Кирьянов. Самоучитель MathCad 11. Кирьянов д в

• Название: Кирьянов д в
• Анкор: Кирьянов. Самоучитель MathCad 11.pdf
• Дата: 28.04.2017
• Размер: 10.75 Mb.
• Имя файла: Кирьянов. Самоучитель MathCad 11.pdf
• Тип: Реферат; #6148
• Категория: Информатика. Вычислительная техника
• страница: 24 из 36

Рис. 13.2. Решение стационарного двумерного уравнения теплопроводности
(см. листинг 13.7 ниже)
Как несложно сообразить, если искомая функция не зависит от времени, то частная производная повременив левой части уравнения равна нулю, и само уравнение можно переписать (переобозначив ради упрощения следующим образом у у)
Эх
2
-ф(х, у, и)
Полученное уравнение, согласно классификации предыдущего раздела, является эллиптическим. Его называют уравнением Пуассона а для его решения в Mathcad предусмотрены две встроенные функции. Если, к тому же,
источники равны нулю, то уравнение (2), принимающее вид называют
уравнением Лапласа

Глава 13. Уравнения в частных производных
Одномерное динамическое уравнение
Предположим, что мы рассматриваем задачу распределения тепла не по плоской поверхности, а по удлиненному телу типа металлического стержня
(рис. 13.3). В этом случае зависимость от координаты у в общем уравнении теплопроводности пропадает, и получается одномерное уравнение t)
t) .
(Эх, и 13.3.
модель одномерного уравнения теплопроводности
Одномерное уравнение намного проще двумерного, поскольку объем вычислений для реализации алгоритма его численного решения не так велик.
Типичное решение одномерного уравнения диффузии тепла с коэффициентом диффузии D=2, нулевым источником ф=о и начальным распределением температуры в форме нагретой центральной области стержня показано (в виде графика поверхности) на рис. Начиная с новой версии Mathcad 11, для решения одномерных параболических и гиперболических уравнений можно применять новую встроенную
ФУНКЦИЮ
Линейное и нелинейное уравнения
Если присмотреться к уравнению диффузии тепла внимательнее, то можно условно разделить практические случаи его использования на два типа Линейная задача — если коэффициент диффузии D не зависит от температуры и и, кроме того, если источник тепла ф либо также не зависит от и, либо зависит от линейно. В этом случае неизвестная функция и все ее производные входят в уравнение только впервой степени (линейно).
О Нелинейная задача — если уравнение имеет нелинейную зависимость от u ( x , t ) , те. или коэффициент диффузии зависит от и, и / или источник тепла нелинейно зависит от и

Часть ///. Численные методы
Рис. 13.4. Решение одномерного уравнения теплопроводности
(см. листинг 13.1 ниже)
Решение линейных уравнений в частных производных, как правило, получаются вполне предсказуемыми и их часто можно получить аналитически
(этим проблемам посвящены соответствующие главы науки, называемой математической физикой. В случае уравнения теплопроводности линейная задача описывает физически ожидаемое решение, выражающее остывание пластины или стержня в форме перетекания тепла от нагретого центра к холодной периферии.
Нелинейные уравнения, напротив, могут демонстрировать самые неожиданные решения, причем в подавляющем большинстве практических задач их можно получить только численно, а никак не аналитически.
Примечание
Различные линейные и нелинейные варианты рассматриваемого уравнения теплопроводности описывают различные модели физических сред, которые характеризуются определенными зависимостями D ( U ) ИВ частности, для металлов в большинстве случаев можно считать, что в то время как для плазмы имеется специфическая зависимость коэффициента диффузии от температуры.
Обратное уравнение теплопроводности
Замечательными свойствами обладает так называемое обратное уравнение диффузии тепла, которое получается путем замены в исходном (прямом)
уравнении переменной t на -t. Согласно постановке задачи, обратное уравнение теплопроводности описывает реконструкцию динамики профиля температуры остывающего стержня, если известно начальное условие в виде профиля температуры в некоторый момент времени после начала остыва-

Глава 13. Уравнения в частных производных
323
ния. Таким образом, требуется определить, как происходило остывание стержня. Мы ограничимся самым простым линейным уравнением с D=const без источников тепла t)
,
t)
(4)
Эх
2
Это уравнение гиперболического типа и оно, несмотря на кажущуюся близость к рассмотренным вариантам уравнения теплопроводности, обладает весьма замечательными свойствами.
Если попробовать осуществить расчет обратного уравнения диффузии тепла по тем же самым алгоритмам, что и для обычных уравнений (для этого достаточно в листинге 13.1 или 13.2 заменить значение коэффициента диффузии на отрицательное число, например МЫ получим заведомо не- физичное решение. Оно показано на рис. 13.5 в виде профилей распределения температуры для нескольких последовательных моментов времени. Как видно, решение выражается в появлении все более быстрых профиля температуры для каждого нового момента времени. Очень существенно, что такое поведение решение является не проявлением неустойчивости численного алгоритма
(см. разд этой главы а определяется спецификой самой задачи.
Оказывается, что обратное уравнение теплопроводности принадлежит к довольно широкому классу задач, называемых некорректными Некорректные задачи нельзя решать стандартными методами, а для того чтобы сними справиться (те, чтобы получить осмысленное физическое решение) приходится несколько менять саму их постановку, вводя в нее дополнительную априорную информацию о строении решения.
г -Ф 13.5. Численное решение обратного уравнения теплопроводности дает совершенно картину динамики температуры
{см. листинги 2 ниже с параметром D=-l)

324 Часть III. Численные методы Разностные схемы
Рассмотрим одномерное уравнение теплопроводности (3) и на его примере разберем наиболее часто использующийся для численного решения уравнений в частных производных метод сеток Выпишем еще раз само уравнение t)
t)
U)
'
Эха также и начальное =
(и граничные условия u(0, t)
,
которые необходимы для правильной с математической точки зрения постановки задачи.
Основная идея численного решения уравнений в частных производных очень похожа на метод решения краевых задач для ОДУ, рассмотренный нами в предыдущей главе. Основным отличием от ОДУ является необходимость дискретизации уравнения не по одной, а по нескольким переменным
(в зависимости от размерности задачи).
Таким образом, сначала следует покрыть расчетную область сеткой и использовать затем узлы этой сетки для разностной аппроксимации уравнения. В результате, вместо поиска непрерывных зависимостей u{x,t) достаточно будет отыскать значения функции в узлах сетки (а ее поведение в промежутках между узлами может быть получено при помощи построения какой-либо интерполяции. По этой причине дискретное представление функции и часто называют сеточной функцией.
Поскольку уравнения в частных производных по определению зависят от производных неизвестных функций по нескольким переменным, то способов дискретизации этих уравнений , может быть, как правило, несколько.
Конфигурацию узлов, используемую для разностной записи уравнений в частных производных на сетке, называют шаблоном а полученную систему разностных уравнений - разностной схемой О принципах построения разностных схем, ив частности, о классах явных и неявных схем, мы уже подробно говорили на примере краевых задач для ОДУ (см. разд. 12.3.1), поэтому, излишне не повторяясь, перейдем к рассмотрению типичных особенностей уравнений в частных производных, которые возникают при разработке и реализации разностных схем. Явная схема Эйлера
Рассмотрим сначала математические аспекты построения разностной схемы для уравнения диффузии тепла, а затем приведем примеры работы

Глава 13. Уравнения в частных производных
325
разработанного алгоритма применительно к линейному и нелинейному уравнениям.
Построение разностной схемы
Используем для решения уравнения теплопроводности шаблон, изображенный на рис. 13.6. Для дискретизации второй производной по пространственной координате необходимо использовать три последовательных узла, в то время как для разностной записи первой производной повремени достаточно двух узлов. Записывая на основании данного шаблона дискретное представление для узла, получим разностное уравнение Рис. 13.6. Шаблон аппроксимации явной схемы для уравнения теплопроводности
Приведем в разностной схеме (8) подобные слагаемые, перенеся в правую часть значения сеточной функции с индексом к (как часто говорят, с предыдущего слоя повремени, а в левую — с индексом (те. со следующего временного слоя. Кроме этого, введем коэффициент с , который будет характеризовать отношение шагов разностной схемы повремени и пространству. Несколько забегая вперед, заметим, что значение параметра с, называемого коэффициентом Куранта имеет большое значение для анализа устойчивости разностной схемы. С учетом этих замечаний, разностная схема (8) запишется в виде:
С •
\
+
+Множители для каждого из значений сеточной функции в узлах шаблона,
соответствующие разностному уравнению (9), приведены рядом с каждой точкой шаблона на 13.6. Фактически, геометрия шаблона и эти множители задают построенную нами разностную схему

326 Часть III. Численные методы
Несложно убедиться в том, что для получения замкнутой системы разностных алгебраических уравнений систему (9) необходимо дополнить дискретным представлением начального и граничных условий (6) и (7). Тогда число неизвестных будет в точности равно числу уравнений, и процесс формирования разностной схемы будет окончательно завершен.
Примечание
Важно подчеркнуть, что возможная нелинейность полученной системы алгебраических уравнений определяется зависимостями от температуры функций) и фите. как коэффициент диффузии, таки источник тепла могут быть функциями сеточной функции
Если присмотреться к разностным уравнениям (9) повнимательнее, то можно сразу предложить несложный алгоритм реализации этой разностной схемы. Действительно, каждое неизвестное значение сеточной функции со следующего временного слоя, те. левая часть соотношения (9) явно выражается через три ее значения с предыдущего слоя (правая часть, которые уже известны. Таким образом, в случае уравнения теплопроводности нам очень повезло для расчета го слоя повремени следует попросту подставить в (9) начальное условие (известные значения с нулевого слоя в узлах сетки, для расчета го слоя достаточно использовать вычисленный таким образом набор и с го слоя и т. д. Из-за того, что разностная схема сводится такой явной подстановке, ее и называют явной а благодаря пересчету значений с текущего слоя через ранее вычисленные слои - схемой
бегущего счета.
Линейное уравнение
Сделанные замечания относительно реализации явной схемы для уравнения диффузии тепла сразу определяют алгоритм ее программирования в Для решения задачи нужно аккуратно ввести в листинг соответствующие формулы при помощи элементов программирования.
Решение системы разностных уравнений (9) для модели без источников тепла, те и постоянного коэффициента диффузии приведена в листинге 13.1. В его первых трех строках заданы шаги повременной и пространственной переменным т и Да также коэффициент диффузии D, равный единице. В следующих двух строках заданы начальные
(нагретый центр области) и граничные (постоянная температура на краях)
условия, соответственно. Затем приводится возможное программное решение разностной схемы, причем функция пользователя v(t) задает вектор распределения искомой температуры в каждый момент времени (иными словами, на каждом слое, задаваемый целым числом t.

Глава Уравнения в частных производных Листинг Явная схема для линейного уравнения теплопроводности 0 . 0 0 0 5
:= 20
D { u )
ф ( хи х ) : = Ф - Ф o r d e r
: = 0 0 ..
: = I n i t
F ( v ) :=
Border (т т) + 0 . •
+
B o r d e r (t т) + 0 . •
+
f o r m e 1 .. M - 1
) +
V ( t )
i f t = 0
F ( V
1) ) o t h e r w i s e
13.7. Решение линейного уравнения теплопроводности 13.1)

328 Часть HI. Численные методы
Начальное распределение температуры вдоль расчетной области и решение для двух моментов времени показано на рис. 13.7 сплошной, пунктирной и штриховой линиями, соответственно. Физически такое поведение вполне естественно — стечением времени тепло из более нагретой области перетекает в менее нагретую, а зона изначально высокой температуры остывает и размывается.
Нелинейное уравнение
Намного более интересные решения можно получить для нелинейного уравнения теплопроводности, например с нелинейным источником тепла Заметим, что в листинге 13.1 мы предусмотрительно определили коэффициент диффузии и источник тепла в виде пользовательских функций, зависящих от аргумента и, те. от температуры (если бы собирались моделировать явную зависимость их от координат, то следует ввести в пользовательскую функцию в качестве аргумента переменную х, как это сделано для источника тепла ф. Поэтому нет ничего проще замены определения этих функций с констант И ф(х,и)=о на новые функции, которые станут описывать другие модели диффузии тепла. Начнем с того, что поменяем четвертую строку листинга 13.1 на не изменяя пока постоянного значения коэффициента диффузии Примечание
С физической точки зрения зависимость коэффициента диффузии и функции источника тепла от температуры означает, что эти параметры будут меняться от точки к точке среды, определяясь локальными значениями текущей температуры в этих точках. Ввод ненулевого источника тепла означает, что среда получает определенное количество тепла, тем большее, чем больше локальная температура. Можно догадаться, что введение такой зависимости может моделировать, в частности, горение среды.
Если осуществить расчеты с упомянутым источником (имеющим кубическую нелинейность, то получится очень интересное решение уравнения теплопроводности, имеющее профиль тепловых фронтов. Стечением времени граница раздела высокой и низкой температуры распространяется в обе стороны от зоны первичного нафева, оставаясь весьма четко выделенной (рис.
Еше более неожиданные решения возможны при нелинейности также и коэффициента диффузии. Например, если взять квадратичный коэффициент диффузии (что с учетом его умножения на неизвестные функции создаст кубическую нелинейность уравнения, а также то
Вы сможете наблюдать совсем иной режим горения среды. В отличие от рассмотренного эффекта распространения тепловых фронтов, горение оказывается локализованным в области первичного нагрева среды, причем,
температура в центре нафева со временем возрастает до бесконечной вели

Глава 13. Уравнения в частных производных
329
чины (рис. 13.9). Такое решение описывает так называемый режим горения
«с обострением».
О
13.8. Решение уравнения теплопроводности с нелинейным источником (тепловой фронт)
Читателю предлагается поэкспериментировать с этими другими нелинейными вариантами уравнения теплопроводности. Существенно, что такие интересные результаты удается получить лишь численно, а в Mathcad только с применением элементов программирования г 1
I

-
Л ft
Л f
•
0-4
13.9. Решение уравнения теплопроводности с нелинейным источником и коэффициентом диффузии (режим локализации горения

Часть III. Численные методы
Как мы убедились, явная разностная схема Эйлера дает вполне разумные результаты и вполне может использоваться для практического моделирования задач, связанных с решением уравнений в частных производных. Однако теперь пришло время сказать об очень важной характеристике разностных схем, которая называется их устойчивостью Не вдаваясь в детали,
заметим, что производить расчеты можно только при помощи устойчивых разностных схема чтобы пояснить это понятие, обратимся вновь к листингу, реализующему явную схему для линейного уравнения диффузии.
Слегка изменим соотношение шагов повремени и пространственной координате, произведя расчеты сначала с (эти результаты показаны на рис. 13.7 выше) и также си Результат применения ностной схемы Эйлера длят о.оою примерно тот же, что и для меньшего значения приведенного на рис. 13.7. А вот следующее (казалось бы, незначительное) увеличение шага повремени приводит к катастрофе
(рис. 13.10). Вместо ожидаемого решения получается совершенно неожиданные профили температуры, которые быстро осциллируют вдоль пространственной координаты, причем амплитуда и число пиков этих осцилля- быстро увеличиваются от шага к шагу. Совершенно ясно, что полученное решение не имеет ничего общего с физикой моделируемого явления, а является следствием внутренних свойств самой разностной схемы,
которые до этого были для нас скрыты 13.10. Численное решение уравнения теплопроводности при помощи явной схемы Эйлера (см. листинг ниже с временным шагом

Глава 13. Уравнения в частных производных Характерная «разболтка» решения как рази является проявлением неустойчивости явной схемы Эйлера для выбранного соотношения шагов повремени и пространству. В теории численных методов показывается, что явная схема Эйлера для уравнения теплопроводности устойчива при значениях коэффициента Куранта, меньших 1, и неустойчива в противоположном случае. Иными словами, существует ограничение для выбора соотношения шагов, заключающееся в том, что для расчета на более частых пространственных сетках необходимо использовать также и малые шаги по времени.
Примечание
Как несложно убедиться, для коэффициент Куранта с, для он все еще меньше единицы 8, а для решение уже больше единицы в связи с чем схема становится неустойчивой
(рис. 13.10).
Неявная схема Эйлера
В отличие от явной схемы Эйлера, неявная является безусловно устойчивой
(т. е. не выдающей «разболтки» ни при каких значениях коэффициента Куранта. Однако, ценой устойчивости является необходимость решения на каждом шаге повремени системы алгебраических уравнений.
Построение неявной разностной схемы
Чтобы построить неявную разностную схему для уравнения диффузии, используем шаблон, изображенный на рис те. для дискретизации пространственной производной будем брать значения сеточной функции с верхнего (неизвестного) слоя повремени. Таким образом, разностное уравнение для узла будет отличаться от уравнения для явной схемы (только индексами повременной координате в правой части ,
к