лекцииММиИТпП-ч.1. Конспект лекций ч. 1 Омск

• Название: Конспект лекций ч. 1 Омск
• Дата: 15.11.2021
• Размер: 1.27 Mb.
• Имя файла: лекцииММиИТпП-ч.1.docx
• Тип: Конспект; #273057
• страница: 16 из 16

7. Математические модели исследования операций

Наука «Исследование операций», элементы которой предлагаются вниманию студента, принадлежит к числу новых, сравнительно недавно сформировавшихся дисциплин, ее границы и содержание нельзя считать четко определенными. Предмет под названием «Исследование операций» входит в программу многих высших учебных заведений, однако далеко не везде в это понятие вкладывается одно и то же содержание. Некоторые даже склонны отрицать существование такой науки, считая ее одной из составных частей кибернетики. Другие, напротив, вкладывают в понятие «исследование операций» чрезмерно широкое содержание, провозглашая эту дисциплину чуть ли не «наукой наук». Время покажет, в каких формах будет продолжать свое существование эта сравнительно молодая наука, какие разделы, обычно излагаемые в ее составе, сохранятся в ней, а какие «отпочкуются» в виде новых самостоятельных научных дисциплин. Во всяком случае, несомненным остается тот факт, что в самых разных областях практики – таких, как организация производства, боевые действия и вооружение, эксплуатация транспорта, бытовое обслуживание, здравоохранение, связь, вычислительная техника и т. д., – сегодня возникают и будут продолжать возникать задачи, сходные между собой по постановке, обладающие рядом общих признаков и решаемые методами исследования операций. Сегодня даже трудно назвать такую область человеческой деятельности, где бы не возникали и не требовали решения задачи исследования операций.

В настоящем конспекте, в краткой и по возможности доступной форме, излагаются задачи и методологические принципы исследования операций, формулируются основные понятия этой науки и дается представление о некоторых математических методах решения ее задач.

7.1. Предмет и задачи исследования операций

В наше время, которое по справедливости называют веком научно-технической революции, наука уделяет все возрастающее внимание вопросам организации и управления. Быстрое развитие и усложнение техники, небывалое расширение масштабов проводимых мероприятий, внедрение автоматизированных систем управления во все области практики – все это приводит к необходимости научного анализа сложных целенаправленных процессов под углом зрения их структуры и организации. От науки требуются рекомендации по оптимальному (правильному) управлению такими процессами.

Потребности практики вызвали к жизни специальные научные методы, которые принято объединять под общим названием «Исследование операций». Под исследованием операций понимается применение математических, количественных методов для обоснования решений во всех областях целенаправленной человеческой деятельности.

Что же такое «решение»? Это какой-то выбор из ряда возможностей, имеющихся у организатора.

Необходимость принятия решений так же стара, как само человечество. Несомненно, уже в доисторические времена первобытные люди, отправляясь, скажем, охотиться на мамонта, должны были принимать те или другие решения. В каком месте устроить засаду? Как расставить охотников? Чем их вооружить? И т. д. Однако до поры до времени решения принимались без специальных обоснований, просто на основе опыта и здравого смысла. В некоторых случаях такой способ принятия решений нас устраивает и до сих пор. Допустим, человек выходит утром из дому, чтобы ехать на работу. По ходу дела ему приходится принять целый ряд решений: как одеться? Брать ли с собой зонтик? В каком месте перейти улицу? Каким видом транспорта воспользоваться? Все эти решения человек принимает без всяких расчетов, опираясь на имеющийся у него опыт и здравый смысл. Для их обоснования никакая наука не нужна да и вряд ли потребуется в дальнейшем. Оптимизация таких решений происходит как бы сама собой, в процессе жизненной практики. Если порой принятое решение окажется не самым удачным, так что же? На ошибках учатся.

Но бывают решения несравненно более ответственные. Пусть, например, организуется работа общественного транспорта во вновь отстроенном городе. Необходимо принять ряд решений: по каким маршрутам какие транспортные средства и в каком количестве надо направить? В каких пунктах сделать остановки? Как изменять частоту следования машин в зависимости от времени суток? и т. д.

Эти решения являются несравненно более сложными, а главное, от них очень многое зависит. В первом примере неправильный выбор решения затронет интересы одного человека, во втором он может отразиться на деловой жизни целого города. Конечно, и в этом случае при выборе решения можно действовать интуитивно, опираясь на опыт и здравый смысл, но гораздо более разумными окажутся решения, если они будут подкреплены количественными, математическими расчетами. Эти предварительные расчеты помогут избежать длительного и накладного поиска решения «на ощупь».

«Семь раз примерь, один – отрежь»– говорит пословица. Исследование операций как раз и представляет собой своеобразное математическое «примеривание» к будущему, позволяющее экономить силы, время и материальные средства.

Чем более сложным и дорогостоящим является организуемое мероприятие, тем менее допустимы в нем «волевые» решения и тем большее значение приобретают научные методы, позволяющие заранее оценить последствия каждого решения, заранее отбросить недопустимые варианты и рекомендовать наиболее удачные, позволяющие установить, достаточна ли имеющаяся у нас информация для правильного выбора решения, и если нет – какую информацию нужно дополнительно получать и обрабатывать. Нередки, правда, случаи, когда опираться на опыт и здравый смысл при выборе решения просто невозможно, когда речь идет о мероприятии, осуществляемом в первый раз. «Опыт» в этом случае молчит, а «здравый смысл» легко может обмануть, если не будет опираться на расчет. Такими математическими расчетами, облегчающими людям принятие разумных решений, и занимается исследование операций.

Это сравнительно молодая наука. Впервые это название появилось в годы второй мировой войны, когда в вооруженных силах некоторых стран (в частности, США и Англии) были сформированы специальные группы, в задачу которых входила подготовка решений для командующих боевыми действиями; эти решения касались главным образом боевого применения оружия и распределения сил и средств по различным объектам. Подобного рода задачами, правда, под иными названиями, занимались и ранее, в частности, в нашей стране. В дальнейшем исследование операций расширило область применения на самые разные области практики: промышленность, сельское хозяйство, торговлю, бытовое обслуживание, транспорт, здравоохранение, охрану природы и т. д.

Чтобы познакомиться со спецификой исследования операций, рассмотрим ряд типичных для нее задач. При этом намеренно возьмем их из разных областей практики. Типы процессов и классы связанных с ними задач можно кратко охарактеризовать следующим образом.

Процессы создания и хранения запасов. Процессами, связанными с проблемой запасов, принято называть такие процессы, которые требуют либо обоих, либо одного из двух следующих решений: (а) сколько заказывать (производить или покупать) и (б) когда заказывать. Эти решения требуют регулирования запасов, что связано с затратами по одной или нескольким из следующих статей: заказ или переоборудование; дефицит или задержка; изменение уровня производства или закупок. В качестве средств, применяемых к решению этих задач, используются уравнения экономичного размера партии, а также аппарат линейного, динамического и квадратичного программирования.

Процессы распределения. Эти процессы возникают, когда (а) существует ряд операций, которые необходимо выполнить, и ряд различных путей их выполнения, (б) нет в наличии ресурсов или средств, обеспечивающих выполнение каждой из этих операций наиболее эффективным образом. Задача в таком случае заключается в соединении операций и ресурсов таким образом, чтобы добиться максимального общего эффекта. Как ресурсы, так и операции могут быть конкретно заданы. Если задано что-либо одно из двух, то задача заключается в том, чтобы определить, при каком втором в комбинации с заданным первым можно в конечном итоге добиться наибольшего эффекта.

Средствами, которые в практике работы наиболее часто использовались при решении задач распределения, являются линейное и другие виды математического программирования.

Процессы обслуживания. Эти процессы связаны с наличием клиента, требующего обслуживания. За исключением очень редких случаев, либо клиенту, либо обслуживающему, либо как тому, так и другому приходится ждать. Все виды ожидания связаны с расходами. Задача заключается в том, чтобы регулировать появление клиентов или определять объем и организацию обслуживания с тем, чтобы свести к минимуму оба эти вида ожидания и связанные с ними расходы.

К задачам по определению объема обслуживания и времени появления клиентов (составление расписания) применима теория очередей. К задачам по определению порядка обслуживания клиентов применима теория расписаний. И наконец, к задачам определения распределения и группировки каналов и других элементов процессов обслуживания в систему обслуживания применима теория балансирования линий.

Процессы замены. Процессы замены распадаются на два основных класса в зависимости от вида износа оборудования: либо оно устаревает и становится несовременным (менее эффективным) в результате длительного срока службы или появления нового оборудования (например, станки), либо не устаревает, но полностью выходит из строя, «гибнет» (например, электролампы).

Для устаревающих видов оборудования задача заключается в установлении времени замены с тем, чтобы сократить расходы на новое оборудование, на ремонт и эксплуатацию старого или расходы, связанные со снижением производительности оборудования. Для видов оборудования, которые полностью выходят из строя, задача заключается в том, чтобы определить, какие элементы следует заменить (например, все, кроме тех, которые были установлены на прошлой неделе) и как часто их менять с тем, чтобы снизить расходы на оборудование, на замену частей и другие затраты, связанные с выходом их из строя.

Задачи эксплуатации и ремонта могут рассматриваться как частный случай задач замены, поскольку здесь требуется, как правило, замена отдельной части, а не всего комплекса оборудования. Отсюда как к задачам замены оборудования, так и к задачам ремонта применим один и тот же подход.

Состязательные процессы. Состязательные процессы – это процессы, в которых эффективность решения одной стороны может оказаться сниженной в связи с решением другой стороны. Наиболее часто встречающаяся в проектах операционного исследования ситуация носит название игра. Игра характеризуется количеством участников, правилами игры, сформулированными с учетом всех возможных допустимых действий, некоторым множеством конечных состояний (выигрыш, проигрыш, ничья и т. п.) и наградами или потерями, вызываемыми этими результатами. Основные методы, связанные с решением этого класса задач, известны как теория игр.

Другим видом состязательного процесса являете я такая ситуация, при которой имеет место аукционный торг. Она отличается от игры следующими признаками: (а) количество участников обычно неизвестно, (б) количество партий, как правило, не ограничено, (в) награды и проигрыш заранее неизвестны и могут лишь быть примерно оценены, (г) результат состязания (выигрыш или проигрыш) также неизвестен и может быть только оценен. Разработка теории торгов еще только началась, но уже имеются некоторые полезные средства для решения этого рода задач.

Комбинированные процессы. Реальные системы очень редко характеризуются только одним из вышерассмотренных процессов. Так, например, задачи по управлению производством обычно включают сочетание процессов создания запасов, распределения и обслуживания. Или же, если взять задачу замены отдельных элементов, которые выходят из строя, то она, как правило, связана с проблемой запасов, а задача торгов может оказаться связанной с задачей распределения ресурсов между несколькими возможными контрактами, на которые могут быть сделаны ставки.

Обычная процедура исследования, комбинированных процессов состоит в последовательном решении задач. Мы знаем, что во многих случаях не удается достичь оптимальной решения даже при последовательной, повторяющейся корректировке. Отсюда ясно, что перед исследователем операций со все возрастающей необходимостью встает проблема отыскать сочетание абстрактных процессов и построить модели, основанные на взаимодействии нескольких рассматриваемых здесь процессов. Удовлетворение этой потребности все больше и больше привлекает внимание научной мысли. Следует отметить также, что шесть видов рассмотренных здесь процессов не исчерпывают всех ситуаций, с которыми приходится сталкиваться при решении операционных задач. Но они охватывают большинство ситуаций, с которыми до сих пор приходилось иметь дело в практике исследования операций. Однако можно ожидать, что в будущем обнаружится и будет подвергнуто математическому анализу гораздо большее число часто встречающихся ситуаций.

Названия абстрактных моделей не должны сковывать, воображения студента. Модели запасов применимы к задачам наличных денег, оборотного капитала и рабочей силы. Модели очередей могут быть применены к решению некоторых задач управления запасами. Воображение является столь же эффективным средством успешного научного анализа, как и любая другая способность разума.

Число примеров легко было бы умножить, но и приведенных достаточно, чтобы представить себе отличительные особенности задач исследования операций. Несмотря на то, что рассмотренные примеры относятся к самым разным областям практики, в них легко просматриваются общие черты. В каждом из них идет речь о каком-то мероприятии, преследующем определенную цель. Заданы некоторые условия, характеризующие обстановку выполнения мероприятия (в частности, средства, которыми мы можем распоряжаться). В рамках этих условий требуется принять такое решение, чтобы задуманное мероприятие было в каком-то смысле наиболее выгодным (или наименее убыточным).

В соответствии с этими общими чертами вырабатываются и общие приемы решения подобных задач, в совокупности составляющие методологическую основу и аппарат исследования операций.

Познакомимся же с терминологией и основными принципами этой науки.

Операцией называется всякое мероприятие (или система действий), объединенное единым замыслом и направленное к достижению какой-то цели.

Операция является управляемым мероприятием, т. е. от нас зависит выбрать тем или другим способом какие-то параметры, характеризующие ее организацию. «Организация» здесь понимается в широком смысле слова (включая набор технических средств, применяемых в операции).

Всякий определенный выбор зависящих от нас параметров называется решением. Решения могут быть удачными и неудачными, разумными и неразумными. Оптимальными называются решения, по тем или иным признакам предпочтительные перед другими. Цель исследования операций – предварительное количественное обоснование оптимальных решений.

Иногда (сравнительно редко) в результате исследования удается указать одно-единственное, строго оптимальное решение. Гораздо чаще – выделить область практически равноценных оптимальных (разумных) решений, в пределах которой может быть произведен окончательный выбор.

Заметим, что само принятие решения выходит за рамки исследования операций и относится к компетенции ответственного лица, чаще – группы лиц, которым предоставлено право окончательного выбора. При этом выборе они могут учитывать наряду с рекомендациями, вытекающими из математического расчета, еще ряд соображений (количественного и качественного характера), которые этим расчетом не были учтены.

Непременное присутствие человека (как окончательной инстанции принятия решения) не отменяется даже при наличии полностью автоматизированной системы управления, которая, казалось бы, принимает оптимальное решение в зависимости от обстановки без участия человека. Нельзя забывать о том, что само создание управляющего алгоритма, выбор одного из возможных его вариантов есть тоже решение, и весьма ответственное. По мере развития автоматизированного управления функции человека не отменяются, а просто перемещаются с одного, элементарного уровня на другой, высший.

Те параметры, совокупность которых образует решение, называются элементами решения. Например, если планируется система перевозок грузов, элементами решения будут числа, показывающие, какое количество грузов будет послано из каждого пункта отправления в каждый пункт назначения.

В простейших задачах исследования операций количество элементов решения может быть сравнительно небольшим. Но в большинстве задач, имеющих практическое значение, число элементов решения очень велико, что, разумеется, затрудняет анализ ситуации и выдачу рекомендаций. Как правило, любая задача исследования операций выливается в целое научное исследование, выполняемое коллективно, занимающее много времени и требующее применения вычислительной техники. Поэтому студент не должен надеяться на то, что, ознакомившись с этим конспектом, он сразу же, засучив рукава, может приступить к решению конкретных задач.

Кроме элементов решения, которыми мы, в каких-то пределах, можем распоряжаться, в любой задаче исследования операций имеются еще и заданные, «дисциплинирующие» условия, которые фиксированы с самого начала и нарушены быть не могут. В частности, к таким условиям относятся средства (материальные, технические, людские), которыми мы вправе распоряжаться, и различного вида ограничения, налагаемые на решение.

Более строго, целью исследования операций, дисциплины, возникшей в связи с развитием промышленных организаций, является обеспечение руководства научной основой для решения задач, связанных с вопросами взаимодействия различных подразделений организации в интересах общих целей всей организации. Решение, которое представляется наиболее выгодным для всей организации в целом, считается оптимальным решением, решение, которое наиболее выгодно для одной или более частей организации, назовем субоптимальным. Задача установления критериев оптимальности решения сама по себе чрезвычайно сложна и очень специфична.

При проведении операционных исследований стараются отыскать наилучшие решения для возможно большей части всей организации. Например, при попытке разрешить задачу ремонта на предприятии операционными методами стремятся учесть влияние различных вариантов политики проведения ремонтов на производство в целом. Можно пойти даже дальше и попытаться определить, как это влияние на данную фирму в свою очередь отражается на всей промышленности и т. д. По возможности также предпринимается попытка учесть, как воздействие на производственный отдел скажется на других отделах и на фирме в целом. В исследовании операций стремятся учитывать взаимодействия или причинно-следственные связи настолько, насколько это представляется существенным. Однако в любом конкретном случае объем операционных исследований практически обычно ограничен, либо в связи с тем, что доступ на более высокие уровни организации закрыт, либо в связи с ограничениями во времени, деньгах и ресурсах. Это необходимо иметь в виду при изучении исследования операций. Всегда существует: расхождение между идеальными устремлениями и реальными возможностями. Тем не менее, основная цель исследования операций сводится к отысканию оптимальных решений задач организационного типа с учетом функционирования всей организации в целом.

Такой общий характер цели операционных исследований является примером системного подхода, поскольку под «системой» подразумевается взаимосвязанный комплекс функционально соотнесенных компонентов. Так, фирма является системой «человек – машина». Но не все системы включают человеческий или социальный компонент. Автомобиль, например, состоит из таких функциональных частей, как мотор, передача, радиатор, генератор. Все эти и другие части собраны в единый механизм, который может удовлетворять ряд потребностей. Эффективность функционирования каждой части зависит от отлаженности механизма в целом, а эффективность работы всего механизма зависит от того, как функционирует каждая его отдельная часть.

Проблемы оптимизации, конструкции механических систем сходны, с проблемами оптимизации систем «человек – машина», но не тождественны им. Оба типа систем связаны с противоречиями интересов. Покупатели автомобилей хотят иметь надежные, экономичные, удобные, просторные, изящные машины, обладающие высокой скоростью. Но нельзя в одинаковой степени удовлетворить все эти требования одновременно. Поэтому задача конструирования требует оптимизации с учетом некоторого множества по крайней мере, частично противоречивых целей. Проблема «разделения труда» в промышленных организациях отлична от вопросов функционирования компонентов в механических системах, так как в системах, куда входят люди, существует серьезная проблема создания заинтересованности для работы различных подразделений по выполнению соответствующих функций.

Применение научных методов к построению механических систем и систем «человек – машина» иногда называют анализом систем и ставят знак равенства между ними исследованием операций. В определенном смысле конструирование и оценка боевых систем и систем связи является операционным исследованием. Но традиционно ориентируются на системы, включающие человека, поскольку именно на это делается упор в практике применения исследования операций в сфере деловой и производственной деятельности.

И до сих пор проводятся операционные исследования, выполняемые группами ученых, отдельные члены которых представляют различные теоретические и прикладные дисциплины. Нередко, например, можно встретить группу из математиков, физиков, психологов и экономистов, которые работают вместе над задачами оптимизации политики капиталовложений. Продуктивность таких групп, состоящих из представителей различных специальностей, при решении класса организационных задач, составляющих предмет исследования операций, не случайна.

Когда ученый сталкивается с задачей нового типа, он, как и любой другой на его месте, старается прежде всего определить сущность задачи и установить, приходилось ли ему ранее иметь дело с задачами подобного вида в иных конкретных условиях, в частности в своей специальной области. Если он устанавливает аналогию с задачами, с которыми встречался в своей области, он может посмотреть, насколько применимы методы решения, которыми он воспользовался бы при решении своих специальных задач, к той новой задаче, с которой он столкнулся. Таким образом, он вводит в круг возможных подходов к задаче те методы и принципы, которые вне связи с его специальностью и опытом могли бы даже и не прийти никому на ум. И когда одну задачу решают специалисты из различных областей, то круг возможных подходов к ее решению, естественно, расширяется.

Так, например, специалист в области электроники, изучая проблему производства и регулирования запасов, может быстро понять, что колебания объема запасов являются функцией времени, которое проходит между колебаниями на рынке и приспособлением к ним уровня производства. Фактически он рассматривает задачу как задачу по конструированию управляемой системы, в которой необходимая информация относительно изменения рыночной конъюнктуры поступает быстро и безошибочно в пункт управления производством, откуда могут быть посланы команды на изменения в производственном процессе, снижающие некоторые расходы. Он фактически перевел задачу на язык теории автоматического регулирования, и он знает, как решать такого рода задачи. Пример этот вовсе не гипотетический.

С другой стороны, инженер-химик может иначе посмотреть на ту же задачу и попытаться сформулировать ее в терминах теории непрерывных процессов, и, если ему это удастся, он сможет применить к решению этой задачи имеющиеся в его распоряжении готовые методы.

Какой из возможных подходов окажется наиболее продуктивным, зависит от обстоятельств. Исследовательская группа рассматривает предложенные варианты и выбирает один из них или выдвигает совершенно новый, в котором сочетаются черты предложенных ранее подходов.

Одна из основных идей создания комплексных операционных групп заключается в том, чтобы применить к решению данной задачи наиболее передовую научную методику или разработать новую, которая была бы более эффективна в отношении решения подобных задач, чем любая из уже имеющихся. По существу, эта идея сводится к тому, что ни в одной голове, взятой в отдельности, не может разместиться столько потенциально полезной научной информации, сколько в нескольких, взятых вместе.

Еще одним существенным достоинством такого подхода является то, что большинство систем «человек – машина» требует подхода с различных точек зрения, например с точки зрения физической, биологической, психологической, социологической, экономической и инженерной. Эти различные аспекты системы могут быть лучше поняты и проанализированы теми, кто специализируется в той или иной области. Те, кто непосредственно управляет данной системой, могут не иметь достаточного представления о какой-то одной или нескольких ее сторонах, а, следовательно, не располагать полной картиной ее функционирования. Другими словами, для того чтобы представлять систему как единое целое, недостаточно знать ее части и их взаимодействие; необходимо также видеть различные аспекты функционирования системы. В комплексной группе количество аспектов, которые могут быть подробно рассмотрены, возрастает.

7.2. Принципы, методы и средства исследования операций

Поскольку в исследовании операций определенные классы задач встречаются все чаще и чаще, они, естественно, подвергаются более тщательному изучению. В результате для многих классов часто встречающихся задач разработаны новые принципы подхода или предложена модификация прежних. Постепенно арсенал принципов, методов и средств, разработанных или приспособленных специально для целей операционного исследования, значительно вырос. Он достиг уже такого уровня, когда одному человеку трудно быть осведомленным относительно всех нововведений. Это уже само по себе привело к важным последствиям.

Десять лет назад любой, кто интересовался этой областью, обладал творческим складом ума и хорошей научной или инженерной подготовкой, мог легко стать операционистом. Для этого не нужно было специальной подготовки или образования. Теперь возможность такого свободного перехода в область исследования операций сужается, поскольку в связи с быстрым прогрессом в этой области требуется все больше и больше времени, чтобы быть в курсе тех принципов, методов и средств, которыми она в настоящее время располагает.

Вместе с тем с увеличением необходимого объема знаний появляется возможность преподавать исследование операций как отдельный предмет. Во многих университетах, колледжах и технических институтах вводятся соответствующие курсы, а в некоторых из них окончившим курс предлагается совершенствоваться дальше по программе, которая дает возможность получения ученой степени. Именно в результате интенсивного развития этой области как самостоятельной, со своими собственными принципами, методами и средствами, появилась возможность систематического изучения.

Здесь мы в основном сосредоточим свое внимание на все возрастающем объеме знаний, требуемых в исследовании операций. Мы не будем останавливаться на описании большого числа различных средств, необходимых работникам в этой области для решения своих задач. В частности, мы не, намерены излагать здесь те математические и статистические сведения, которые требуются для успешного проведения операционного исследования. Мы не будем затрагивать такие области, как анализ затрат, экономика, прогнозирование, использование вычислительной техники, которые также важны для практического использования исследования операций. Все это человек, специализирующийся в этой области, безусловно, должен знать, и тот факт, что эти вопросы не включены в учебный курс, не следует рассматривать как принижение их значения. Весь этот материал невозможно поместить в одном учебнике, да для этого и нет необходимости. По всем этим вопросам существует вполне доступная литература. Но вот чего в ней нет, так это общего введения, знакомящего студента с принципами, идеями, методами, которые были разработаны в исследовании операций или появились вначале в других областях, а затем были приспособлены для новых целей.

Термины «средства», «методы» и «принципы», которые часто в различных научных работах используются взаимозаменяемо, в данном случае строго разграничены. В том понимании, как они употребляются здесь, они связаны между собой примерно так же, как средства, используемые при строительстве здания, методы использования этих средств и разработка принципов строительства, которые предусматривают использование данных методов и средств надлежащим образом. Например, таблица случайных чисел является научным средством. То, как средство используется (например, метод Монте-Карло), является научным методом. Исследовательская идея, которая требует использования метода Монте-Карло и таблиц случайных чисел, является научным принципом. Аналогично этому математический анализ есть не что иное, как научное средство; использование математического анализа для нахождения оптимального значения переменной в математической модели системы является научным методом, а замысел применения математической модели для оптимизации системы является научным принципом.

Хотя и справедливо утверждение о том, что все науки пользуются некоторыми общими принципами, методами и средствами, также справедливо и то, что каждая отрасль науки использует и свои собственные, специфические, только ей свойственные принципы, методы и средства, в чем отражается особенность предмета, который с их помощью изучается. И сама наука может считаться настолько развитой, насколько она сумела развить принципы, методы и средства, приспособленные к нуждам изучения ее специфического предмета.

Учебники по таким давно определившимся областям науки, как физика и химия, останавливаются на вопросах принципов лишь вскользь. Их главным образом интересуют методы и средства. Здесь же основное внимание уделяется принципам. Это делается потому, что в новой области исследований вопрос подхода является более важным, чем вопрос использования того или иного метода или средства. До того, как исследование операций начало вырабатывать свои методы и средства, оно все равно было полезным вследствие силы своего принципа решения задач. Как мы уже говорили выше, изучающий исследование операций должен всегда рассматривать тот или иной метод только как некоторый способ решения более общей задачи, а не как нечто ценное само по себе. Таким образом, он сумеет избежать как опасности ограничиться одним или несколькими отдельными методами, так и излишней привязанности к ним. Непредвзятость в отношении конкретных методов, наряду с широтой представления об их полезности, в сочетании с умением оценить задачу в целом являются основой твердого принципа в науке.

7.3. Этапы операционного исследования

Еще десять лет назад от человека, занимающегося вопросами исследования операций, трудно было бы добиться описания хода операционного исследования. Сейчас его трудно удержать от этого. Если записать мнение каждого операциониста относительно порядка проведения операционного исследования, то мнения в некоторых отношениях будут отличаться. Но вместе с тем обнаружится и много общего. В частности, большинство согласится, что основными этапами выполнения операционного проекта являются:

Постановка задачи.

Построение математической модели изучаемой системы.

Нахождение решения с помощью модели.

Проверка модели и полученного с ее помощью решения.

Построение процедуры подстройки решения.

Осуществление решения.

Этапы построения математической модели изучаемой системы и нахождение решения с помощью модели далее будет предметом особого рассмотрения, но представляется полезным дать некоторое предварительное представление о всех этапах, приведя их краткую характеристику.

Постановка задачи. Задача должна быть сформулирована с точки зрения заказчика и исполнителя операционного проекта. Заказчик – это лицо (или группа лиц), которое руководит исследуемыми операциями, или, как принято говорить, принимает решение. При формулировании задачи с точки зрения заказчика должен быть проведен анализ системы, находящейся под его управлением, а также его целей и возможных вариантов действий. Должно быть установлено, как исследуемые решения могут повлиять на тех людей, цели и действия которых также подлежат учету. Подход, который мы определили как системный, тесно связан с установлением непосредственных целей. Проводя операционные исследования, необходимо учесть как можно более широкий круг выдвигаемых целей. В самых общих словах, задача исследования заключается в том, чтобы определить, какой из возможных вариантов действий наиболее эффективен в отношении множества связанных с проблемой целей. Следовательно, при формулировании задачи исследования должен быть установлен некоторый критерий эффективности и определена его пригодность.

Построение математической модели. Модель выражает эффективность исследуемой системы как функцию множества переменных, из которых по крайней мере одно поддается управлению.

Ограничения, наложенные на переменные, могут быть выражены в дополнительной системе равенств или неравенств.

Нахождение решения с помощью модели. Существуют два метода получения оптимального решения (или некоторого приближения к нему) с помощью модели: аналитический и численный. Аналитические процедуры сводятся к использованию математической дедукции. Это требует использования различных разделов математики, таких, как математический анализ и матричная алгебра. Аналитические решения получаются в абстрактном виде, т. е. подстановка чисел вместо символов обычно производится уже после того, как будет получено решение.

Численные процедуры состоят в принципе в подборе различных значений для управляемых переменных модели, сопоставлении полученных данных и выборе того набора значений, который дает наиболее выгодное решение. Такие процедуры могут варьироваться в широком диапазоне от простого метода проб и ошибок до сложных итераций. Процедура итераций состоит в том, что в результате последовательных проб производится попытка подойти к оптимальному решению. Кроме того, итерация обычно дает некоторый набор правил, которые позволяют опознать оптимальное решение, когда оно найдено.

Некоторые выражения в модели не могут быть численно определены с достаточной точностью вследствие каких-либо математических или чисто практических причин. Во многих подобных случаях для получения примерной оценки предложений может быть применен особый вид случайных выборок, называемый методом Монте-Карло.

Проверка модели и решения. Модель всегда лишь частично отображает действительность. Модель можно считать хорошей, если, несмотря на свою неполноту, она может точно предсказывать влияние изменений в системе на общую эффективность всей системы. Адекватность модели может быть проверена путем определения степени точности предсказания влияния этих изменений. Решение может быть оценено путем сопоставления результатов, полученных без использования данного решения, и результатов, полученных при его применении. Эти оценки могут производиться ретроспективно с использованием ранее полученных данных или путем практических испытаний и предварительных проверок. Проверка требует очень тщательного анализа данных с целью определения, какие из них являются существенными и какие нет.

Построение процедуры подстройки решения. Решение, полученное на модели, действительно только до тех пор, пока неуправляемые переменные сохраняют свои значения и соотношения между переменными в модели остаются постоянными. Когда же значение одной или более неуправляемых переменных либо одно или более отношений между переменными существенно изменилось, само решение «выходит из-под контроля» и возможность управления им теряется. Существенность изменения зависит от того, насколько решение отклоняется от истинного оптимума при изменившихся условиях, и от затрат на изменение действующего решения. Значит, для того чтобы установить процедуру подстройки решения, необходимо разработать средства определения того, когда возникают существенные изменения; кроме того, должны быть установлены правила такой модификации решения, которая бы учитывала эти изменения.

Осуществление решения. Проверенное решение должно быть представлено в виде ряда рабочих процедур, которые могут быть легко поняты и применены теми, кто будет отвечать за их осуществление. При этом должны быть определены и соблюдены необходимые изменения в существующих процедурах и ресурсах.

Перечисленные этапы почти никогда, за редкими исключениями, не проводятся в указанном порядке. Более того, некоторые из этих этапов могут осуществляться одновременно. Например, во многих операционных проектах формулирование задачи продолжается фактически вплоть до завершения всего исследования. В процессе исследования, как правило, различные направления работы непрерывно взаимодействуют друг с другом.

7.4. Математические модели исследования операций

Для применения количественных методов исследования в любой области всегда требуется какая-то математическая модель. При построении математической модели реальное явление (в нашем случае – операция) всегда упрощается, схематизируется, и полученная схема описывается с помощью того или другого математического аппарата. Чем удачнее будет подобрана математическая модель, тем лучше она будет отражать характерные черты явления, тем успешнее будет исследование и полезнее – вытекающие из него рекомендации.

Общих способов построения математических моделей не существует. В каждом конкретном случае модель выбирается исходя из целевой направленности операции и задачи исследования, с учетом требуемой точности решения и точности, с которой нам могут быть известны исходные данные. Если исходные данные известны неточно, то, очевидно, нет смысла строить очень подробную, тонкую и точную модель явления и тратить время (свое и машинное) на тонкую и точную оптимизацию решения. К сожалению, этим принципом на практике часто пренебрегают и выбирают для описания явлений чрезмерно подробные модели.

Модель должна отражать важнейшие черты явления, т. е. в ней должны быть учтены все существенные факторы, от которых в наибольшей степени зависит успех операции. Вместе с тем модель должна быть по возможности простой, не «засоренной» массой мелких, второстепенных факторов, так как учет их усложняет математический анализ и делает трудно обозримыми результаты исследования. Одним словом, искусство доставлять математические модели есть именно искусство, и опыт в этом деле приобретается постепенно. Две опасности всегда подстерегают составителя модели: первая – утонуть в подробностях («из-за деревьев не увидеть леса»); вторая–слишком огрубить явление («выплеснуть вместе с водой и ребенка»). Поэтому при решении задач исследования операций всегда полезно сличать между собой результаты, полученные по различным моделям, устраивать как бы «спор моделей». Одну и ту же задачу решают не один раз, а несколько, пользуясь разными системами допущений, разным аппаратом, разными моделями. Если научные выводы от модели к модели меняются мало, это – серьезный аргумент в пользу объективности исследования. Если они существенно расходятся, надо пересмотреть концепции, положенные в основу различных моделей, посмотреть, какая из них наиболее адекватна действительности. Характерным для исследования операций является также повторное обращение к модели (после того, как исследование в первом приближении уже выполнено) для внесения в эту модель необходимых коррективов.

Построение математической модели – наиболее важная и ответственная часть исследования, требующая глубоких знаний не только и не столько математики, сколько существа моделируемых явлений. Как правило, «чистые» математики без помощи специалистов в данной области с этой задачей справляются плохо. В центре внимания у них оказывается математический аппарат с его тонкостями, а не соответствие модели реальному явлению. Опыт показывает, что самые удачные модели создаются специалистами в данной области практики, получившими в дополнение к основной глубокую математическую подготовку, или же группами, объединяющими специалистов и математиков.

Математическая подготовка специалиста, желающего заниматься исследованием операций в своей области практики, должна быть достаточно широка. Наряду с классическими методами анализа она должна включать ряд современных разделов математики, таких, как методы оптимизации, в том числе линейное, нелинейное, динамическое программирование, методы машинного поиска экстремумов и т. д. Особенно следует подчеркнуть обязательное наличие сведений по теории вероятностей, причем не формальных, а действенных. Особые требования к вероятностной подготовке связаны с тем, что большинство операций проводится в условиях неполной определенности, их ход и исход зависят от случайных факторов – таких, как метеорологические условия, колебания спроса и предложения, отказы технических устройств и т. д. Поэтому для творческой работы в области исследования операций требуется хорошее владение теорией вероятностей, включая ее новейшие разделы: теорию случайных процессов, теорию информации, теорию игр и статистических решений, теорию массового обслуживания.

При построении математической модели может быть (в зависимости от вида операции и задач исследования) использован математический аппарат различной сложности. В самых простых случаях модель описывается простыми алгебраическими уравнениями. В более сложных, когда требуется рассмотреть явление в динамике, применяется аппарат дифференциальных уравнений, как обыкновенных, так и с частными производными. В наиболее сложных случаях, если развитие операции во времени зависит от большого числа сложно переплетающихся между собой случайных факторов, применяется метод статистического моделирования. В первом приближении идею метода можно описать так: процесс развития операции как бы «копируется», воспроизводится на машине (ЭВМ) со всеми сопровождающими его случайностями. Таким образом строится один экземпляр (одна реализация) случайного процесса (операции), со случайным ходом и исходом. Сама по себе одна такая реализация не дает оснований к выбору решения, но, получив множество таких реализаций, мы обрабатываем их как обычный статистический материал (откуда и термин «статистическое моделирование»), выводим средние характеристики по множеству реализаций и получаем представление о том, как в среднем влияют условия задачи и элементы решения на ход и исход операции.

При исследовании операций, на ход которых влияют случайные факторы, так называемых «стохастических задач исследования операций», применяются как аналитические, так и статистические модели. Каждый из этих типов моделей имеет свои преимущества и свои недостатки. Аналитические модели по сравнению со статистическими более грубы, учитывают меньшее число факторов, неизбежно требуют каких-то допущений и упрощений. Эти модели могут описывать явление только приближенно, схематически, но зато результаты такого моделирования более наглядны и отчетливее отражают присущие явлению закономерности. А главное, аналитические модели более приспособлены для поиска оптимальных решений, который тоже может быть осуществлен аналитическими методами, с применением всех средств современной математики.

Статистические модели, по сравнению с аналитическими, более точны и подробны, не требуют столь грубых допущений, позволяют учесть большое (в теории – неограниченно большое) число факторов. Казалось бы, они ближе к действительности и должны быть предпочтительными. Однако и у них есть свои недостатки: сравнительная громоздкость, большой расход машинного времени; плохая обозримость полученных результатов и трудность их осмысления. А главное, крайняя затрудненность нахождения оптимальных решений, которые при статистическом моделировании приходится искать «на ощупь», путем догадок и проб.

Молодые специалисты, чей опыт в исследовании операций ограничен, имея в своем распоряжении современные вычислительные машины, часто без особой нужды начинают исследование с построения его статистической модели, стараясь учесть в этой модели огромное число факторов (чем больше, тем лучше). В результате многие такие модели остаются «мертворожденными», так как для них не разработана методика применения и осмысления результатов, перевода их в ранг рекомендаций.

Наилучшие результаты получаются при совместном применении аналитических и статистических моделей. Простая аналитическая модель позволяет разобраться в основных закономерностях явления, наметить как бы его «контур», в первом приближении указать разумное решение. После этого любое уточнение может быть получено статистическим моделированием. Если результаты статистического моделирования не слишком расходятся с результатами аналитического, это дает нам основание не только в данном случае, но и во многих сходных с уверенностью применять аналитическую модель. Если же статистическая модель дает по сравнению с аналитической существенно другие результаты, может быть разработана система поправок к аналитическому решению типа «эмпирических формул», широко применяемых в технике.

При оптимизации решений также может оказаться весьма полезной предварительная их оптимизация на аналитической модели. Это позволит при пользовании более точной статистической моделью искать оптимальное решение не совсем наугад, а в ограниченной области, содержащей решения, близкие к оптимальным в аналитической модели. Учитывая, что на практике нас редко интересует одно-единственное, в точности оптимальное решение, чаще требуется указать область, в которой оно лежит, аналитические способы оптимизации, проверенные и подкрепленные статистическим моделированием, могут быть ценным орудием выработки рекомендаций.

Построение математической модели операции важно не само по себе, а имеет целью выявление оптимальных решений. Желательно выбрать такое решение, которое обеспечивает операции максимальную эффективность. Под «эффективностью» операции разумеется мера ее успешности, степень ее приспособленности к достижению поставленной перед нею цели.

Для того чтобы сравнивать между собой по эффективности различные решения, необходимо располагать каким-то количественным критерием, показателем эффективности (его часто называют целевой функцией»). Этот показатель выбирается так, чтобы он наилучшим образом отражал целевую направленность операции. Чтобы выбрать показатель эффективности, нужно прежде всего спросить себя: чего мы хотим, к чему стремимся, предпринимая операцию? Выбирая решение, мы предпочтем такое, которое обращает показатель эффективности в максимум (или же в минимум).

Очень часто в качестве показателя эффективности фигурируют затраты на выполнение операции, которые, естественно, нужно минимизировать. Например, если операция преследует цель изменить технологию производства так, чтобы по возможности снизить себестоимость продукции, то в качестве показателя эффективности естественно будет взять среднюю себестоимость и предпочесть то решение, которое обратит этот показатель в минимум.

В некоторых случаях бывает, что операция преследует вполне определенную цель, которая только и может быть достигнута или не достигнута (никакие промежуточные результаты нас не интересуют). Тогда в качестве показателя эффективности выбирается вероятность достижения этой цели. Например, если ведется стрельба по какому-то объекту с непременным условием уничтожить его, показателем эффективности будет вероятность уничтожения объекта.

Неправильный выбор показателя эффективности очень опасен, так как он может привести к неверным рекомендациям. Операции, организованные под углом зрения неудачно выбранного показателя, могут привести к большим неоправданным затратам и потерям (вспомним хотя бы пресловутый «вал» в качестве основного критерия хозяйственной деятельности предприятий).

Надо заметить, что в реальных задачах исследования операций выбор показателя эффективности далеко не прост и очевиден.

7.5. Вопросы для самопроверки

Как сравниваются между собой по эффективности различные решения при исследовании операций?

Как называется количественный критерий, показатель эффективности?

Каковы основные этапы выполнения операционного проекта?

Как называется всякое мероприятие (или система действий), объединенное единым замыслом и направленное к достижению какой-то цели?

Как называется всякий определенный выбор зависящих от нас параметров?

Как называются решения, по тем или иным признакам предпочтительные перед другими?

Является ли целью исследования операций предварительное или окончательное количественное обоснование оптимальных решений?

Являются ли термины «средства», «методы» и «принципы» взаимозаменяемыми или должны быть строго разграничены?

Типы процессов и классы связанных с ними задач связанные с применением исследования операций?

Литературные источники.

1. Зарубин В. С. Математическое моделирование в технике: учеб. для втузов - 3-е изд. - М. : Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2010. - 495 с. : рис., табл. - (Математика в техническом университете ; вып. XXI, заключ.).

2. Введение в математическое моделирование: Учеб. пособие / Под. Ред. П.В. Трусова. – М.: Логос, 2005. – 440 с.

3. Диксон Дж. Проектирование систем: изобретательство, анализ и принятие решений. – М.: Мир, 1969. – 440 с.

4. Сигорский В.П. Математический аппарат инженера. – Киев: Технiка, 1975. – 768 с.

5. Вентцель Е.С. Исследование операций: задачи, принципы, методология. – 2-е изд. стер. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. – 208 с.

6. Черчмен У., Акоф Р., Арноф Л. Введение в теорию операций / Пер. с англ. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1967. – 488 с.