лекцииММиИТпП-ч.1. Конспект лекций ч. 1 Омск

• Название: Конспект лекций ч. 1 Омск
• Дата: 15.11.2021
• Размер: 1.27 Mb.
• Имя файла: лекцииММиИТпП-ч.1.docx
• Тип: Конспект; #273057
• страница: 14 из 16

5. Линейные и нелинейные модели

Вплоть до относительно недавнего времени (30–40-е годы XX века) в качестве объектов исследования практически безраздельно господствовали линейные процессы и явления (точнее, процессы и явления, описываемые линейными операторными уравнениями). Вероятно, обусловлено это было инструментарием, доступным научным сотрудникам тех времен, главными из которых являлись аналитические методы.

Аналитические методы, без сомнения, и в настоящее время являются одними из самых эффективных и притягательных для исследователей, однако круг доступных им задач весьма узок. Особенно больших усилий требуют аналитические решения нелинейных задач, которые все чаще возникают в различных научных областях, в технике и технологиях. Большинство нелинейных задач требуют для своего решения применения численных методов и мощных ЭВМ, доступ к которым ученые получили в 50–60-е годы XX века.

Следует отметить, что в ряде случаев проведение численных экспериментов позволяет исследователям «догадаться» о возможном виде аналитического решения, подсказывает направление поиска, подход, метод установления последнего. Кроме того, в последние годы весьма быстрыми темпами развиваются аналитические пакеты.

На примерах будет показано, что могут и что не могут описать линейные модели явлений и процессов, происходящих в нашем, в общем-то, нелинейном мире. Для того чтобы распознать признаки линейности или нелинейности изучаемого явления, ученый должен владеть культурой (набором «штампов») нелинейной науки, с некоторыми понятиями и идеями. Процедуре построения моделей уделяется меньше внимания, чем характерным признакам, сопровождающим линейные и нелинейные явления.

5.1. О законе Гука и границах линейности

С одной из первых линейных моделей – законом Гука мы знакомимся, только начиная изучать физику. Этот закон в виде анаграммы был помещен Робертом Гуком на свободном месте в конце его работы о гелиоскопе в 1676 г. Двумя годами позже в трактате «О восстановительной способности или об упругости» анаграмма была им расшифрована – «какова сила, таково растяжение». Гук отмечал, что он впервые открыл этот закон еще в 1660 г., но от опубликования его удержало стремление защитить свое изобретение спиральных часовых пружин. Для их конструирования Гук использовал факт независимости частоты колебаний от их амплитуды, вытекающий из линейности связи.

Упругость в современном понимании означает существование однозначной монотонно возрастающей функции, связывающей напряжение и деформацию.

Функция эта в общем случае – нелинейная. Нелинейными упругими свойствами обладают, например, высокоэластичные резины. Резиновый шнур можно растянуть в десять раз, а затем отпустить, после чего он восстановит свою длину. При таких больших степенях деформации не следует ожидать линейности связи. Гук изучал длинные металлические проволоки, которые подвергал малым деформациям, и обнаружить нелинейность реакции не удалось.

Открытие Гуком упругого закона вызвало весьма большой интерес научного сообщества; опыты Гука демонстрировались самому королю Англии Карлу II. Поспешно обобщая свои результаты, Гук заявлял: «Линейную зависимость можно наблюдать не только в этих телах, но и любых других упругих материалах, будь то металл, дерево, камни, спекшаяся глина, волос, шелк, кость, сухожилия, стекло и тому подобное».

Тем не менее не все ученые того времени разделяли оптимизм по поводу универсальности линейного закона. В 1687 г. Яков Бернулли провел опыты со скрипичной струной, изготовленной из кетгута, показавшие нелинейность реакции. Готфрид Вильгельм Лейбниц, прочтя трактат Гука, в письме Христиану Гюйгенсу в 1691 г. высказал осторожное недоверие линейному закону и попросил его прислать эксперименты, которые тот проводил по этому предмету. Гюйгенс признался, что он согласен с результатами Гука, но только если пружины будут растянуты незначительно. И только в 1849 г. Британская королевская комиссия, назначенная для исследования применения железа для железнодорожных сооружений, «отменила» линейный закон в пользу параболической зависимости

Заключение комиссии основывалось на почти двадцатилетнем детальном изучении данных экспериментальных исследований на образцах из железа.

И все же факт, что при достаточно малых деформациях между последними и напряжениями в металлах была обнаружена линейная зависимость, привел к господству идей линейной теории упругости в течение почти трех столетий. Исключительное значение результатов этой теории подчеркивал Джеймс Фредерик Белл: «Если бы в 17 веке для твердых тел наблюдались исключительно нелинейные зависимости между напряжениями и деформациями, то большинство достижений в физике и технике, имевших место за прошедшие 200 лет, задержалось бы на несколько столетий». Механики-естествоиспытатели получили возможность продвигаться вперед, развивая линейную теорию упругости, а вслед за ней и математический аппарат, пригодный для построения моделей многих других явлений и процессов.

Из этой истории мы можем видеть, что линейная модель упругости занимает только определенную нишу в теории упругости. Этот факт в естествознании - достаточно общий. Как правило, любая линейная теория справедлива в ограниченных пространственных и временных рамках и при малой интенсивности воздействий на изучаемую систему. Например, архитектор без ущерба для своего дела может не принимать во внимание кривизну земной поверхности, поскольку размеры рассматриваемого им участка малы по сравнению с радиусом Земли. Точно так же конструктор авиационной или космической техники в своей работе вполне сможет обойтись ньютоновской классической механикой, не прибегая к теории относительности, поскольку последняя «вступает в силу» при скоростях, соизмеримых со скоростью света. При меньших скоростях v нелинейностью в основных законах можно пренебречь.

Если же мы изучаем явление, не являющееся линейным в интересующих нас рамках, то, взяв в качестве первого приближения линейную модель, мы можем не получить даже качественного его описания. Нелинейность в таких явлениях принципиальна.

5.2. Поля, сплошные среды и уравнения математической физики. Линейные уравнения и принцип суперпозиции

Ранее мы говорили о линейной функции. Более богатые модели дают нам уравнения математической физики, которые также могут быть линейными или нелинейными. Можно сказать, что математическая физика – это наука, изучающая математические модели физических явлений. Уравнения математической физики – это чаще всего дифференциальные уравнения в частных производных, описывающие процессы в пространстве и времени. Таким образом, искомые функции должны иметь не менее двух аргументов; дифференциальные уравнения для функции одного аргумента относятся к классу обыкновенных дифференциальных уравнений. В общем случае мы рассматриваем процесс в области (возможно, неограниченной) трехмерного евклидова пространства, т.е. на такой области определено физическое поле, которое изменяется со временем. Одно из первых уравнений этого типа появилось благодаря Пьеру Симону Лапласу.

Лаплас с недоверием относился к закону Всемирного тяготения Ньютона: как планеты, находясь на колоссальных дистанциях, могут действовать друг на друга? Лапласу казалась реальнее концепция контактной передачи усилия (короткодействие) от одной планеты к другой, посредством эфира. Введя в рассмотрение эту субстанцию, поле, заполняющую трехмерное пространство, он получил для нее уравнение, которое сейчас называют уравнением Лапласа. Концепция эфира не подтвердилась, но оказалось, что это уравнение описывает многие стационарные процессы в сплошных средах: равновесие линейно-упругого тела, потенциальное течение вязкой жидкости, стационарные распределения электрического и температурного полей в теле и т.д.

Скажем несколько слов о модели сплошной среды. Обычно рассматриваемые нами поля определены в области геометрического пространства. Поле при этом оказывается как бы внешним, удобным для наблюдения и непрерывно заполняющим область математическим объектом. Механики имеют дело с полем материала, вложенного в это пространство, причем на этом материале обычно рассматриваются и другие поля (например, температурное). Физики работают, например, с электромагнитным или гравитационным полями, для которых «механический носитель» не требуется. Необходимо различать внешнее пространство и поле, поскольку последнее изменяется во времени (движется, течет, деформируется) относительно внешнего пространства, с которым (будем считать) жестко связана система отсчета наблюдателя. Оказывается, что реальные материальные среды вовсе не непрерывно заполняют пространство: при рассмотрении их вблизи они оказываются разрывными, состоящими из расположенных в пространстве зерен, гранул, молекул, атомов. Следовательно, и измеряемые на них физические поля с точки зрения внешнего геометрического континуума также не могут считаться непрерывными. Какую бы среду и на каких бы масштабах мы не рассматривали, объем, в котором сосредоточено собственно само вещество, оказывается много меньше объема тела. Но, несмотря на то, что все тела «состоят из пустоты», в практически малых объемах всегда оказывается огромное число частиц. Поэтому мы можем «размазать материю», т.е. полагать материальную среду и поле на ней непрерывными на масштабах, много больших по сравнению с характерными масштабами строения среды и осцилляции поля на ней. Применяя аппарат обычного дифференциального исчисления, мы должны осознавать, что работаем с уже осредненными полями (конечно, осредненное поле далеко не всегда полностью характеризует нам исходное поле). В механике модель сплошной среды применяют к газам, жидкостям и твердым телам.

5.3. О фракталах и их применении

Фракталы окружают нас повсюду. Изрезанные береговые линии, изломанные поверхности горных хребтов, причудливые очертания облаков, раскидистые ветви деревьев, разветвленные сети кровеносных сосудов и нейронов, вспененные потоки бурных рек – все это фракталы. Одни фракталы, типа облаков и горных потоков, постоянно изменяются, другие, подобные деревьям и нейронным сетям, сохраняют свою форму неизменной.

Язык фрактальной геометрии природы оставался непонятым вплоть до появления в 1983 г. книги Мандельброта «Фрактальная геометрия природы». До этого времени естествоиспытатели говорили на языке геометрии Евклида. Идеально регулярные образы – прямая и плоскость, треугольники и пирамиды, окружность и сфера – составляли основу этого языка и всей научной картины мира. Эту мысль в 1623 г. сформулировал Галилео Галилей: «Философия природы написана в величайшей книге – я разумею Вселенную, - которая всегда открыта перед нашими глазами, но понять ее сможет лишь тот, кто сначала выучит язык и постигнет письмена, которыми она начертана. А написана эта книга на языке математики, и письмена ее - треугольники, окружности и другие геометрические фигуры, без коих нельзя понять по-человечески их слова; без них тщетное кружение в темном лабиринте».

Потребовалось еще 350 лет, прежде чем естествознание обрело качественно новый язык фрактальной геометрии. Вот что об этом пишет первооткрыватель фрактальной геометрии Бенуа Мандельброт: «Почему геометрию называют холодной и сухой? Одна из причин заключается в ее неспособности описать форму облака, горы, дерева или берега моря. Облака – это не сферы, горы – это не конусы, линии берега – это не окружности, и кора не является гладкой, и молния не распространяется по прямой.... Природа демонстрирует нам не просто более высокую степень, а совсем другой уровень сложности. Число различных масштабов длин в структурах всегда бесконечно.

Существование этих структур бросает нам вызов в виде трудной задачи изучения тех форм, которые Евклид отбросил как бесформенные, – задачи исследования морфологии аморфного. Математики, однако, пренебрегли этим вызовом и предпочли все больше и больше отдаляться от природы, изобретая теории, которые не соответствуют ничему из того, что можно увидеть или почувствовать».

Широчайшее распространение фрактальных структур объясняется их разномасштабностью и самоподобием: и большие, и малые масштабы фрактальных структур имеют одинаковый закон построения. Форма фрактальной структуры, разглядываемая в микроскоп с любым увеличением, видится одной и той же. Это геометрическое подобие и есть основной принцип роста всего живого, который называют также иерархическим принципом организации (законы ветвления самой тонкой веточки дерева абсолютно те же, что и для всех его ветвей, и для всего ствола в целом).

Задать фрактальную структуру – значит задать не застывшую, неизменную форму, а принцип роста, закон изменения формы. Как правило, алгоритм построения формы гораздо проще, чем Полученная с его помощью форма. Фрактал дает компактный способ описания самых замысловатых форм. Итак, «фрактал не есть конечная форма (фрактал никто никогда не видел, так же как число), а есть закон построения этой формы. Фрактал аккумулирует в себе идею роста».

Осознание этой идеи привело к тому, что понятие фрактала стало широко использоваться в научных исследованиях, и было обнаружено большое число задач, в которых фрактальная структура и размерность служат основными характеристиками системы. Например, в турбулентности теория фракталов теснейшим образом связана с теорией масштабной инвариантности Колмогорова. Скорость турбулентного потока (как функция пространственных переменных и времени) – фрактал, аналогичный броуновской кривой, только с иными локальными свойствами.

Е. Федер в основу своей книги положил исследование явлений, имеющих место при вытеснении нефти водой в пористой среде; эти явления приводят к тому, что нефть оказывается запертой в водяных ловушках, что ведет к ее потерям. Если вязкость вытесняемой жидкости больше вязкости вытесняющей, то фронт вытеснения неустойчив и образуются так называемые «вязкие пальцы», имеющие фрактальную структуру.


Рис. 5.1. Функция Вейерштрасса
На рис. 5.1 представлена фрактальная кривая, являющаяся графиком так называемой функции Вейерштрасса. Эта функция непрерывна, всюду не дифференцируемая (каждая точка этой прямой – точка излома, производная в которой не существует). Она задается бесконечной суммой тригонометрических функций, обладает сложной изломанной структурой и является самоподобной: форма функции остается неизменной при растяжении вдоль оси абсцисс и вдоль оси ординат. Впервые подобные функции появились в XIX веке, однако они были отвергнуты математиками как «некрасивые». Их не только не хотели изучать – о них не хотели даже говорить. В самом деле, если любая сколь угодно малая часть функции Вейерштрасса повторяет всю функцию в целом, то чему же равна длина ее графика? Очевидно, бесконечности. Вопрос о длине фрактальной линии остался в XIX веке без ответа.

Еще раз столкнулись с подобной проблемой во второй половине XX века при измерении длины береговой линии Англии. Эта задача была поручена известному английскому физику Л. Ричардсону. Для ее решения Ричардсон на карте заменил истинную береговую линию замкнутой ломанной, составленной из отрезков прямой длины, вершины которой располагались на побережье. Длина ломанной принималась за приближенное значение длины береговой линии, соответствующее выбранной длине элемента ломаной. Далее, переходя к пределу, ожидали получить истинное значение длины побережья. Из математики известно, что предел длины ломанной для непрерывно дифференцируемой функции не зависит ни от длины элемента ломанной, ни от способа построения ломанной и равен длине графика функции.

Однако береговая линия Англии, в отличие от линий, описываемых гладкими функциями, оказалась настолько изрезанной вплоть до самых малых масштабов карты, что с уменьшением звеньев длина ломанной не стремится к конечному пределу, а становится бесконечно большой. Ричардсону удалось установить характер стремления к бесконечности, который выражался степенной функцией.

Примером более упорядоченной фрактальной кривой может служить фрактал, открытый в 1904 г. немецким математиком Хельгой фон Кох. Алгоритм построения его очень прост: рассматривается равносторонний треугольник со сторонами единичной длины; каждый прямолинейный элемент делится на три части, на средней части строится меньший равносторонний треугольник и его основание отбрасывается. Предфракталы - фигуры, полученные за четыре первых шага, изображены на рис. 5.2.


Рис. 5.2. Построение снежинки Кох
Можно вычислить периметр этой фигуры. Длина кривой стремится к бесконечности. Множество точек, полученное как предел бесконечного числа итераций процедуры Кох, не являются кривой, для которой длина - удобная мера. Это уже не линия - «длина без ширины», а нечто большее, некая «толстая линия».

Термин фрактал (от лат. – изломанный, дробный) ввел в употребление в 1975 г. американский математик Б. Мандельброт, сотрудник исследовательского центра имени Томаса Дж. Уотсона корпорации IВМ. Фракталами Мандельброт назвал структуры, обладающие двумя признаками: изломанностью и самоподобием (любая часть структуры подобна всему целому). Самоподобный понимается не только в классическом смысле как «линейно увеличенный или уменьшенный», но и в смысле «похожий». Кроме того, эти структуры характеризуются параметром, называемым фрактальной размерностью.