лекцииММиИТпП-ч.1. Конспект лекций ч. 1 Омск

• Название: Конспект лекций ч. 1 Омск
• Дата: 15.11.2021
• Размер: 1.27 Mb.
• Имя файла: лекцииММиИТпП-ч.1.docx
• Тип: Конспект; #273057
• страница: 10 из 16

2.4. Классификация математических моделей

Бурное развитие методов математического моделирования и многообразие областей их использования привело к появлению огромного количества моделей самого разного типа. В связи с этим возникает необходимость в определенном упорядочивании, классификации существующих и появляющихся математических моделей. Учитывая большое число возможных классификационных признаков и субъективность их выбора, появление все новых классов моделей, следует отметить условность и незавершенность рассматриваемой ниже классификации.

Представляется возможным подразделить математические модели на различные классы в зависимости от:

сложности объекта моделирования;

оператора модели (подмодели);

входных и выходных параметров;

способа исследования модели;

цели моделирования.

2.4.1. Классификация математических моделей в зависимости от сложности объекта моделирования

В качестве объекта моделирования может выступать как некоторое материальное тело или конструкция, так и природный, технологический или социальный процесс либо явление. Все объекты моделирования можно разделить на две группы: простые и объекты-системы. В первом случае при моделировании не рассматривается внутреннее строение объекта, не выделяются составляющие его элементы или подпроцессы. В качестве примера подобного объекта можно привести материальную точку в классической механике.

Система есть совокупность взаимосвязанных элементов, в определенном смысле обособленная от окружающей среды и взаимодействующая с ней как целое.

Для сложных систем характерно наличие большого числа взаимно связанных, взаимодействующих между собой элементов.

Поведение системы быстро усложняется с ростом числа ее элементов системы. Данное обстоятельство, с одной стороны, говорит о сложности систем и многовариантности их поведения. С другой стороны, следует ожидать наличия больших трудностей, возникающих при изучении и моделировании систем.

Конечно, деление объектов исследования на «простые» и «сложные» условно. Поскольку для любых известных процессов, явлений, материальных тел невозможно выделить их «элементарные кирпичики», «атомы», то любой объект исследования можно считать бесконечно сложным. Упрощение его строения при разработке модели выполняется в результате отбрасывания малозначимых, несущественных для достижения поставленных на данный момент целей исследования связей между составляющими объект элементами. При изменении целей исследования или повышении требований к точности и глубине модели приходится, как правило, пересматривать уровень детализации объекта.

Модели объектов-систем, учитывающие свойства и поведение отдельных элементов, а также взаимосвязи между ними, называются структурными.

Среди структурных динамических систем выделяют в отдельный подкласс имитационные системы, состоящие из конечного числа элементов, каждый из которых имеет конечное число состояний. Число связей между элементами также предполагается конечным. Моделирование взаимодействий элементов внутри системы осуществляется с помощью некоторого алгоритма, реализуемого обычно с использованием ЭВМ. Для моделирования на ЭВМ реального времени вводится понятие системного времени, в качестве моделей отдельных элементов могут быть использованы модели любого типа.

Как правило, взаимодействие внешней среды со сложной системой полностью проследить не удается, что приводит к неопределенности внешних воздействий и, как следствие, неоднозначности в поведении самой системы. Наличие подобной неопределенности является характерной особенностью сложных систем.

2.4.2. Классификация математических моделей в зависимости от оператора модели

Любая математическая модель может рассматриваться как некоторый оператор, который является алгоритмом или определяется совокупностью уравнений - алгебраических, обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), систем ОДУ (СОДУ), дифференциальных уравнений в частных производных (ДУЧП), интегродифференциальных уравнений (ИДУ) и др.

Если оператор обеспечивает линейную зависимость выходных параметров от значений входных параметров, то математическая модель называется линейной. Линейные модели более просты для анализа. Например, из свойства линейности следует свойство суперпозиции решений.

Предельные значения для линейных моделей достигаются, как правило, на границах областей допустимых значений входных параметров.

Исторически первыми стали разрабатываться и исследоваться именно линейные математические модели. Область применения подобных моделей очень широка. Она охватывает классическую механику, электродинамику, аналитическую химию и биологию. Методы их построения, разрабатывавшиеся в течение столетий, обладают большой общностью и эффективностью.

Линейное поведение свойственно относительно простым объектам. Системам, как правило, присуще нелинейное многовариантное поведение.

В настоящее время все чаще возникает потребность не только в повышении точности моделирования, но и в создании качественно новых моделей, учитывающих нелинейность поведения реальных объектов исследования. Анализ подобных моделей намного сложнее, чем линейных, причем разработка методики и общих подходов к исследованию в настоящее время далека от завершения. Являясь более богатым и сложным, мир нелинейных моделей представляется для современной науки более перспективным в плане открытия новых закономерностей и описания сложных явлений. Например, такие явления, как солитоны и хаос, нельзя с достаточной степенью адекватности описать в рамках традиционных линейных моделей. Методы исследования нелинейных моделей в настоящее время быстро прогрессируют, складываясь в новые научные направления. К таким относительно новым направлениям можно отнести, например, синергетику – науку о сложных самоорганизующихся системах.

В зависимости от вида оператора математические модели можно разделить на простые и сложные.

В случае, когда оператор модели является алгебраическим выражением, отражающим функциональную зависимость выходных параметров от входных, модель будем называть простой.

Простые модели чаще всего являются результатом обобщения и анализа экспериментальных данных, полученных в результате наблюдений за исследуемым объектом или явлением. На основании анализа таких данных выдвигается гипотеза о возможной функциональной связи входных и выходных параметров. После этого гипотеза проверяется на имеющемся экспериментальном материале, уточняется степень ее адекватности, т.е. степень соответствия результатов моделирования, полученных с применением данной гипотезы, имеющимся знаниям об исследуемом объекте. Если результаты проверки неудовлетворительны, то принятая гипотеза отвергается и заменяется новой. Процесс повторяется до получения желаемой степени соответствия результатов эксперимента и модели.

В качестве примеров простых моделей можно привести многие законы физики (закон всемирного тяготения, закон Ома, закон Гука, закон трения Амонтона–Кулона), а также все эмпирические, т.е. полученные из опыта, алгебраические зависимости между входными и выходными параметрами. Так, в теории резания металлов очень часто используются соотношения, ставящие время и стоимость обработки детали на станке в зависимость от скоростей ее вращения (скорости резания) и осевого перемещения (скорости подачи) резца.

Модель, включающая системы дифференциальных и интегральных соотношений, уже не может быть отнесена к простым, так как для своего исследования требует применения довольно сложных математических методов. Однако в двух случаях она может быть сведена к простым:

1. 
   если полученная для подобной модели система математических соотношений может быть разрешена аналитически;
   
2. 
   если результаты вычислительных экспериментов со сложной моделью аппроксимированы некоторой алгебраической зависимостью. В настоящее время известно достаточно большое число под ходов и методов аппроксимации (например, метод наименьших квадратов или метод планирования экспериментов).
   

На практике довольно часто возникают ситуации, когда удовлетворительное описание свойств и поведения объекта моделирования (как правило, сложной системы) не удается выполнить с помощью математических соотношений. Однако в большинстве случаев удается построить некоторый имитатор поведения и свойств такого объекта с помощью алгоритма, который можно считать оператором модели.

Например, если в результате наблюдения за объектом получена таблица соответствия между входными выходными значениями параметров, то определить оператор, позволяющий получить «выход» по заданному «входу», зачастую бывает проще с помощью алгоритма.

2.4.3. Классификация математических моделей в зависимости от параметров модели

По своей природе характеристики объекта могут быть как качественными, так и количественными. Введение тех или иных количественных характеристик объекта моделирования возможно при наличии эталона сравнения. Например, для характеристики размеров тела используется эталонный образец - метр. Для количественной характеристики вводятся числа, выражающие отношения между данным параметром и эталоном. Кроме того, количественные значения параметра могут выражаться дискретными или непрерывными величинами. Качественные характеристики находятся, например методом экспертных оценок. В зависимости от вида используемых множеств параметров модели могут подразделяться на качественные и количественные, дискретные и непрерывные, а также смешанные.

При построении моделей реальных объектов и явлений очень часто приходится сталкиваться с недостатком информации. Как правило, для любого исследуемого объекта распределение свойств, параметры воздействия и начальное состояние известны с той или иной степенью неопределенности. Это связано с множеством трудно учитываемых факторов, ограниченностью числа используемых параметров модели, конечной точностью экспериментальных измерений. При построении модели возможны следующие варианты описания неопределенности параметров:

1. 
   детерминированное - значения всех параметров модели определяются детерминированными величинами (т.е. каждому пара метру соответствует конкретное целое, вещественное или комплексное число либо соответствующая функция). Данный способ соответствует полной определенности параметров;
   
2. 
   стохастическое - значения всех или отдельных параметров модели определяются случайными величинами, заданными плотностями вероятности. В литературе наиболее полно исследованы случаи нормального (гауссова) и показательного распределения случайных величин;
   

3. 
   случайное – значения всех или отдельных параметров моде ли устанавливаются случайными величинами, заданными оценка ми плотностей вероятности, полученными в результате обработки ограниченной экспериментальной выборки данных параметров. Эта форма описания тесно связана с предыдущей. Однако в рассматриваемом случае получаемые результаты моделирования будут существенным образом зависеть от точности оценок моментов и плотностей вероятности случайных параметров, от постулируемых законов распределения и объема выборок;
   
4. 
   интервальное - значения всех или отдельных параметров модели описываются интервальными величинами, заданными интервалом, образованным минимальным и максимально возможными значениями параметра;
   
5. 
   нечеткое – значения всех или отдельных параметров модели описываются функциями принадлежности соответствующему не четкому множеству. Такая форма используется, когда информация о параметрах модели задается экспертом на естественном языке, а следовательно, в «нечетких» (с позиции математики) терминах типа «много больше пяти», «около нуля».
   

В теории игр встречается еще один вид неопределенности параметров модели, называемый игровой неопределенностью. В данном пособии указанный вид неопределенности не рассматривается.

Разделение моделей на одномерные, двухмерные и трехмерные применимо для таких моделей, в число параметров которых входят координаты пространства, и связано с особенностями реализации этих моделей, равно как и с резким увеличением их сложности при возрастании размерности (с «проклятием размерности» по образному выражению Р. Беллмана). Как правило, увеличение размерности модели приводит к росту числа используемых математических соотношений. Особенно сложны в реализации трехмерные модели, требующие высокопроизводительной вычислительной техники с большим объемом оперативной и дисковой памяти. Реализация таких моделей стала возможной лишь с появлением вычислительных машин третьего поколения и потребовала создания специальных вычислительных методов и приемов.

Как правило, эффективная реализация трехмерных моделей возможна лишь на многопроцессорных вычислительных комплексах с использованием языков параллельных вычислений. Среди характерных вычислительных трудностей, с которыми сталкиваются при создании моделей в трехмерной постановке, можно отметить необходимость хранения и решения систем уравнений большой размерности (10 тысяч уравнений и более), проблемы подготовки исходной информации и ее проверки, наглядное отображение полученных результатов. При разработке модели стараются (если это возможно) понизить размерность. Однако необоснованное понижение размерности модели может существенно исказить результаты моделирования. Например, если для исследования движения брошенного мяча в вертикальной плоскости использование двухмерной модели может быть оправдано, то для исследования движения бумеранга такую модель строить бесполезно.

Из всей совокупности параметров при разработке различных моделей отдельно следует рассмотреть учет времени. Как и координаты, время относится к независимым переменным, от которых могут зависеть остальные параметры модели. В различных ситуациях объект исследования может по разному испытывать влияние времени. Обычно чем меньше масштаб объекта, тем существеннее зависимость его параметров от времени. Если сравнивать скорости изменения различных объектов по отношению к масштабам, характерным для Земли, то можно отметить, что для галактик время заметных изменений измеряется миллионами лет, а для элементарных частиц – миллионными долями секунды. Учитывая, что весь окружающий нас материальный мир состоит из постоянно изменяющихся и взаимодействующих элементарных частиц и полей, то все без исключения объекты исследования следует считать изменяющимися во времени.

Любой объект стремится перейти в некоторое равновесное состояние как с окружающей его средой, так и между отдельными элментами самого объекта. Нарушение этого равновесия приводит к изменениям различных параметров объекта и его переходу в новое равновесное состояние.

При построении модели важным является сравнение времени существенных изменений внешних воздействий и характерных времен перехода объекта в новое равновесное состояние с окружающей средой, а также времени релаксации, определяющего установление равновесия между отдельными элементами внутри объекта. Если скорости изменения внешних воздействий на объект моделирования существенно меньше скорости релаксации, то явной зависимостью от времени в модели можно пренебречь. В этом случае говорят о квазистатическом процессе.

Например, если скорость появления микротрещин в элементах конструкции моста, связанная с сезонными колебаниями температуры и переменностью нагрузок, невелика, то расчет его максимальной несущей способности можно проводить в рамках статической модели. Срок службы моста в этом случае можно определить с помощью квазистатической модели, использующей зависимость прочностных свойств материала моста от суммарного числа циклов нагружения до разрушения.

Совокупность значений параметров модели в некоторый момент времени или на данной стадии называется состоянием объекта.

Если скорости изменения внешних воздействий и параметров состояния изучаемого объекта достаточно велики (по сравнению со скоростями релаксации), то учет времени необходим. В этом случае объект исследования рассматривают в рамках динамического процесса.

Условие движения отдельных элементов исследуемого объекта не является обязательным условием включения времени в число параметров модели. Для примера рассмотрим течение жидкости в длинной трубе постоянного сечения. Эксперименты показывают, что на достаточно большом удалении от входа в трубу частицы жидкости движутся параллельно оси трубы.

При этом если условия на входе не изменяются и скорость течения невелика (ламинарный режим течения), то профиль скоростей частиц в данном сечении трубы с течением времени остается неизменным. В этом случае в каждой фиксированной точке исследуемого пространства значения параметров модели не зависят от времени.

Подобные процессы называют стационарными. Как правило, стационарные модели применяются для описания различных потоков (жидкости, газа, тепла) в случае постоянства условий на входе и выходе потока. Для таких процессов время может быть исключено из числа независимых переменных.

Если в качестве одной из существенных независимых переменных модели необходимо использовать время (или его аналог), то модель называется нестационарной. Примером нестационарной модели является модель движения жидкости в трубе, но вытекающей

Заметим, что для значительной части реальных процессов стационарные режимы являются наиболее предпочтительным. После их определения (с применением той или иной математической модели) проверяется устойчивость стационарного режим (решения), что во многих случаях требует постановки и решения нестационарной задачи для возмущений стационарного решения. В ряде случаев, когда определение стационарных режимов из аналитического решения или некоторых эвристических соображений затруднено, их поиск осуществляется методом установления соответствующей нестационарной задачи (т.е. ищется решение нестационарной задачи, асимптотически стремящееся к стационарному). Следует отметить, что этим методом довольно часто пользуются при решении стационарных задач численными методами, поскольку методы решения нестационарных задач часто оказываются существенно эффективнее, чем стационарных.

2.4.4. Классификация математических моделей в зависимости от целей моделирования

Целью дескриптивных моделей является установление законов изменения параметров модели. В качестве примера такой модели можно привести модель движения материальной точки под действием приложенных сил, использующая второй закон Ньютона. Задавая положение и скорость точки в начальный момент времени (входные параметры), массу (собственный параметр) и закон изменения прикладываемых сил (внешние воздействия), можно определить скорость и координаты материальной точки в любой момент времени (выходные параметры). Полученная модель описывает зависимость выходных параметров от входных. Поэтому дескриптивные модели являются реализацией описательных и объяснительных содержательных моделей на формальном уровне моделирования.

Другой пример дескриптивной модели - модель движения ракеты после старта с поверхности Земли. В качестве параметров модели в Данном случае могут выступать начальное положение и начальная скорость ракеты (входные), ее начальная масса, импульс двигателя, режим его работы (собственные параметры), закон изменения сил притяжения и сил сопротивления атмосферы (внешние воздействия). Выходными параметрами будут положение и скорость центра масс ракеты и ее ориентация в пространстве в произвольный момент времени.

Оптимизационные модели предназначены для определения оптимальных (наилучших) с точки зрения некоторого критерия параметров моделируемого объекта или же для поиска оптимального (наилучшего) режима управления некоторым процессом. Часть параметров модели относят к параметрам управления, изменяя которые можно получать различные варианты наборов значений выходных параметров. Как правило, данные модели строятся с использованием одной или нескольких дескриптивных моделей и включают некоторый критерий, позволяющий сравнивать различные варианты наборов значений выходных параметров между собой с целью выбора наилучшего. На область значений входных параметров могут быть наложены ограничения в виде равенств и неравенств, связанные с особенностями рассматриваемого объекта или процесса. Целью оптимизационных моделей является поиск таких допустимых параметров управления, при которых критерий выбора достигает своего «наилучшего значения».

Примером оптимизационной модели может служить моделирование процесса запуска ракеты с поверхности Земли с целью подъема ее на заданную высоту за минимальное время при ограничениях на величину импульса двигателя, время его работы, начальную и конечную массу ракеты. Математические соотношения дескриптивной модели движения ракеты выступают в данном случае в виде ограничений типа равенств.

Отметим, что для большинства реальных процессов, конструкций требуется определение оптимальных параметров сразу по нескольким критериям, т.е. мы имеем дело с так называемыми многокритериальными задачами оптимизации. При этом нередкими являются ситуации противоречивости критериев; например, при оптимизации конструкции рамы грузового автомобиля можно потребовать максимальной жесткости, минимальной массы и минимальной стоимости. Для решения подобных задач используются специальные методы и алгоритмы.

Управленческие модели применяются для принятия эффективных управленческих решений в различных областях целенаправленной деятельности человека. В общем случае принятие решений является процессом, по своей сложности сравнимым с процессом мышления в целом. Однако на практике под принятием решений обычно понимается выбор некоторых альтернатив из заданного их множества, а общий процесс принятия решений представляется как последовательность таких выборов альтернатив. Например, на предприятии освободилась должность главного инженера, и задача директора состоит в выборе из имеющегося множества кандидатов на эту должность одного, отвечающего заданным требованиям. Сложность задачи заключается в наличии неопределенности как по исходной информации (неполные данные о кандидатах) и характеру воздействия внешних условий (случайное: выбранный кандидат заболел или отказался; игровое: министерство против выбранной кандидатуры), так и по целям (противоречивые требования к выбираемой кандидатуре: должен быть хорошим специалистом и администратором, опытен, энергичен, молод и пр.). Поэтому в отличие от оптимизационных моделей, где критерий выбора считается определенным и искомое решение устанавливается из условий его экстремальности, в управленческих моделях необходимо введение специфических критериев оптимальности, которые позволяют сравнивать альтернативы при различных неопределенностях задачи.

Поскольку оптимальность принятого решения даже в одной и той же ситуации может пониматься по-разному, вид критерия оптимальности в управленческих моделях заранее не фиксируется. Именно в этом состоит основная особенность данных моделей.

Методы формирования критериев оптимальности в зависимости от вида неопределенности рассматриваются в теории выбора и принятия решений, которая базируется на теории игр и исследовании операций.

2.4.5. Классификация математических моделей в зависимости от методов реализации

Метод реализации модели относят к аналитическим, если он позволяет получить выходные параметры в виде аналитических выражений, т.е. выражений, в которых используется не более чем счетная совокупность арифметических операций и переходов к пределу.

Частным случаем аналитических выражений являются алгебраические выражения, в которых используется конечное или счетное число арифметических операций, операций возведения в целочисленную степень и извлечения корня.

Учитывая различное число членов ряда, можно вычислять значение функции с различной степенью точности. Например, учет первых шести членов ряда в разложении показательной функции обеспечивает точность в 10^-4, а первых десяти – 10^-8. Таким образом, значение функции при каждом значении аргумента в этом случае определяется приближенно. Модели, использующие подобны прием, называются приближенными.

Аналитические методы реализации модели являются более ценными в том плане, что позволяют с меньшими вычислительными затратами изучить свойства объекта моделирования, применяя традиционные хорошо развитые математические методы анализа аналитических функций. Существенно, что применение аналитических методов возможно без использования ЭВМ (за исключением случаев, когда аналитическое решение определяется в рядах и для его доведения до числа требуются трудоемкие вычисления с применением ЭВМ). Кроме того, знание аналитического выражения для искомых параметров позволяет исследовать фундаментальные свойства объекта, его качественное поведение, строить новые гипотезы о его внутренней структуре. Следует отметить, что возможности аналитических методов существенно зависят от уровня развития соответствующих разделов математики.

В настоящее время мощный всплеск интереса к аналитическим методам при реализации моделей связан с появлением пакетов математических вычислений. Спектр решаемых данными пакетами задач очень велик и постоянно расширяется (элементарная математика, символьные операции с полиномами, производными и интегралами, с векторами и матрицами, задачи теории поля и векторного анализа, метод конечных элементов и т.п.). Применение подобных программных средств не только упрощает процедуру получения аналитического решения, но и облегчает последующий анализ полученного решения с применением различного рода визуализаторов.

К сожалению, существующие в настоящее время математические методы позволяют получить аналитические решения только для относительно несложных математических моделей в узком диапазоне значений параметров. В большинстве случаев при исследовании моделей приходится использовать алгоритмические подходы, позволяющие получить лишь приближенные значения искомых параметров.

При численном подходе совокупность математических соотношений модели заменяется конечномерным аналогом. Это чаще всего достигается дискретизацией исходных соотношений, т.е. переходом от функций непрерывного аргумента к функциям дискретного аргумента. После дискретизации исходной задачи выполняется построение вычислительного алгоритма, т.е. последовательности арифметических и логических действий, выполняемых на ЭВМ и позволяющих за конечное число шагов получить решение дискретной задачи. Найденное решение дискретной задачи принимается за приближенное решение исходной математической задачи.

Степень приближения определяемых с помощью численного метода искомых параметров модели зависит как от погрешностей самого метода, связанных с заменой исходной модели ее дискретным аналогом, так и от ошибок округления, возникающих при выполнении любых расчетов на ЭВМ в связи с конечной точностью представления чисел в ее памяти. Основным требованием к вычислительному алгоритму является необходимость получения решения исходной задачи с заданной точностью за конечное число шагов.

К настоящему времени круг вопросов, связанных с разработкой и использованием численных методов, а также с построением на их основе вычислительных алгоритмов, выделился в самостоятельный быстро развивающийся и обширный раздел - вычислительную математику.

Если при численном подходе дискретизации подвергалась полученная система математических соотношений, то при имитационном подходе на отдельные элементы разбивается сам объект исследования. В этом случае система математических соотношений для объекта-системы в целом не записывается, а заменяется некоторым алгоритмом, моделирующим ее поведение и учитывающим взаимодействие друг с другом моделей отдельных элементов системы. Модели отдельных элементов могут быть как аналитическими, так и алгоритмическими.

Алгоритмические модели, использующие как численный, так и имитационный подход, не позволяют получить решения задач в аналитической форме, что затрудняет и усложняет процесс анализа результатов моделирования. Так как применение моделей данного типа возможно лишь при наличии вычислительной техники, то их эффективность зависит от мощности и быстродействия ЭВМ. Несомненным достоинством алгоритмических моделей является отсутствие принципиальных ограничений на сложность модели, что позволяет применять их для исследования систем произвольной сложности.

Использование математической модели, построенной алгоритмическими методами, аналогично проведению экспериментов с реальным объектом, только вместо реального эксперимента с объектом проводится вычислительный эксперимент с его моделью. Задаваясь конкретным набором значений исходных параметров модели, в результате вычислительного эксперимента находим конкретный набор приближенных значений искомых параметров. Для исследования поведения объекта при новом наборе исходных данных необходимо проведение нового вычислительного эксперимента.

2.4.6. Вопросы для самопроверки

Что такое модель и моделирование? Цели моделирования?

В каких областях человеческой деятельности применяются модели?

Можно ли отнести мифологию к моделированию? Почему?

Какие типы моделей используются в изучаемых вами дисциплинах (включая дисциплины вузовского курса)?

Какие существуют типы моделирования?

В чем отличие моделирования натурного от мысленного?

Назовите характерные особенности аналоговых моделей.

Что такое когнитивная модель?

Какие модели называют содержательными?

Назовите разновидности содержательных моделей.

Чем концептуальная модель отличается от содержательной?

Что такое формальная модель?

Какое моделирование называется математическим?

Какие примеры математических моделей вам известны?

Сформулируйте достоинства математических моделей.

Приведите и проанализируйте различные примеры определений математических моделей.

Что может выступать в качестве оператора при математическом моделировании?

Почему информационные модели нельзя считать разновидностью математических?

По каким классификационным признакам можно разделять математические модели?

Чем простые модели отличаются от сложных?

В чем заключается сложность моделирования систем?

Какие типы моделей можно выделить по виду оператора моделирования?

Чем отличаются линейные и нелинейные модели?

Какие типы моделей выделяются по виду параметров моделирования?

Чем характерна дескриптивная модель?

Для каких целей служит оптимизационная модель?

Чем отличаются стационарные и нестационарные модели?

Как влияет размерность на сложность модели? Почему?

Перечислите способы описания неопределенности параметров модели.

Назовите основные методы реализации моделей, перечислите их достоинства и недостатки.