Лекции надежность. Конспект лекций по дисциплине Диагностика и надежность автоматизированных систем Новосибирск2014 2 содержание
 Скачать 1.19 Mb.
|
|
Контрольные вопросы и задания 1. Назовите метод оценки надежности ИС, где вероятность безотказной работы системы определяется как Р н ≤Р с ≤Р в 2. Для расчета надежности каких систем используется метод путей и сечений? 3. С помощью какого метода можно оценить надежность устройств мостикового типа? 4. Какие методы определения показателей надежности восстанавливаемых систем известны? 5. Структурно представьте мостиковую схему набором минимальных путей и сечений. 6. Дайте определение минимального пути и минимального сечения. 0,95 0,85 1 0 – схема задания случайных событий 61 7. Запишите функцию работоспособности для устройства с разветвленной структурой? 8. Что называется функцией работоспособности? 9. Что такое кратчайший путь успешного функционирования (КПУФ). Запишите условия работоспособности в виде КПУФ. 10. Где используется логико-вероятностный метод оценки надежности? Литература: 1, 2, 3, 5, 6, 8. 62 Лекция 10 Тема: Расчет надежности восстанавливаемых систем (метод дифференциальных уравнений) План 1. Общие методы расчета надежности восстанавливаемых систем. 2. Построение графа возможных состояний системы для оценки надежности восстанавливаемых систем. 3. Метод систем дифференциальных уравнений (СДУ), правило Колмогорова для составления СДУ 4. Нормировочные и начальные условия для решения СДУ. Ключевые слова Восстанавливаемая система, количественные характеристики надежности, граф состояний, работоспособное состояние, система дифференциальных уравнений, правило Колмогорова, вероятность безотказной работы, интенсивность восстановления, интенсивность отказа нормировочные условия, начальные условия, параметры надежности, нерезервированная система. Основной задачей расчета надежности проектируемых ИС является построение математических моделей адекватных вероятностным процессам их функционирования. Эти модели позволяют оценить степень удовлетворения требований по надежности к проектируемым или эксплуатируемым системам. Вид математической модели определяет возможность получения расчетных формул. Для проведения расчета надежности восстанавливаемых резервированных и нерезервированных систем используются: метод интегральных уравнений, метод дифференциальных уравнений, метод переходных интенсивностей, метод оценки надежности по графу возможных состояний и др. [1, 2, 3, 5, 6]. Метод интегральных уравнений. Метод интегральных уравнений является наиболее общим, его можно применять при расчете надежности любых (восстанавливаемых и невосстанавливаемых) систем при любых распределениях ВБР и времени восстановления. В этом случае для определения показателей надежности системы составляют и решают интегральные и интегро-дифференциальные уравнения, связывающие характеристики распределения ВБР, а для восстанавливаемых систем – и время восстановления элементов. В ходе составления интегральных уравнений обычно выделяют один или несколько бесконечно малых интервалов времени, для которых рассматривают сложные события, проявляющие при совместном действии нескольких факторов. 63 В общем случае решения находят численными методами с помощью компьютера. Метод интегральных уравнений не получил широкого распространения из-за трудности решения [1, 3, 8]. Метод дифференциальных уравнений. Метод применяется для оценки надежности восстанавливаемых объектов и основан на допущении о показательных распределениях времени между отказами (наработки) и времени восстановления. При этом параметр потока отказов w = λ =1/t cp. и интенсивность восстановления µ = 1/t в , где t cp. – среднее время безотказной работы, t в – среднее время восстановления. Для применения метода необходимо иметь математическую модель для множества возможных состояний системы S = {S 1 , S 2 ,…, S n }, в которых она может находиться при отказах и восстановлениях системы. Время от времени система S скачком переходит из одного состояния в другое под действием отказов и восстановлений ее отдельных элементов. При анализе поведения системы во времени в процессе износа удобно пользоваться графом состояний. Граф состояний – это направленный граф, где кружками или прямоугольниками изображают возможные состояния системы. Он содержит столько вершин, сколько различных состояний возможно у объекта или системы. Ребра графа отражают возможные переходы из некоторого состояния во все остальные с параметрами интенсивностей отказов и восстановлений (около стрелок показаны интенсивности переходов). Каждой комбинации отказовых и работоспособных состояний подсистем соответствует одно состояние системы. Число состояний системы n = 2 k , где k – количество подсистем (элементов). Связь между вероятностями нахождения системы во всех его возможных состояниях выражается системой дифференциальных уравнений Колмогорова (уравнений первого порядка). Структура уравнений Колмогорова построена по следующим правилам: в левой части каждого уравнения записывается производная вероятности нахождения объекта в рассматриваемом состоянии (вершине графа), а правая часть содержит столько членов, сколько ребер графа состояний связано с этой вершиной. Если ребро направлено из данной вершины, соответствующий член имеет знак минус, если в данную вершину – знак плюс. Каждый член равен произведению параметра интенсивности отказа (восстановления), связанного с данным ребром, на вероятность нахождения в той вершине графа, из которой исходит ребро. Система уравнений Колмогорова включает столько уравнений, сколько вершин в графе состояний объекта. Система дифференциальных уравнений дополняется нормировочным условием: n j j t P 0 1 ) ( , 64 где P j (t) – вероятность нахождения системы в j-м состоянии; n – число возможных состояний системы. Решение системы уравнений при конкретных условиях дает значение искомых вероятностей P j (t). Все множество возможных состояний системы разбивается на две части: подмножество состояний n 1 , в которых система работоспособна, и подмножество состояний n 2 , в которых система неработоспособна. Функция готовности системы: К г 1 0 1 ) ( ) ( n j j t P t , где P j (t) – вероятность нахождения системы в j работоспособном состоянии; n 1 – число состояний в которых система работоспособна. Когда необходимо вычислить коэффициент готовности системы или коэффициент простоя (перерывы в работе системы допустимы), рассматривают установившийся режим эксплуатации при t→∞. При этом все производные 0 ) ( t P j и система дифференциальных уравнений переходят в систему алгебраических уравнений, которые легко решаются. Пример графа состояний нерезервированной восстанавливаемой системы с n – элементами приведен на рис. 1. Рис. 1. Граф состояний восстанавливаемой системы (штриховкой отмечены неработоспособные состояния) Рассмотрим возможные состояния в которых может находиться система. Здесь возможны следующие состояния: S 0 – все элементы работоспособны; S 1 – первый элемент неработоспособен остальные работоспособны; S 2 – второй элемент неработоспособен остальные работоспособны; . . . S n – n-й элемент неработоспособен остальные работоспособны. S 0 S n S 1 S 3 S 2 µ 3 λ 3 λ 2 µ 2 µ n µ 1 λ 1 λ n 65 Вероятность одновременного появления двух неработоспособных элементов пренебрежимо мала. Символами λ 1 , λ 2 ,…, λ n обозначены интенсивности отказов, µ 1 , µ 2 ,…, µ n интенсивности восстановления соответствующих элементов; По графу состояний (рис. 1) составляют систему дифференциальных уравнений (уравнение для состояния S 0 опускаем из-за громоздкости): С нормировочным условием: n j j t P 0 1 ) ( ) ( ) ( / ) ( ) ( ) ( / ) ( ) ( ) ( / ) ( 0 2 2 0 2 2 1 1 0 1 1 t P t P dt t dP t P t P dt t dP t P t P dt t dP n n n n Начальные условия: 0 ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( 1 ) ( 2 1 0 0 n t P P P t P При установившемся режиме эксплуатации (при t→∞) имеем: 0 ) ( ) ( 0 ) ( ) ( 0 ) ( ) ( 0 2 2 0 2 1 1 0 1 t P t P t P t P t P t P n n n Решив полученную систему алгебраических уравнений с учетом нормировочного условия, находим показатели надежности. При решении системы уравнений можно использовать преобразование Лапласа для вероятностей состояний или численные методы. Контрольные вопросы и задания 1. Какие методы определения показателей надежности восстанавливаемых систем известны? 2. Как определяются состояния элементов и устройств ИС? 3. Как определить области работоспособных состояний системы? 66 4. Почему метод дифференциальных уравнений получил широкое распространение при оценке надежности восстанавливаемых систем? 5. Что является необходимым условием при решении систем дифференциальных уравнений? 6. Как составляется дифференциальные уравнения для определения параметров надежности ИС? 7. Каким условием должно быть дополнено система дифференциальных уравнений (СДУ) для более эффективного решения. 8. Запишите условия работоспособности системы, состоящий из трех элементов. 9. Чему равно число состояний устройства состоящего из четырех элементов? 10. Какое правило используется при составлении СДУ? Литература: 1, 2, 3, 5, 6, 8. 67 Лекция 11 Тема: Марковские модели для оценки надежности резервированных восстанавливаемых информационных систем План 1. Понятие Марковского свойства, определение состояния системы. 2. Методика и алгоритм построения Марковской модели. 3. Расчетные формулы для расчета показатели надежности ТС 4. Матрица интенсивностей переходов для оценки показателей надежности резервированных восстанавливаемых ИС. Ключевые слова Марковская модель, состояние системы, работоспособность, матрица интенсивностей переходов, граф состояний, восстанавливаемая система, резервирование, последовательная схема, постоянный резерв, система дифференциальных уравнений, правило Колмогорова, схема расчета надежности, приближенный метод, алгоритмы построения СДУ, нормировочные условия, начальные условия, вероятность безотказной работы, интенсивность отказа. Функционирование ИС и их составных частей можно представить как совокупность процессов перехода из одного состояния в другое под воздействием каких либо причин. С точки зрения надежности восстанавливаемых ИС их состояние в каждый момент времени характеризуется тем, какие из элементов работоспособны, а какие восстанавливаются. Если каждому возможному множеству работоспособных (неработоспособных) элементов поставить в соответствие множество состояний объекта, то отказы и восстановления элементов будут отображаться переходом объекта из одного состояния в другое: Пусть, к примеру, объект состоит из двух элементов. Тогда он может находиться в одном из четырех состояний: n = 2 k = 2 2 = 4. S 1 – оба элемента работоспособны; S 2 – неработоспособен только первый элемент; S 3 – неработоспособен только второй элемент; S 4 – неработоспособны оба элемента. Множество возможных состояний объекта: S = {S 1 , S 2 , S 3 , S 4 }. Полное множество состояний исследуемой системы может быть дискретным, либо непрерывным (непрерывно заполнять один или несколько интервалов числовой оси). 68 В дальнейшем будем рассматривать системы с дискретным пространством состояний. Последовательность состояний такой системы и сам процесс переходов из одного состояния в другое называется цепью. В зависимости от времени пребывания системы в каждом состоянии различают процессы с непрерывным временем и процессы с дискретным временем. В процессах с непрерывным временем переход системы из одного состояния в другое осуществляется в любой момент времени. Во втором случае время пребывания системы в каждом состоянии – фиксировано так, что моменты переходов размещаются на временной оси через равные промежутки. В настоящее время наиболее изучены цепи, обладающие марковским свойством. Вероятности переходов обозначаются символами P ij (t), а процесс P ij переходов называется Марковской цепью или цепью Маркова. Марковское свойство связанно с отсутствием последействия. Это означает, что поведение системы в будущем зависит только от ее состояния в данный момент времени, и не зависит от того каким образом она пришла в это состояние. Марковские процессы позволяют описать последовательности отказов- восстановлений в системах, описываемых при помощи графа состояний. Наиболее часто для расчета надежности применяется метод марковских цепей с непрерывным временем, основанный на системе дифференциальных уравнений, которая в матричной форме может быть записана как: ) ( ) ( t P dt t dP , где P(t) = P 0 – начальные условия; dt t dP dt t dP dt t dP t d t dP n ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 , а Λ – матрица интенсивности переходов (матрица коэффициента при вероятностях состояний): n i ni n n n n n i i n n i i n n i i 1 3 2 1 3 1 3 32 31 2 23 1 2 21 1 13 12 2 1 69 n j ij i i 1 1 , где λ ij – интенсивности перехода системы из i-го состояния в j-е; P j – вероятность того, что система находится в j-м состоянии. При оценке надежности сложных резервированных и восстанавливаемых систем метод марковских цепей приводит к сложным решениям из-за большого числа состояний. В случае однотипных подсистем работающих в одинаковых условиях, для уменьшения числа состояний используют метод укрупнения. Состояния с одинаковым количеством подсистем объединяются. Тогда размерность уравнений уменьшается [1, 2, 3, 5, 8]. Последовательность методики оценки надежности резервированных восстанавливаемых систем с использованием метода марковских цепей следующая: 1. Анализируется состав устройства и составляется структурная схема надежности. По схеме строится граф, в котором учитывается все возможные состояния; 2. Все вершины графа в результате анализа структурной схемы разделяются на два подмножества: вершины соответствующие работоспособному состоянию системы и вершины соответствующие неработоспособному состоянию системы. 3. С помощью графа состояний составляется система дифференциальных уравнений (используется правило Колмогорова); 4. Выбираются начальные условия решения задачи; 5. Определяются вероятности нахождения системы в работоспособном состоянии в произвольный момент времени; 6. Определяется вероятность безотказной работы системы; 7. В случае необходимости определяются и другие показатели. Контрольные вопросы и задания 1. Что подразумевается под цепью Маркова? 2. Приведите алгоритм оценки надежности ИС с использованием Марковских моделей. 3. Как составляется дифференциальные уравнения для определения параметров надежности ИС? 4. Значение каких показателей надежности можно получить используя Марковский метод? 5. Перечислите основные этапы построения Марковской модели надежности сложной системы. 6. Что является необходимым условием при решении систем дифференциальных уравнений? 70 7. Как определяются состояния элементов и устройств КС? 8. Дайте определение понятию восстанавливаемых систем. 9. Что такое Марковская цепь? 10. Для оценки каких систем используют Марковские модели надежности? Литература: 1, 2, 3, 10, 11. 71 Лекция 12 Тема: Приближенные методы расчета надежности технических средств ИС План 1. Основные допущение и ограничения при оценки надежности последовательно-параллельных структур. 2. Приближенные методы расчета надежности восстанавливаемых ИС, при последовательном и параллельном включении подсистем ИС. 3. Структурные схемы расчета надежности ИС. Ключевые слова Надежность, последовательно-параллельная структура, приближенные методы расчета надежности, структурное схема расчета надежности, интенсивность отказа, интенсивность восстановления, коэффициент готовности, время восстановления, компьютерная система. |