лекцииММиИТпП-ч.1. Конспект лекций ч. 1 Омск

• Название: Конспект лекций ч. 1 Омск
• Дата: 15.11.2021
• Размер: 1.27 Mb.
• Имя файла: лекцииММиИТпП-ч.1.docx
• Тип: Конспект; #273057
• страница: 9 из 16

2.3. Понятие математической модели и математического моделирования

Понятия модели и моделирования наиболее распространены в сфере обучения, научных исследованиях, проектно-конструкторских работах, в серийном техническом производстве. В каждой из этих областей моделирование имеет свои особенности. Далее моделирование будет рассматриваться главным образом применительно к проектированию. Чаще всего термин «модель» используют для обозначения:

устройства, воспроизводящего строение или действие какого-либо другого устройства (уменьшенное, увеличенное или в натуральную величину);

аналога (чертежа, графика, плана, схемы, описания и т.д.) какого-либо явления, процесса или предмета.

К недостаткам термина «модель» следует отнести его многозначность. В словарях можно найти до восьми различных значений данного термина, из которых в научной литературе наиболее распространены два:

модель как аналог реального объекта;

модель как образец будущего изделия.

Важную роль при разработке моделей играют гипотезы, т.е. определенные предсказания, предположительные суждения о причинно-следственных связях явлений, основанные на некотором количестве опытных данных, наблюдений, догадок. Формулирование и проверка правильности гипотез основывается, как правило, на аналогиях.

Аналогия – это представление о каком-либо частном сходстве двух объектов, причем такое сходство может быть как существенным, так и несущественным. Существенность сходства или различия двух объектов условна и зависит от уровня абстрагирования, определяемого конечной целью исследования. Уровень абстрагирования зависит от набора учитываемых параметров объекта исследования. Например, при изучении механических свойств в качестве объектов исследования могут быть выделены материалы из дерева, металла, пластмассы и т.д. В свою очередь материалы из дерева можно подразделить по видам древесины на лиственные и хвойные, лиственные – на «березу», «тополь», «ясень» и т.д.

В данном примере степень абстрагирования снижается при добавлении учитываемых параметров. Следует заметить, что уровень абстрагирования данного объекта всегда устанавливается по отношению к другим объектам.

Гипотезы и аналогии, в определенной мере отражающие реальный, объективно существующий мир, должны обладать наглядностью или сводиться к удобным для исследования логическим схемам. Именно подобные логические схемы, упрощающие рассуждения и логические построения, а также позволяющие проводить эксперименты, приводящие к пониманию явлений природы, называют моделями. Другими словами, модель – это объект-заменитель объекта-оригинала, обеспечивающий изучение некоторых интересующих исследователя свойств оригинала.

Под моделью понимают такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе познания (изучения) замещает объект-оригинал, сохраняя некоторые важные для данного исследования типичные его черты. Процесс построения и использования модели называется моделированием.

Представленное определение является достаточно общим и может трактоваться по-разному. В частности, любое знание можно рассматривать как некоторую идеальную модель природного объекта или явления. В свою очередь, любой искусственный (т.е. созданный человеком) объект или процесс есть материальная модель, построенная на основе соответствующих знаний (идеальных моделей). В этом смысле можно говорить о трех реальностях или трех сферах (что близко к мыслям, высказанным В.И.Вернадским еще в 1922 г.), в которых живет человек.

Первой реальностью является живая и неживая природа, законы развития которой не зависят от человека. Поэтому природные объекты и явления нельзя рассматривать как модели по отношению к человеку. Однако познание и использование человеком природных объектов возможно только через их модели, которые в результате изучения самих объектов также изменяются.

Объекты природы находят свое отражение во второй реальности, или ноосфере, включающей знания, накопленные всем человечеством и практически мало зависящие от конкретного человека. Данная реальность, состоящая из идеальных моделей, зависит от эволюции человечества и изменяется в процессе познания, пополняясь новыми и изменяя старые модели. Можно сказать, что процесс познания в любой области знаний представляет собой непрерывное совершенствование существующих и построение новых моделей исследуемых объектов. Этот ряд моделей (с оптимистической точки зрения) бесконечен.

Наконец, третья реальность, или техносфера, которая может рассматриваться как отражение второй реальности, включает все материальные модели, созданные человеком.

В контексте данных рассуждений и приведенного выше определения модели можно сделать вывод о том, что человек в своей жизни в основном занимается знакомством с уже разработанными ранее моделями и созданием на их основе новых идеальных или материальных моделей. Поэтому понятие «человек моделирующий» можно считать тождественным понятию «человек разумный».

Отмеченная выше неоднозначность термина «модель», огромное число типов моделирования и их быстрое развитие затрудняют в настоящее время построение логически законченной, удовлетворяющей всех классификации моделей. Любая подобная классификация условна в силу того, что она отражает, с одной стороны, пристрастия авторов, а с другой - ограниченность их знаний в конечном числе областей научного познания. Данную классификацию следует рассматривать как попытку построения некоторого инструмента или модели для исследования свойств и характеристик самого процесса моделирования.

Как было отмечено ранее, моделирование относится к общенаучным методам познания. Использование моделирования на эмпирическом и теоретическом уровнях исследования приводит к делению (условному) моделей на материальные и идеальные.

Материальное моделирование – это моделирование, при котором исследование объекта выполняется с использованием его материального аналога, воспроизводящего основные физические, геометрические, динамические и функциональные характеристики данного объекта. К таким моделям, например, можно отнести использование макетов в архитектуре, моделей и экспериментальных образцов при создании различных транспортных средств.

Идеальное моделирование отличается от материального тем, что оно основано не на материализованной аналогии объекта и модели, а на аналогии идеальной, мыслимой и всегда носит теоретический характер.

Математическое моделирование – это идеальное научное знаковое формальное моделирование, при котором описание объекта осуществляется на языке математики, а исследование модели проводится с использованием тех или иных математических методов.

В качестве примера математического моделирования приведем классическую механику точки И. Ньютона, с помощью которой можно описать движение любого материального объекта, размеры которого малы по сравнению с характерными расстояниями, проходимыми телом. Фактически все современные разделы физики посвящены построению и исследованию математических моделей различных физических объектов и явлений. Так, физики-«ядерщики» до проведения экспериментов выполняют серьезные исследования с применением математических моделей. При этом на основании результатов теоретического моделирования разрабатывается и уточняется методика натурных экспериментов, выясняется, какие эффекты, где и когда следует ожидать, когда и что регистрировать. Такой подход позволяет значительно снизить затраты на проведение эксперимента, повысить его эффективность. Аналогичные замечания можно сделать по другим современным дисциплинам.

Как правило, значительные успехи в биологии и химии в последнее время были связаны с разработкой и исследованием математических моделей для биологических систем и химических процессов. В настоящее время широким фронтом идут работы по созданию математических моделей в экологии, экономике и социологии. Нельзя переоценить использование математических моделей в медицине и промышленности. Появилась возможность на научной (т.е. логически обоснованной) основе подходить ко многим экологическим и медицинским проблемам: имплантации и замене различных органов, прогнозированию развития эпидемий, обоснованной разработке планов ликвидации последствий крупных аварий и катастроф. Очень часто методы математического моделирования являются единственно возможными. Например, всестороннее математическое моделирование и «проигрывание» различных вариантов на ЭВМ позволило в кратчайшие сроки (1–2 недели) обоснованно спланировать и приступить к реализации плана ликвидации последствий Чернобыльской катастрофы. Уникальные результаты были получены по проекту «Гея», связанному с математическим моделированием последствий ядерной войны. Было выяснено, что в результате сильного запыления атмосферы возможно значительное глобальное похолодание («ядерная зима») и связанное с этим вымирание практически всего живого. Подобных примеров эффективного использования математических моделей можно привести очень много. В настоящее время это один из самых результативных и наиболее часто применяемых методов научного исследования.

Следует отметить, в сравнении с натурным экспериментом определенные преимущества математического моделирования:

экономичность (в частности, сбережение ресурсов реальной системы);

возможность моделирования гипотетических, т.е. не реализованных в природе объектов (прежде всего на разных эта? пах проектирования);

возможность реализации режимов, опасных или трудновоспроизводимых в натуре (критический режим ядерного реактора, работа системы противоракетной обороны);

возможность изменения масштаба времени;

простота многоаспектного анализа;

большая прогностическая сила вследствие возможности вы явления общих закономерностей;

универсальность технического и программного обеспечения проводимой работы (ЭВМ, системы программирования и пакеты прикладных программ широкого назначения).

Пример определения математической модели, характерный для «чистой» математики - под математической моделью понимается «класс абстрактных и символьных математических объектов, таких, как числа или векторы, и отношения между ними». Под математическим отношением понимается «гипотетическое правило, связывающее два или более символических объекта». Вводятся абстрактное и конструктивное определения математической модели. При абстрактном определении новая модель задается «непротиворечивым набором правил (определяющих аксиом), вводящих операции, которыми можно пользоваться, и устанавливающих общие отношения между их результатами. Конструктивное определение вводит новую математическую модель, пользуясь уже известными математическими понятиями (например, определение сложения и умножения матриц в терминах сложения и умножения чисел)».

Излишний формализм, оперирование абстрактными понятиями можно считать, с одной стороны, недостатком приведенного определения «чистых» математиков. С другой стороны, абстрактность понятий повышает общность определения модели, делает его применимым к моделям самых разных по природе, не похожих объектов и явлений. Кроме того, несомненными достоинствами этого определения является его строгость и логичность.

Для «прикладных» математиков характерна меньшая оторванность от реальной жизни, поскольку математические соотношения связывают не просто абстрактные математические объекты, а вполне конкретные параметры реальных физических, химических, биологических или социальных явлений или процессов. Желательно иметь определение математической модели, сохраняющее строгость и логичность последнего в «чистой» математике и, в то же время, пригодное для классификации существующих и создаваемых моделей, сравнения их между собой. Вариант подобного определения можно сформулировать в следующих выражениях.

Любая математическая модель, предназначенная для научных исследований, позволяет по заданным исходным данным найти значения интересующих исследователя параметров моделируемого объекта или явления. Поэтому можно предположить, что суть любой подобной модели заключается в отображении некоторого заданного множества значений входных параметров вмножество значений и выходных параметров. Данное обстоятельство позволяет рассматривать математическую модель как некоторый математический оператор и сформулировать следующее определение.

Под математической моделью будем понимать любой оператор, позволяющий по соответствующим значениям входных параметров установить выходные значения параметров объекта моделирования.

В зависимости от природы моделируемого объекта элементами множеств могут являться любые математические объекты (числа, векторы, тензоры, функции, множества и т.п.).

Понятие оператора в приведенном определении может трактоваться достаточно широко. Это может быть как некоторая функция, связывающая входные и выходные значения, так и отображение, представляющее символическую запись системы алгебраических, дифференциальных, интегро-дифференциальных или интегральных уравнений. Наконец, это может быть некоторый алгоритм, совокупность правил или таблиц, обеспечивающих нахождение (или Установление) выходных параметров по заданным исходным значениям.

Определение математической модели через понятие оператора является более конструктивным с точки зрения построения классификации таких моделей, поскольку включает в себя все многообразие имеющихся в настоящее время математических моделей.

С развитием вычислительной техники большое распространение получили информационные модели, представляющие, по существу, автоматизированные справочники, реализованные с помощью систем управления базами данных. Получая на входе некоторый запрос на поиск требуемой информации, подобные модели позволяют найти всю имеющуюся в базе данных информацию по интересующему вопросу. Однако такие модели не могут генерировать новое знание, отсутствующее в базе данных. Можно сказать, что это модели с нулевым потенциалом. В то же время в сочетании даже с весьма простыми математическими моделями (например, с применением регрессионного анализа) информационные модели могут привести к открытию новых закономерностей, позволить прогнозировать развитие исследуемых процессов.

2.3.1. Свойства моделей

В настоящее время нет предпосылок к выделению «самых элементарных» и «неделимых» кирпичиков мироздания. Поэтому можно утверждать, что любой объект исследования является бесконечно сложным и характеризуется бесконечным числом параметров. При построении модели исследователь всегда исходит из поставленных целей, учитывает только наиболее существенные для их достижения факторы. Поэтому любая модель нетождественна объекту-оригиналу и, следовательно, неполна, поскольку при ее построении исследователь учитывал лишь важнейшие с его точки зрения факторы. Другие факторы, несмотря на свое относительно малое влияние на поведение объекта по сравнению с выбранными факторами, в совокупности все же могут приводить к значительным различиям между объектом и его моделью. «Полная» модель, очевидно, будет полностью тождественна оригиналу.

Если результаты моделирования удовлетворяют исследователя и могут служить основой для прогнозирования поведения или свойств исследуемого объекта, то говорят, что модель адекватна объекту. При этом адекватность модели зависит от целей моделирования и принятых критериев. Учитывая заложенную при создании неполноту модели, можно утверждать, что идеально адекватная модель принципиально невозможна.

В качестве одной из характеристик модели может выступать простота (или сложность) модели. Очевидно, что из двух моделей, позволяющих достичь желаемой цели и получить требуемые результаты с заданной точностью, предпочтение должно быть отдано более простой. При этом адекватность и простота модели далеко не всегда являются противоречивыми требованиями. Учитывая бесконечную сложность любого объекта исследования, можно предположить существование бесконечной последовательности его моделей, различающихся по степени полноты, адекватности и простоты.

В качестве еще одного свойства модели можно рассматривать потенциальность модели, или предсказательность с позиций возможности получения новых знаний об исследуемом объекте. Эти «дерзость», «собственный ум» моделей – есть проявление множества внутренних связей, осознать совместное действие (синергетические эффекты) которых их создатели зачастую не в состоянии (по крайней мере – на стадии разработки). Именно свойство потенциальности (иногда называемое богатством модели) позволяет модели выступать в качестве самостоятельного объекта исследования.

В проектировании модели, не обладающие определенной «предсказательностью», едва ли могут считаться удовлетворительными.

Известно немало случаев, когда изучение или использование моделей позволило сделать открытия. В качестве примера можно привести открытие планеты Нептун, положение которой было предсказано французским астрономом Лаверье на основании расчетов, выполненных с использованием закона всемирного тяготения (т.е. модели) и данных о движении планеты Уран. В наше время только на основании результатов теоретического моделирования открыт высокотемпературный Т-слой в плазме (подтвержден экспериментально), использование которого позволяет значительно повысить коэффициент полезного действия магнито-гидродинамических генераторов, которые в настоящее время рассматриваются как перспективные устройства для получения электрической энергии.

2.3.2. Цели моделирования

Хорошо построенная модель, как правило, доступнее, информативнее и удобнее для исследователя, нежели реальный объект.

Рассмотрим основные цели, преследуемые при моделировании при проектировании. Самым важным и наиболее распространенным предназначением моделей является их применение при изучении и прогнозировании поведения сложных процессов и явлений. Следует учитывать, что некоторые объекты и явления вообще не могут быть изучены непосредственным образом. Недопустимы, например, широкомасштабные «натурные» эксперименты с экономикой страны или со здоровьем ее населения (хотя и те, и другие с определенной периодичностью ставятся и реализуются). Принципиально неосуществимы эксперименты с прошлым какого-либо государства или народа. Невозможно (по крайней мере, в настоящее время) провести эксперимент по прямому исследованию структуры звезд. Многие эксперименты неосуществимы в силу своей дороговизны или рискованности для человека и/или среды его обитания.

Как правило, в настоящее время всесторонние предварительные исследования различных моделей явления предшествуют проведению любых сложных экспериментов. Более того, эксперименты на моделях с применением ЭВМ позволяют разработать план натурных экспериментов, выяснить требуемые характеристики измерительной аппаратуры, наметить сроки проведения наблюдений, а также оценить стоимость такого эксперимента.

Другое, не менее важное, предназначение моделей состоит в том, что с их помощью выявляются наиболее существенные факторы, формирующие те или иные свойства объекта, поскольку сама модель отражает лишь некоторые основные характеристики исходного объекта, учет которых необходим при исследовании того или иного процесса или явления. Например, исследуя движение массивного тела в атмосфере вблизи поверхности Земли, на основании известных экспериментальных данных и предварительного физического анализа можно выяснить, что ускорение существенно зависит от массы и геометрической формы этого тела (в частности, от величины поперечного к направлению движения сечения объекта), в определенной степени – от шероховатости поверхности, но не зависит от цвета поверхности. При рассмотрении движения того же тела в верхних слоях атмосферы, где сопротивлением воздуха можно пренебречь, несущественными становятся и форма, и шероховатость поверхности.

Конечно, модель любого реального процесса или явления «беднее» его самого как объективно существующего (процесса, явления). В то же время хорошая модель «богаче» того, что понимается под реальностью, поскольку в сложных системах понять всю совокупность связей «разом» человек (или группа людей), как правило, не в состоянии. Модель же позволяет «играть» с ней: включать или отключать те или иные связи, менять их для того, чтобы понять важность для поведения системы в целом.

Модель позволяет научиться правильно управлять объектом путем апробирования различных вариантов управления. Использовать для этого реальный объект часто бывает рискованно или просто невозможно. Например, получить первые навыки в управлении современным самолетом безопаснее, быстрее и дешевле на тренажере (т.е. модели), чем подвергать себя и дорогую машину риску.

Если свойства объекта с течением времени меняются, то особое значение приобретает задача прогнозирования состояний такого объекта под действием различных факторов. Например, при проектировании и эксплуатации любого сложного технического устройства желательно уметь прогнозировать изменение надежности функционирования как отдельных подсистем, так и всего устройства в целом.

Итак, модель нужна для того, чтобы:

1) понять, как устроен конкретный объект: какова его структура, внутренние связи, основные свойства, законы развития, саморазвития и взаимодействия с окружающей средой;

2) научиться управлять объектом или процессом, определять наилучшие способы управления при заданных целях и критериях;

3) прогнозировать прямые и косвенные последствия реализации заданных способов и форм воздействия на объект.