещества можно найти в справочнике, а число атомов в атомной массе определяется числом Авогадро (здесь молчаливо предполагается, медь одновалентна). Следует заметить, при указанной в условии задачи температуре тепловое движение как таковое отсутствует (почему?). Предполагается, при указанной температуре электроны меди обладают энергией Ферми, этому значению энергии может соответствовать скорость некоего движения. В силу постулированной де Бройлем эквивалентности волновых и корпускулярных представлений, электрон на уровне Ферми может быть представлен волновым процессом, длина волны которого связана с импульсом частицы; а значит и с энергией движения. Таким образом, зная скорость частицы на уровне Ферми и энергию этого уровня, можно определить длину волны де Бройля для электрона (см. в библиографическом списке работу [6, с. 309]).
Температура Дебая для алмаза равна 2000 К. Вычислить его удельную теплоёмкость при температуре 30 К. Известно, понижение температуры уменьшает средние скорости движения атомов кристаллической решётки, что увеличивает соответствующую им дебройлевскую длину волны. Из соотношения неопределённости следует, когда дебройлевская длина волы частицы становится сравнимой или превышает линейные размеры эффективной области движения, то движение не подчиняется законам классической механики. Дебай учёл, что колебания атомов в кристаллической решётке не являются независимыми, а результатом этого является возникновение упругих волн, распространяющихся в кристалле. Ему удалось решить задачу по нахождению внутренней энергии единицы объёма кристалла, а отсюда и теплоёмкость единицы объёма. Это можно найти в работе [6, с. 413, формула 84.13] библиографического списка. Интеграл в этом выражении можно заменить числом (44/15). Внимательнее с обозначением температур: шкалы Кельвина и температуры Дебая; удачи.
Определить число свободных электронов при температуре Т = 0оК, которое приходится на один атом натрия. Величина энергии уровня Ферми для натрия равна 3,12 эВ. Плотность натрия равна 970 кг/м3. Уточните аналитическую взаимосвязь энергии уровня Ферми от концентрации свободных электронов (см. в работе [5, с. 251] библиографического списка); позволит оценить концентрацию электронов на единицу объёма. Оцените концентрацию атомов в единице объёма; плотность вещества задана и может быть определена как произведение массы одного атома на число атомов; атомную массу определите по таблице Менделеева, что позволит найти массу одного атома, так как число атомов в атомной массе определяется числом Авогадро. Удачи.
Имеются два металла с концентрацией свободных электронов n1 = 1028 м–3 и n2 1029 м–3. Определить внутреннюю контактную разность потенциалов, возникающую при приведении этих металлов в соприкосновение. Уточните понятие «внутренняя контактная разность потенциалов» (см. в работе [5, с. 276] библиографического списка); запишите её аналитическое выражение. Придётся уточнить понятие «уровня Ферми» и его аналитическое выражение (см. в работе [5, с. 251] библиографического списка). Преобразуйте, должно получиться.
Работа выхода электронов из меди 4,47 эВ, а из свинца 3,74 эВ. Какова внешняя контактная разность потенциалов этих металлов? Считать концентрации электронов проводимости одинаковыми. Уточните понятие «внутренняя контактная разность потенциалов» (см. в работе [5, с. 275] библиографического списка); при записи её аналитического выражения внимательнее отнеситесь к чтению предпоследнего абзаца работы [5, с. 275] (см. библиографический список).Внимательнее к единицам измерения работы выхода (внесистемные, преобразуйте).
Вычислить минимальную длину волны Дебая в титане, если его характеристическая температура равна 280 оК, а скорость звука в нем 6103 м/с. Титан как вещество имеет некоторую кристаллическую структуру. Согласно классическим представлениям кристалл, состоящий из N атомов, является системой с 3N колебательными степенями свободы. При Т 0 смещение одного из атомов из положения равновесия влечёт за собой смещения других соседних атомов. Колебание, возникшее в каком-то месте кристалла, передаётся от одного атома к другому; возникает упругая волна. На границе кристалла волна отражается, в результате возникает стоячая волна. Таким образом, кристалл можно рассматривать как ансамбль упругих колебаний разной частоты. Дебай учёл, колебания атомов в кристаллической решётке не являются независимыми; кроме того, при понижении температуры уменьшаются средние скорости движения атомов кристалла и увеличивается соответствующая им дебройлевская длина волна ( h/(m)). Из соотношения неопределённости следует, если дебройлевская длина волны атома становится сравнимой или превышает линейные размеры эффективной области движения, то движение атома не подчиняется законом классической механики. Дебаю блестяще удалось преодолеть эти трудности (для тел с простой кубической решёткой). Аналитическое выражение для Вашей задачи (min) можно найти в работе [6, с. 412] библиографического списка. Аналитическое выражение для m найдёте здесь же под номером (84.12). Если не забыли, что температура Дебая задана, должно получиться. Преобразуйте.
При какой температуре вероятность найти в проводнике электрон с энергией 0,5 эВ над уровнем Ферми равна 2 %? Уточните понятие «вероятность заполнения уровня» (см. библиографический список [5, с. 252]); запишите аналитическое выражение вероятности заполнения электроном заданного уровня при некоторой температуре (её необходимо найти); будьте внимательны при записи заданного значения вероятности, дано в процентах. Результат желательно отобразить на рисунке.
До какой температуры надо было бы нагреть классический электронный газ, чтобы средняя энергия его электронов оказалась равной максимальной энергии свободных электронов в меди при T = 0 оК? Считать, что на каждый атом меди приходится один свободный электрон. Медь как физическая система характеризуется набором (спектром) возможных для неё энергетических состояний. Для окружающей реальности характерна тенденция к преимущественному заполнению состояний с малыми значениями энергии. Под действием этой «упорядочивающей тенденции» частицы (в частности, электроны меди) в первую очередь занимают места с малыми значениями энергии. Тенденция к преимущественному заполнению низших уровней проявляется при отсутствии в системе каких-либо факторов, влияющих на это распределение. Поставленный в задаче вопрос предполагает, температура системы (медь) равна абсолютному нулю. Следовательно, Ваши действия должны быть направлены на поиск верхнего энергетического уровня, заполненного при этой температуре. Аналитическое выражение найдёте в работе [5, с. 251] библиографического списка. При нахождении концентрации электронов учтите, её можно выразить через плотность вещества (меди) и массу его атома; атомную массу и плотность вещества можно найти в справочнике, а число атомов в атомной массе определяется числом Авогадро. Осталось записать аналитическое выражение для энергии электрона (из термодинамики) через температуру. Преобразуйте, удачи.
Вычислить давление электронного газа в металлическом натрии при T = 0 оК, если концентрация свободных электронов в нём 2,51022 см–3. Придётся воспользоваться уравнением для давления идеального газа; требуется знание температуры. При указанной в условии задачи температуре тепловое движение как таковое отсутствует (почему?); в то же время электроны металлического натрия обладают энергией Ферми. Этому значению их энергии может быть сопоставлена скорость некоего движения и тогда возможна запись этой энергии (Ферми) через термодинамические параметры n, k, Т и число степеней свободы. Преобразуйте.
Молярная теплоёмкость серебра при температуре 20 оК равна 1,65 Дж/(К.моль). Вычислить характеристическую температуру Дебая. Условие Т<<ТD считать выполненным. Будьте внимательны, здесь задана молярная теплоёмкость; по-видимому, она равна произведению удельной теплоёмкости на молярную массу. Задача сводится к нахождению удельной теплоёмкости серебра при низких температурах (проще). Серебро как вещество имеет некоторую кристаллическую структуру. Согласно классическим представлениям кристалл, состоящий из N атомов, является системой с 3N колебательными степенями свободы. При Т 0 смещение одного из атомов из положения равновесия влечёт за собой смещения других соседних атомов. Колебание, возникшее в каком-то месте кристалла, передаётся от одного атома к другому; возникает упругая волна. На границе кристалла волна отражается, в результате возникает стоячая волна. Таким образом, кристалл серебра можно рассматривать как ансамбль упругих колебаний разной частоты. Дебай учёл, колебания атомов в кристаллической решётке не являются независимыми; кроме того, при понижении температуры уменьшаются средние скорости движения атомов кристалла и увеличивается соответствующая им дебройлевская длина волна ( h/(m)). Из соотношения неопределённости следует, если дебройлевская длина волны атома становится сравнимой или превышает линейные размеры эффективной области движения, то движение атома не подчиняется законом классической механики. Дебаю блестяще удалось преодолеть эти трудности (для тел с простой кубической решёткой). Аналитическое выражение для удельной теплоёмкости (С) можно найти в работе [6, с. 413, формула 84.13] библиографического списка; интеграл в аналитическом выражении (84.13) можно заменить числом (44/15). Не забывайте, Вам задана молярная теплоёмкость серебра; в Ваших руках удельная. Преобразуйте.
Чему равна длина волны де Бройля наиболее быстрых электронов в алюминии при Т = 0 оК? Алюминий как физическая система характеризуется набором (спектром) возможных для неё энергетических состояний. Для окружающей реальности характерна тенденция к преимущественному заполнению состояний с малыми значениями энергии. Под действием этой «упорядочивающей тенденции» частицы (в частности, электроны алюминия) в первую очередь занимают места с малыми значениями энергии. Тенденция к преимущественному заполнению низших уровней проявляется при отсутствии в системе каких-либо факторов, влияющих на это распределение. В условии задачи температура системы (алюминий) равна абсолютному нулю. Следовательно, Ваши действия должны быть направлены на поиск верхнего энергетического уровня, ещё заполненного при этой температуре электронами. Аналитическое выражение найдёте в работе [5, с. 251] библиографического списка. При нахождении концентрации электронов учтите, её можно выразить через плотность вещества (алюминий) и массу его атома; атомную массу и плотность вещества можно найти в справочнике, а число атомов в атомной массе определяется числом Авогадро. Следует заметить, при указанной в условии задачи температуре тепловое движение как таковое отсутствует (почему?). Тем не менее, электронам, обладающим энергией Ферми, может соответствовать скорость некоего движения. В силу постулированной де Бройлем эквивалентности волновых и корпускулярных представлений, электрон на уровне Ферми может быть представлен волновым процессом, длина волны которого связана с импульсом частицы; а значит и с энергией движения (см. в библиографическом списке работу [6, с. 309]). В условии данной задачи, как следует из выше сказанного, энергия наиболее быстрых электронов определяется энергией Ферми; её придётся записать через выражение кинетической энергии электрона и выразить его импульс; далее всё как в работе [6, с. 309]. Удачи.
Определить отношение концентраций n1/n2 свободных электронов при Т = 0 оК в литии и цезии, если известно, что энергия Ферми в этих металлах соответственно равна 4,72 эВ и 1,53 эВ. Литий и цезий, как и любая физическая система, характеризуются набором (спектром) возможных для них энергетических состояний. Для окружающей реальности характерна тенденция к преимущественному заполнению состояний с малыми значениями энергии. Под действием этой «упорядочивающей тенденции» частицы (электроны указанных веществ) в первую очередь занимают места с малыми значениями энергии. Тенденция к преимущественному заполнению низших уровней проявляется в указанных системах при отсутствии каких-либо факторов, влияющих на это распределение; это подтверждается равенством температуры абсолютному нулю. Следовательно, Ваши действия должны быть направлены на поиск верхнего энергетического уровня, заполненного при этой температуре электронами, уровня Ферми. Аналитическое выражение найдёте в работе [5, с. 251] библиографического списка; записать придётся дважды. Преобразуйте согласно вопросу.
Определить концентрацию свободных электронов при температуре 0 оК. Энергию Ферми принять равной 1 эВ. Уточните понятие «энергия Ферми»; найдите её аналитическую запись, например, в работе [5, с. 251] библиографического списка. Преобразуйте.
Определить максимальную скорость электронов в металле при абсолютном нуле, если энергия Ферми равна 5,7 эВ. Для окружающей реальности характерна тенденция к преимущественному заполнению состояний с малыми значениями энергии. Под действием этой «упорядочивающей тенденции» частицы (электроны металла) в первую очередь занимают места с малыми значениями энергии. Тенденция к преимущественному заполнению низших уровней проявляется при отсутствии в системе каких-либо факторов, влияющих на это распределение. По условию задачи температура системы (металл) равна абсолютному нулю. Следовательно, Ваши действия должны быть направлены на поиск аналитического выражения верхнего энергетического уровня, уровня Ферми; его найдёте в работе [5, с. 251] библиографического списка. Этому значению энергии электрона на уровне Ферми может быть сопоставлена скорость некоего движения и тогда возможно поставить знак равенства между аналитическим выражением энергии Ферми и выражением кинетической энергии. Преобразуйте.
При нагревании кристалла меди массой 25 г от 10 оК до 20 оК ему было сообщено количество теплоты 0,8 Дж. Найти дебаевскую температуру для меди. Условие Т<<ТD считать выполненным. При столь низких температурах, указанных в условии задачи, полезна гипотеза Дебая, которая заключается, примерно, в следующем: если дебройлевская длина волны движущихся атомов кристаллической решётки становится сравнимой или превышает линейные размеры эффективной области движения, то движение атомов кристаллической решётки должно рассматриваться по законам квантовой механикой. Ему блестяще удалось справиться с решением задачи (для простой кубической решётки) и получить аналитическое выражение для удельной теплоёмкости кристалла. Это можно найти в работе [6, с. 413, формула 84.13] библиографического списка; интеграл в формуле можно заменить числом (44/15). Это выражение следует подставить в формулу элементарного количества теплоты, умножив на массу и элементарное изменение температуры. Если проинтегрировать, получите количество теплоты, подведённое к кристаллу меди. Концентрацию атомов меди в единице объёма найдёте через плотность и массу атома меди; массу атома меди можно найти через атомную массу и число Авогадро. Для ответа на вопрос придётся делать преобразования. Удачи.
Вычислить максимальную частоту Дебая, если известно, что молярная теплоёмкость серебра равна 1,7 Дж/(моль К) при Т 20 оК. Считать условие Т<D выполненным. Будьте внимательны, здесь задана молярная теплоёмкость; по-видимому, она равна произведению удельной теплоёмкости на молярную массу (проверьте). Серебро как вещество имеет некоторую кристаллическую структуру. Согласно классическим представлениям кристалл, состоящий из N атомов, является системой с 3N колебательными степенями свободы. При Т 0 смещение одного из атомов из положения равновесия влечёт за собой смещения других соседних атомов. Колебание, возникшее в каком-то месте кристалла, передаётся от одного атома к другому; возникает упругая волна. На границе кристалла волна отражается, в результате возникает стоячая волна. Таким образом, кристалл можно рассматривать как ансамбль упругих колебаний разной частоты. Дебай учёл, колебания атомов в кристаллической решётке не являются независимыми; кроме того, при понижении температуры уменьшаются средние скорости движения атомов кристалла и увеличивается соответствующая им дебройлевская длина волна ( h/(m)). Из соотношения неопределённости следует, если дебройлевская длина волны атома становится сравнимой или превышает линейные размеры эффективной области движения, то движение атома не подчиняется законом классической механики. Дебаю блестяще удалось преодолеть эти трудности (для тел с простой кубической решёткой). Аналитическое выражение для Вашей задачи (max) можно найти в работе [6, с. 413; формула 84.12] библиографического списка. Для нахождения m потребуется знание характеристической температуры Дебая. Эту трудность можно преодолеть, поскольку Вам известна молярная теплоёмкость при Т 20 оК; работа [6, с. 413; формула (84.13)]; интеграл в этой, несколько громоздкой формуле, можно заменить числом (44/15). Если не забыли, что имеете дело с молярной теплоёмкостью, должны получить выражение для температуры Дебая. Концентрацию электронов в единице объёма для серебра можно выразить из удельного веса, зная массу атома серебра. Массу атома серебра можно найти из атомной массы, зная, что это масса молекул, содержащихся в числе Авогадро. Преобразуйте. Вопросы приветствуются.
Можно ли считать температуры 20 и 30 оК низкими для кристалла, теплоёмкость которого при этих температурах равна соответственно 0,226 и 0,760 Дж/(мольК)? Следует обратить внимание, теплоёмкость дана молярная; в данных отразили? При столь низких температурах, указанных в условии задачи, для расчёта удельной теплоёмкости полезна гипотеза Дебая, которая заключается, примерно, в следующем: если дебройлевская длина волны движущихся атомов кристаллической решётки становится сравнимой или превышает линейные размеры эффективной области движения, то движение атомов кристаллической решётки должно рассматриваться по законам квантовой механикой. Ему блестяще удалось справиться с решением задачи (для простой кубической решётки) и получить аналитическое выражение для удельной теплоёмкости кристалла. Это можно найти в работе [6, с. 413, формула 84.13] библиографического списка; интеграл в формуле можно заменить числом (44/15). Данное выражение позволяет записать удельную теплоёмкость для температур 20 оК и 30 оК. Для ответа на вопрос придётся думать, какие преобразования делать и почему; например, можно разделить, а можно вычислить температуру Дебая. Выбор за Вами, есть и другие операции. Удачи.
|
|
|
Скачать 0.54 Mb.