Кирьянов. Самоучитель MathCad 11. Кирьянов д в
 Скачать 10.75 Mb.
|
|
Листинг 5.1. преобразованиях я Рис. 5.6. Различив в символьных вычислениях при помощи меню (сверху) и оператора Примечание Далее в этой главе, рассматривая символьные вычисления с помощью меню, будем иллюстрировать результаты рисунками, а символьные вычисления с применением оператора приводить в виде листингов. Символьная алгебра Символьный процессор Mathcad умеет выполнять основные алгебраические преобразования, такие, как упрощение выражений, разложение их на множители, символьное суммирование и перемножение. Упрощение выражений (Упрощение выражений — наиболее часто применяемая операция. Символьный процессор Mathcad стремится так преобразовать выражение, чтобы оно Часть II. Точные вычисления приобрело более простую форму. При этом используются различные арифметические формулы, приведение подобных слагаемых, тригонометрические тождества, пересчет обратных функций и др. Чтобы упростить выражение с помощью меню 5.7): 1. Введите выражение. Выделите выражение целиком или его часть, которую нужно упростить. Выберите команду Symbolics / Simplify (Символика / Упростить + 5 у + z\ - a у + z factor Variable Transform Evaluation Style... 5.7. Упрощение выражения Для упрощения выражения при помощи оператора символьного вывода используйте ключевое слово simplify (листинг 5.2). Не забывайте, если некоторым переменным, входящим в выражение, ранее были присвоены некоторые значения, то они будут подставлены в него при выполнении символьного вывода (листинг Листинг 5.2. Упрощение выражениях+ 2 ух Листинг 5.3. Упрощение выражения с подстановкой значения переменных уху Упрощение выражений, содержащих числа, производится по-разному, в зависимости от наличия в числах десятичной точки. Если она есть, то выполняется непосредственное вычисление выражения (листинг 5.4). Глава 5. Символьные вычисления Листинг 5.4. Упрощение выражения с числами simplify simplify 5.2.2. Разложение выражений (Операция символьного разложения или расширения выражений противоположна по смыслу операции упрощения. Входе разложения раскрываются все суммы и произведения, а сложные тригонометрические зависимости разлагаются с помощью тригонометрических тождеств. Разложение выражений производится путем выбора команды Symbolics / Expand (Символика Разложить) либо использованием вместе с оператором символьного вывода ключевого слова expand. Применение операции разложения было подробно рассмотрено в разд. 5.1 (см. рис. 5.3—5.6 и листинг. Разложение на множители (Разложение выражений на простые множители производится при помощи команды Symbolics / Factor (Символика / Разложить на множители) (рис. либо использованием вместе с оператором символьного вывода ключевого слова factor (листинг 5.5). Эта операция позволяет разложить полиномы на произведение более простых полиномов, а целые числа на простые сомножители. Применяя команду меню, не забывайте перед ее вызовом выделить все выражение или его часть, которую планируете разложить на множители. Разложение выражения на множители Часть Точные вычислений Листинг 5.5. Примеры разложения на множители х - 1 6 f a c t o r ( х - 2 ) • ( x + 2 ) 2 28 f a c t o r 2 5.2.4. Приведение подобных слагаемых (Чтобы привести подобные слагаемые полинома с помощью меню (рис. 5.9): 1. Введите выражение. Выделите в выражении имя переменной, относительно которой надо привести подобные слагаемые (в примерена рис. 5.9 это переменная у. Выберите команду Symbolics / Collect (Символика / Привести подобные). В результате появится строка с результатом приведения подобных слагаемых (нижняя строка на рис. 5.9). у У) + z Evaluate z - г z - z x + z 5.9. Приведение подобных слагаемых Чтобы привести подобные слагаемые с помощью оператора символьного вывода (листинг 5.6): 1. Введите выражение. Нажмите кнопку Collect на панели Symbolic (Символика. Введите в местозаполнитель после вставленного ключевого слова col- l e c t имя переменной, относительно которой требуется привести подобные слагаемые (впервой строке примера из листинга 5.6 это переменная х, во второй — у. Введите оператор символьного вывода. Нажмите клавишу Глава 5. Символьные вычисления 133 Примечание После ключевого слова c o l l e c t допускается задание нескольких переменных через запятую. В этом случае, что иллюстрируется последней строкой листинга, приведение подобных слагаемых выполняется последовательно по всем переменным 5.6. Приведение подобных слагаемых разным переменным . | ( х + 2 - у ) + z c o l l e c t , x 2 2 2 + z c o l l e c t , уху. Коэффициенты полинома Если выражение является полиномом относительно некоторой переменной х, заданным не в обычном виде а как произведение других, более простых полиномов, то коэффициенты легко определяются символьным процессором Mathcad. Коэффициенты сами могут быть функциями (подчас, довольно сложными) других переменных - ( х + 2 - у ) ( x + S у) + x + 2 + 1 - x - S - y Collect Polynomial 5.10. Вычисление коэффициентов полинома Чтобы вычислить полиномиальные коэффициенты в выражении при помощи меню Ю. Введите выражение Выделите в нем имя переменной или выражение, для которого требуется рассчитать полиномиальные коэффициенты (в примерена рис это переменная z). Часть II. Точные вычисления. Выполните команду Symbolic / Polynomial Coefficients (Символика / Коэффициенты полинома). В результате подвыражением появится вектор, состоящий из полиномиальных коэффициентов. Первым элементом вектора является свободный член ВТОРЫМИ Т. Д Примечание Конкретная задача, требующая вычисления полиномиальных коэффициентов, приведена в разделе, посвященном численному отделению корней полинома (см. разд. "Корни полинома" гл. Чтобы вычислить полиномиальные коэффициенты с помощью оператора символьного вывода. Введите выражение. Нажмите кнопку Coeffs на панели Symbolic (Символика. Введите в местозаполнитель после вставленного ключевого слова coeffs аргумент полинома. Введите оператор символьного вывода. Нажмите клавишу Примеры вычисления коэффициентов полинома приведены в листингах и 5.8. Листинг 5.7 показывает расчет коэффициентов для разных аргументов. Последний листинг демонстрирует возможность определения коэффициентов не только для отдельных переменных, но для более сложных выражений, входящих в рассматриваемую формулу в качестве составной части. Листинг 5.7. Вычисление коэффициентов полинома+ 2 - у ) , z x + 2 у ) у - + z x + 2 у + 1 - у • x - 5 у ' z у - 5 • z + z z - z • у Листинг 5.8. Вычисление полиномиальных коэффициентов для простой переменной и выражениях - 4 ( х - 7) c o e f f s , x ( 99 28 -11 1 Глава 5. Символьные вычислениях х - 7 ) х + 9 9 c o e f f s , х - 4 х - 7 х О 1 5.2.6. Ряды и произведения Чтобы вычислить символьно конечную или бесконечную сумму или произведение. Введите выражение, используя панель Calculus (Вычисления) для вставки соответствующих символов суммирования или произведения (см. разд. "Вычислительные операторы" гл. 3). При необходимости введите в качестве предела ряда символ бесконечности (клавиши. В зависимости от желаемого стиля символьных вычислений выберите команду Symbolics / Simplify (Символика / Упростить) или введите оператор символьного вывода Примеры численного и символьного вычисления рядов и произведений приведены в листингах 5.9 и Листинг 5.9. Символьные и численные расчеты рядов 10 i = ха • x n = 0 — = 649 100 2 2 Листинг Символьный расчет произведения П п 1 = 1 Часть II. Точные вычисления. Разложение на элементарные дроби to Partial Чтобы разложить сложную дробь на более простые дроби, следует либо выполнить команду Symbolics / Variable / Convert to Partial Fractions Символика Переменная / Разложить на элементарные дроби) (рис либо указать ключевое слово (листинг Применяя первый способ (меню), не забывайте перед выбором его команды выделить переменную, по которой будет производиться разложение, а если используется второй способ (с оператором символьного вывода, то имя переменной следует указать после ключевого слова В общем, последовательность действий при разложении на дроби та же самая, что и обычно (см, например, разд. В | — Expand factor Collect + 1 x - 2 63 x - 1 к - 2 Разложение сложной дробина элементарные дроби Разложение на элементарные дроби х + 9 х + х convert , , x 21 х - 2 ) 5.2.8. Подстановка переменной (Очень удобная возможность символьных вычислений — это операция подстановки значения переменной в выражение. При помощи меню подстановка производится следующим образом (рис. 5.12): 1. Выделите значение переменной, которое необходимо подставить в некоторое выражение. Значение переменной может быть любым выражением Глава 5. Символьные вычисления 137 относительно любых переменных (на рис. 5.12 в качестве подстановки взята самая первая строка документа. Скопируйте значение переменной в буфер обмена, например, нажатием клавиш Результат этих действий иллюстрируется нижней строкой в документе на рис. 5.12. - a x + a • x 5.12. Подстановка значения переменной Для осуществления той же операции в совокупности с оператором символьного вывода используйте ключевое слово substitute, которое вставляется в документ одноименной кнопкой на панели Symbolic (Символика). После ключевого слова substitute необходимо ввести в логическое выражение, показывающее, какую именно переменную какой формулой следует заменить (листинг Листинг значения переменной х + b • substitute , k = ах х + b • x) 138 Часть II. Точные вычисления. Матричная алгебра Символьный процессор Mathcad позволяет аналитически выполнять самые разные матричные вычисления. Помня о том, что большинство операций и встроенных функций осуществляются над матрицами точно также, как над обычными числами, к матричным вычислениям можно применять рассмотренную выше команду упрощения (Simplify) изменю символьных вычис- лений. Кроме того, имеется ряд специфичных матричных операций, которые можно организовать либо с помощью пункта меню Symbolics / Matrix Символика Матрица, либо с помощью нескольких кнопок на панели Sym- bolic (Символика, относящихся к матрицам (см. рис. 5.2). Это следующие матричные операции Transpose (Транспонирование Invert (Обратная матрица Determinant (Определитель). Выполняются действия с матрицами в той же последовательности, что и рассмотренные символьные операции со скалярными переменными. Перед их применением не забывайте выделить в выражении матрицу, к которой будет относиться операция. Математический анализ Наиболее ярким проявлением возможностей символьного процессора в являются аналитические вычисления пределов, производных, интегралов и разложений вряд, а также решение алгебраических уравнений. Все эти операции при выполнении их посредством меню Symbolics (Символика) находятся в его подменю (Переменная. Соответственно, требуется предварительное выделение в выражении переменной, относительно которой будет совершаться операция. Для выделения переменной достаточно поместить ее между линиями ввода, но для большей наглядности лучше выделить ее черным цветом путем протаскивания указателя мыши через нужную часть выражения. Все перечисленные операции можно осуществлять и при помощи оператора символьного вывода. Применение этого способа описывается в соответствующих главах части III (за исключением разложения вряд, освещенного в разд. 5.3.3). Ниже в этом разделе приводятся сведения о проведении операций математического анализа посредством меню. Примечание Символьный поиск предела функции описан в разд. "Вычислительные операторы" гл. 3). Глава 5. Символьные вычисления. Дифференцирование (Чтобы аналитически продифференцировать выражение по некоторой переменной, выделите в нем эту переменную и выберите команду Symbolics / /Differentiate (Символика/Переменная/Дифференцировать) 5.13). Mathcad - a] View J Symbolics D Collect Coefficients = • x + b к + + b ) Series,,. to Fraction 5.13. Дифференцирование переменной В результате в следующей строке за выражением появится значение ее производной. Для того чтобы найти вторую производную, повторно примените эту последовательность действий, но уже к полученному результату дифференцирования. Также находятся и производные высших порядков. Интегрирование (Для вычисления неопределенного интеграла от некоторого выражения по определенной переменной выделите в выражении переменную и выполните команду Symbolics / Variable / Integrate (Символика / Переменная / Интегрировать Вычисленное аналитическое представление неопределенного интеграла появится ниже. При этом результат может содержать как встроенные в Mathcad функции (см. гл. 10 и приложение 3), таки другие спецфункции, которые нельзя непосредственно рассчитать в Mathcad, но символьный процессор "умеет" выдавать их в качестве результата некоторых символьных операций. Примечание Более подробную информацию о символьном решении алгебраических уравнений, дифференцировании и интегрировании (с применением оператора символьного вывода, включая вычисление производных высших порядков, определенных кратных интегралов, можно найти в части этой книги (см. гл. 7). Часть II. Точные вычисления to Convert Flection 5.14. Интегрирование переменной. Разложение вряд С помощью символьного процессора Mathcad возможно получить разложение выражения вряд Тейлора по любой переменной х в точке хот. е. представить выражение в окрестности точки х суммой вида Здесь некоторые коэффициенты, независящие от х, но, возможно, являющиеся функциями других переменных, входящих в исходное выражение. Если выражение имеет в точке особенность, то соответствующее разложение называют рядом Лорана. Чтобы разложить выражение вряд Введите выражение. Выделите значение переменной, по которой требуется получить разложение в. Выполните команду Symbolics / Variable / Expand to Series (Символика Переменная / Разложить вряд) (рис. 5.15). 4. В появившемся диалоговом окне (рис. 5.16) введите желаемый порядок аппроксимации (Order of Approximation) и нажмите кнопку ОК. Результат разложения появится подвыражением (рис. 5.17). Внимание! Не забывайте, что разложение строится только в точке хо. Чтобы получить разложение в другой точке ха, можно, к примеру, подставить вместо переменной х значение ха (см. разд. 5.2.8). Глава 5. Символьные вычисления) Fife View Insert D + Expand Polynomial ficienls Style... Solve Integrate 5.15. Подготовка выражения для разложения вряд попеременной х Разложение вряд Тейлора к + ( L 120 Рис. 5.17. Результат разложения вряд Тейлора Для разложения вряд альтернативным способом, с помощью оператора символьного вывода, используйте ключевое слово series, вставляя его одноименной кнопкой панели Symbolic (Символика. После ключевого слова series, через запятую, указывается имя переменной, по которой производится разложение, и порядок аппроксимации (листинги 5.13 и 5.14). Сравнение функции и ее разложений в ряды с разными порядками аппроксимации (для иллюстрируется 5.18. Видно, что разложение вряд хорошо работает в окрестности точки хо, а по мере удаления от нее все сильнее и сильнее отличается от функции Часть Точные вычисления Листинг Разложение выражения вряд с разным порядком аппроксимации + b • s e r i e s x , 2 b • x 2 • x + b • s e r i e s , x , 3 к • x . + b • x 4 2 \ • x + b • s e r i e s , 5 b • x + к • • 6 2 2 4 Листинг 5.14. Разложение выражения вряд по разным переменным k , 3 2 + b • 3 2 1 г 1 1 b б 2 -1.5 0 0.5 1.5 5 . 1 8 . функция и ее разложения в ряды Тейлора. Решение уравнений (С помощью символьного процессора можно вычислить аналитически значение переменной, при котором выражение обращается в ноль. Для этого Введите выражение. Выделите переменную, относительно которой будет решаться уравнение, приравнивающее выражение к нулю Глава 5. Символьные вычисления. Выберите вменю (Символика) пункт Variable/ Solve Переменная Решить) (рис. Примечание Подробная информация о символьном решении алгебраических уравнений изложена в части IU (см. гл. 8). В частности, там рассказано о возможности решения систем уравнений и задании уравнений в привычной для нас форме логического равенства Mathcad - mcd] File Jnsert Fflrmat , Window Help Simplify Expand Polynomial Coefficients Variable Style... ' в 'z} Solve integrate Expand to Series... Convert to Partial Fraction 5.19. Символьное решение уравнения. Интегральные преобразования Интегральные преобразования, по определению, ставят в соответствие некоторой функции f (х) другую функцию от другого аргумента Причем это соответствие задается интегральной зависимостью. Символьный процессор Mathcad позволяет осуществлять три вида интегральных преобразований функций преобразование Фурье, Лапласа и зование. Наряду с прямыми преобразованиями, имеется возможность совершать любое из этих трех обратных преобразований, те (Выполняются все символьные интегральные преобразования аналогично уже рассмотренным операциям. Для вычисления преобразования выражения выделяется переменная, по которой будет осуществляться преобразование, и затем выбирается соответствующий пункт меню. Преобразования с применением оператора символьного вывода используются с одним из соответствующих ключевых слов, вслед за которым требуется указать имя нужной переменной Часть II. Точные вычисления Приведем примеры символьного расчета каждого из трех интегральных преобразований. Преобразование Фурье (Преобразование Фурье представляет функцию в виде интеграла по гармоническим функциям, называемого интегралом Фурье = Г f х) • - j Symbolics i Collect Coefficients 5.20. Расчет Фурье-преобразования при помощи меню Аналитический расчет преобразования Фурье при помощи меню показан на рис. 5.20. В листинге 5.15 приведены два примера вычисления прямого преобразования Фурье с применением ключевого слова и оператора символьного вывода Листингом 5.16 иллюстрируется обратное преобразование Фурье одной из функций предыдущего листинга. Примечание В преобразование Фурье можно вычислить с помощью численного процессора, использующего популярный алгоритм БПФ (см. разд. "Преобразование гл. 14). |