лекцииММиИТпП-ч.1. Конспект лекций ч. 1 Омск

• Название: Конспект лекций ч. 1 Омск
• Дата: 15.11.2021
• Размер: 1.27 Mb.
• Имя файла: лекцииММиИТпП-ч.1.docx
• Тип: Конспект; #273057
• страница: 1 из 16

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

"Омский государственный технический университет"

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
И ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
ПРИ ПРОЕКТИРОВАНИИ

Конспект лекций ч. 1


Омск

2015
Составитель: Масягин В.Б., к.т.н., доцент, профессор каф. «Технология машиностроения» ОмГТУ
ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие 4

1. ВВЕДЕНИЕ В ИНЖЕНЕРНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ 11

1.1. Техника и общество 11

1.2. Новые проблемы, стоящие перед инженерами 12

1.3. Связь техники с другими видами деятельности человека 14

1.4. Задача предмета «инженерное проектирование» 17

1.5. Процесс инженерного проектирования 17

1.6. Метод инженерного анализа 21

1.7. Качества, необходимые инженеру-проектировщику 28

1.8. Сравнение изобретательства и инженерного анализа 28

1.9. Вопросы для самопроверки 30

2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ 31

2.1. Введение 31

2.2.. Моделирование и технический прогресс 32

2.3. Понятие математической модели и математического моделирования 35

2.3.1. Свойства моделей 41

2.3.2. Цели моделирования 42

2.4. Классификация математических моделей 44

2.4.1. Классификация математических моделей в зависимости от сложности объекта моделирования 44

2.4.2. Классификация математических моделей в зависимости от оператора модели 45

2.4.3. Классификация математических моделей в зависимости от параметров модели 47

2.4.4. Классификация математических моделей в зависимости от целей моделирования 51

2.4.5. Классификация математических моделей в зависимости от методов реализации 53

2.4.6. Вопросы для самопроверки 55

2.5. Этапы построения математической модели 56

2.5.1. Обследование объекта моделирования 58

2.5.2. Концептуальная постановка задачи моделирования 61

2.5.3. Математическая постановка задачи моделирования 63

2.5.5. Выбор и обоснование выбора метода решения задачи 66

2.5.6. Реализация математической модели в виде программы для ЭВМ 70

2.5.7. Проверка адекватности модели 73

2.5.8. Практическое использование построенной модели и анализ результатов моделирования 75

2.5.9. Вопросы для самопроверки 76

3. Структурные модели 77

3.1. Что такое структурная модель? 78

3.2. Способы построения структурных моделей 86

3.3. Вопросы для самопроверки 94

4. Моделирование в условиях неопределенности 95

4.1. Причины появления неопределенностей и их виды 96

4.2. Вопросы для самопроверки 101

5. Линейные и нелинейные модели 101

5.1. О законе Гука и границах линейности 102

5.2. Поля, сплошные среды и уравнения математической физики. Линейные уравнения и принцип суперпозиции 104

5.3. О фракталах и их применении 105

6. Моделирование с использованием имитационно подхода 109

6.1. Особенности моделей, использующих имитационный подход 110

6.2. Вопросы для самопроверки 116

7. Математические модели исследования операций 116

7.1. Предмет и задачи исследования операций 117

7.2. Принципы, методы и средства исследования операций 126

7.3. Этапы операционного исследования 128

7.4. Математические модели исследования операций 130

7.5. Вопросы для самопроверки 135

Литературные источники. 135

Предисловие

Взаимодействие математики и техники. Технические науки развиваются в тесном взаимодействии и сотрудничестве с математикой. Это проявляется, с одной стороны, в использовании математического аппарата для решения научно-технических задач. С другой стороны, инженерная практика в значительной мере ориентирует и стимулирует развитие самой математики. В результате взаимодействия математики и техники возникают и успешно развиваются новые прикладные науки.

Одним из наиболее эффективных результатов взаимодействия математики и техники явилось создание современных компьютеров и информационных технологий. Развитие информационных технологий позволяет привести в действие более мощные ресурсы математики и усиливает ее роль как непосредственной производительной силы общества, способствуя тем самым прогрессу самой математики.

Современная математика. Наиболее характерной чертой современной математики является чрезвычайно высокая степень обобщения и абстракции. Традиционное определение математики как науки о пространственных формах и количественных отношениях уже не соответствует современному положению вещей, оно приобретает более глубокое и широкое содержание. Предмет современной математики составляют совокупности объектов самого общего вида и любые возможные отношения между ними.

Математика развивается как единая наука с присущими ей методами. Но в зависимости от точки зрения на ее предмет математику подразделяют на чистую и прикладную математику. Чистая математика отвлекается от конкретной природы объектов и сосредоточивает свое внимание на отношениях в чистом виде. Прикладная математика включает математические теории, проблемно-ориентированные на изучение явлений природы и общества.

Между чистой и прикладной математикой невозможно провести четкую грань, чисто математическая теория при определенных условиях может получить эмпирическую интерпретацию и стать основой для прикладной теории. В то же время теория, зародившаяся в недрах прикладных наук, может заслужить право на обобщение до уровня чисто математической теории.

3. Проектирование. Инженерное дело характеризуется чрезвычайно широкой сферой приложения: производственной, конструкторской, исследовательской или административной деятельностью.

Наряду с расширением сферы приложения инженерного дела, усиливается его специализация. Вследствие развития производства и прикладных наук происходит расщепление традиционных специальностей, появляются новые.

Будучи специалистом в узкой области, инженер должен быть подготовлен к сотрудничеству и взаимопониманию с представителями других областей науки и техники, что совершенно необходимо в условиях современного производства, при разработке сложных технических проектов или проведении научных исследований. Ясно, что такая подготовка может быть достигнута только на прочном фундаменте естественных и математических наук.

Не смотря на большое разнообразие конкретных форм инженерной деятельности, центральное место в ней занимают процессы обработки данных и приятия решений.

Принятие решений при проектировании основывается на анализе технических условий путем расщепления сложной задачи на более простые, использовании научно-технического опыта при теоретической и экспериментальной проверке выдвигаемых гипотез, всестороннем учете возможностей и ограничений технологии, экономических, социальных и психологических факторов.

Участие в научных исследованиях возлагает на инженера принятие решений, направленных на обеспечение надежного функционирования технических средств и получение достоверных данных об исследуемых объектах. Инженеры участвуют также в планировании эксперимента, обработке данных и оформлении научных результатов.

Процессы обработки данных и принятия решений требуют привлечения математических методов и вычислительных средств, уровень которых зависит от сложности решаемых задач. Разумеется, успех дела в значительной мере определяется личными качествами инженера, его профессиональной и теоретической подготовкой. Важнейшую роль в этом отношении играет умение инженера выбрать соответствующий его задаче математический аппарат и наиболее эффективно использовать его для получения требуемого результата.

Математический аппарат проектирования. К математическому аппарату можно отнести все то из математики, что используется при проектировании. В каждой конкретной области основу математического аппарата составляют математические теории, интерпретированные на совокупности объектов из данной области. Для математика интерпретация идет от теории к реальным системам, иллюстрирующим практичность теории и представляющим интерес как область ее приложения. При проектировании исходной является реальная система, при проектировании или исследовании которой необходимо найти и использовать подходящую или, как говорят, адекватную математическую теорию. После эмпирической интерпретации адекватная математическая теория приспосабливается к решению задач данной конкретной области и развивается как прикладная.

Для поиска и понимания математических теорий необходимо, прежде всего, знать язык математики. Без этого невозможно ни чтение математической литературы, ни общение с математиками. Более того, язык математики все больше проникает в прикладные области и широко используется в специальной литературе, т. е. в значительной мере становится и языком инженера.

Необходимым этапом на пути к адекватной теории является идеализация реальной системы в соответствии с поставленной задачей исследования или проектирования. Свойства идеализированной системы абстрагируются и отождествляются со свойствами математических объектов, в результате чего приходим к математической модели системы.

Замена реальной системы соответствующей моделью позволяет использовать для ее исследования методы адекватной математической теории. В рамках прикладной теории эти методы получают дальнейшее развитие в соответствии с характером решаемых задач и интерпретируются в терминах реальных объектов.

Итак,математический аппарат проектировщика можно определить как взаимосвязанную совокупность языка, моделей и методов математики, ориентированную на решение инженерных задач.

Математические модели. Реальные объекты обладают бесконечным множеством свойств и характеризуются бесконечным множеством связей как внутри самого объекта, так и вне его. Переход к соответствующим моделям является наиболее сложным и ответственным этапом применения математического аппарата в инженерном деле. Существует ряд общих требований, которые обычно предъявляются к математической модели: достаточная точность, предельная простота и стандартная форма.

Обеспечить достаточную точность модели – это значит учесть при идеализации реального объекта все существенные свойства и связи, отвлекаясь от второстепенных, несущественных свойств и связей.

Представляя реальный объект с достаточной точностью, математическая модель в то же время должна быть по возможности проще, так как дальнейшая работа со сложной моделью не только затруднительна, но может оказаться и практически невозможной.

При моделировании реальных объектов целесообразно ориентироваться на математические модели стандартного вида, которые обеспечены соответствующим аппаратом. Моделирование компонентов системы само по себе может представлять серьезные трудности, однако эта задача всегда проще, чем рассмотрение системы в целом. Кроме того, несмотря на огромное разнообразие систем, набор различных компонентов весьма ограничен, и их модели, полученные один раз в стандартной форме, могут затем многократно использоваться при моделировании сложных систем.

В общем случае модели компонентов характеризуются нелинейными зависимостями. Однако многие задачи допускают их линеаризацию. Если параметры компонентов можно считать не зависящими от времени, то система представляется стационарной моделью в виде дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Параметры системы и приложенные к ней воздействия можно рассматривать как детерминированные или случайные величины, что приводит соответственно к детерминированным или стохастическим моделям. Выбор той или иной модели зависит от характера протекающих процессов и поставленной задачи исследования.

Реальные физические процессы протекают в непрерывно изменяющемся времени, которое является аргументом соответствующих им функций. При этом математические модели, типичными представителями которых являются дифференциальные уравнения, также называют непрерывными. Однако во многих случаях целесообразно рассматривать состояние системы только для последовательности дискретных значений независимой переменной, отвлекаясь от характера происходящих процессов в промежутках между этими значениями. Этот подход обслуживают различные типы дискретных моделей.

Для представления математических моделей широко используется аппарат теории множеств, матриц и графов. Соответственно различают теоретико-множественные, матричные и топологические модели.

Математические методы. После того как математическая модель построена, дальнейшая работа состоит в применении соответствующих математических методов с целью получения необходимых характеристик данной модели, а значит, и исследуемого реального объекта. Большое разнообразие математических методов можно свести к трем основным видам: аналитическим, графическим и численным.

Аналитические методы позволяют провести исследование в общем виде, независимо от численных значений параметров системы. Аналитические зависимости позволяют использовать эффективные методы оптимизации и получить соотношения, характеризующие поведение системы при изменении ее параметров. При подстановке в аналитические выражения численных значений можно контролировать точность вычислений. Однако аналитические методы применимы только для простейших моделей. Из-за громоздкости аналитических выражений или невозможности их получения значение аналитических методов в инженерной практике сильно ограничивается. В то же время аналитическая форма является основной при изложении и развитии математического аппарата в общем виде.

Графические методы обладают наглядностью и успешно используются как для иллюстрации аналитических методов, так и непосредственно в инженерных расчетах. Они особенно удобны, если не требуется высокая точность или если интерес представляет качественная картина происходящих процессов. Графические методы ограничены возможностями построений на плоскости или в трехмерном пространстве, вследствие чего они применимы только для простых моделей. Особое место занимают методы теории графов.

Наиболее общими являются численные методы. Схема вычислений задается формулой или алгоритмом. В зависимости от характера вычислительного процесса численные методы подразделяются на прямые и итерационные.

В настоящее время разработано огромное количество вычислительных процедур, обслуживающих различные задачи исследования математических моделей при проектировании, организации производства и научных исследований.

Использование информационных технологий. В современных условиях большое значение приобретает применение развитого математического аппарата в сочетании с высокопроизводительной вычислительной техникой и информационными технологиями.

Возрастающая роль математического моделирования в инженерном деле обусловлена характерными особенностями развития техники. Это, прежде всего, усложнение технических проектов, жесткие технико-экономические условия, требования высокого качества и надежности в условиях массового производства, сжатые сроки проектирования и освоения новых изделий. В то же время математическое моделирование опирается на большой парк вычислительных машин, отличающихся принципом действия и уровнем специализации, производительностью и объемом памяти, способами программирования и организацией связей с внешними устройствами.

Многие инженерные задачи могут решаться на машинах с помощью стандартных методов и программ. В таких случаях инженеру достаточно быть осведомленным о возможностях, которые могут быть предоставлены в его распоряжение, однако рано или поздно возникнет необходимость написания программ для решения специальных задач и инженер должен быть подготовлен к этому.

В сложном процессе проектирования математическое моделирование сочетается с экспериментами над реальными объектами. Эксперимент служит источником исходных данных и критерием правильности выбранной модели. В то же время само моделирование является как бы экспериментом в чистом виде, в котором представлены наиболее существенные свойства и связи исследуемых объектов.

Математическое образование инженера. Значение математического образования в подготовке инженеров за последние десятилетия сильно возросло. Совершенствованием содержания и методики преподавания высшей математики в вузах постоянно занимаются крупнейшие ученые и педагоги. Однако существующее положение вещей оставляет желать много лучшего.

Вузовский курс высшей математики в значительной мере дополняется при изучении специальных инженерных дисциплин, в которых излагается необходимый математический аппарат. По существу изучение математики в вузах на различных уровнях продолжается в течение всего периода учебы студентов. Большую роль в математической подготовке инженеров играют спецкурсы и учебные пособия по тем разделам, которые не нашли должного отражения в основном курсе высшей математики.

Под влиянием требований все более усложняющейся инженерной практики изучение математики в вузах с каждым годом совершенствуется и углубляется. Постепенно видоизменяются учебные программы, пересматриваются традиционные методы преподавания, изменяется отношение ко многим классическим разделам, которым приходится потесниться, чтобы освободить место и время для важнейших разделов современной математики. Но как бы ни были совершенны программы и учебники, каким бы мастерством ни владели преподаватели, сколько бы ни отводилось для математических дисциплин часов в учебных планах, невозможно изучить впрок все то, что потребуется из математики для будущей инженерной деятельности. Математическое образование инженера не заканчивается в вузе, более того, оно не заканчивается никогда.

Само прогнозирование развития математического аппарата инженера – дело чрезвычайно трудное. Опыт показывает, что многие математические теории, которые не имеют сегодня непосредственного приложения в технике, завтра могут оказаться необходимыми для решения новых инженерных задач и послужить основой для дальнейшего расширения и обогащения математического аппарата инженера.

Следует учитывать также и психологические аспекты математического образования. Ясно, что интерес к изучению какого-либо раздела математики существенно зависит от того, заготавливаются ли знания впрок или же они требуются для решения конкретной прикладной задачи. В последнем случае овладение знаниями, навыками и умением проходит значительно эффективнее и глубже, так как процесс обучения подогревается острой практической потребностью.