Конспект лекций по дисциплине Элементы высшей математики

• Название: Конспект лекций по дисциплине Элементы высшей математики
• Дата: 30.06.2022
• Размер: 2.87 Mb.
• Имя файла: konspekt_lektsiy_po_vysshey_matematike.doc
• Тип: Конспект лекций; #620974
• страница: 3 из 5

Кривая второго порядка может быть задана уравнением

Ах² + 2Вху + Су² + 2Dx + 2Ey + F = 0.

Существует система координат (не обязательно декартова прямоугольная), в которой данное уравнение может быть представлено в одном из видов, приведенных ниже.

1. 
   - уравнение эллипса.
   
2. 
   - уравнение “мнимого” эллипса.
   
3. 
   - уравнение гиперболы.
   
4. 
   a²x² – c²y² = 0 – уравнение двух пересекающихся прямых.
   
5. 
   y² = 2px – уравнение параболы.
   
6. 
   y² – a² = 0 – уравнение двух параллельных прямых.
   
7. 
   y² + a² = 0 – уравнение двух “мнимых” параллельных прямых.
   
8. 
   y² = 0 – пара совпадающих прямых.
   
9. 
   (x – a)² + (y – b)² = R² – уравнение окружности.
   

6.1. Окружность.

Определение. Окружностью называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки (центра).

В окружности (x – a)² + (y – b)² = R² центр имеет координаты (a; b).

Пример. Найти координаты центра и радиус окружности, если ее уравнение задано в виде:

2x² + 2y² – 8x + 5y – 4 = 0.

Для нахождения координат центра и радиуса окружности данное уравнение необходимо привести к виду, указанному выше в п.9. Для этого выделим полные квадраты:

x² + y² – 4x + 2,5y – 2 = 0

x² – 4x + 4 –4 + y² + 2,5y + 25/16 – 25/16 – 2 = 0

(x – 2)² + (y + 5/4)² – 25/16 – 6 = 0

(x – 2)² + (y + 5/4)² = 121/16

Отсюда находим О(2; -5/4); R = 11/4.
6.2. Эллипс.
Определение. Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а.

Уравнение эллипса имеет вид:



Определение. Фокусами называются такие две точки, сумма расстояний от которых до любой точки эллипса есть постоянная величина.

у

М

r₁ r₂

F₁ O F₂ х
F₁, F₂ – фокусы. F₁ = (c; 0); F₂(-c; 0)

с – половина расстояния между фокусами;

a – большая полуось;

b – малая полуось.

Теорема. Фокусное расстояние и полуоси эллипса связаны соотношением:

a² = b² + c².

Доказательство: В случае, если точка М находится на пересечении эллипса с вертикальной осью, r₁ + r₂ = 2 (по теореме Пифагора). В случае, если точка М находится на пересечении эллипса с горизонтальной осью, r₁ + r₂ = a – c + a + c. Т.к. по определению сумма r₁ + r₂ – постоянная величина, то , приравнивая, получаем:

a² = b² + c²

r₁ + r₂ = 2a.

Определение. Форма эллипса определяется характеристикой, которая является отношением фокусного расстояния к большей оси и называется эксцентриситетом.

Е = с/a.

Т.к. с < a, то е < 1.

Определение. Величина k = b/a называется коэффициентом сжатия эллипса, а величина 1 – k = (a – b)/a называется сжатием эллипса.

Коэффициент сжатия и эксцентриситет связаны соотношением: k² = 1 – e².

Если a = b (c = 0, e = 0, фокусы сливаются), то эллипс превращается в окружность.

Если для точки М(х₁, у₁) выполняется условие: , то она находится внутри эллипса, а если , то точка находится вне эллипса.

С эллипсом связаны две прямые, называемые директрисами. Их уравнения:

x = a/e; x = -a/e.

Теорема. Для того, чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы отношение расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равнялось эксцентриситету е.

Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через левый фокус и нижнюю вершину эллипса, заданного уравнением:

1. 
   Координаты нижней вершины: x = 0; y² = 16; y = -4.
   
2. 
   Координаты левого фокуса: c² = a² – b² = 25 – 16 = 9; c = 3; F₂(-3; 0).
   
3. 
   Уравнение прямой, проходящей через две точки:
   

Пример. Составить уравнение эллипса, если его фокусы F₁(0; 0), F₂(1; 1), большая ось равна 2.

Уравнение эллипса имеет вид: . Расстояние между фокусами:

2c = , таким образом, a² – b² = c² = ½

по условию 2а = 2, следовательно а = 1, b =

Итого: .
6.3. Гипербола.
Определение. Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами есть величина постоянная, равная 2а, меньшая расстояния между фокусами.

По определению r₁ – r₂= 2a. F₁, F₂ – фокусы гиперболы. F₁F₂ = 2c.
y
M(x, y)

b

r₁

r₂

x
F₁ a F₂


c
Выберем на гиперболе произвольную точку М(х, у). Тогда:



















обозначим с² – а² = b² (геометрически эта величина – меньшая полуось)




Получили каноническое уравнение гиперболы.

Гипербола симметрична относительно середины отрезка, соединяющего фокусы и относительно осей координат.

Ось 2а называется действительной осью гиперболы.

Ось 2b называется мнимой осью гиперболы.

Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых

Определение. Отношение называется эксцентриситетом гиперболы, где с – половина расстояния между фокусами, а – действительная полуось.

С учетом того, что с² – а² = b²:





Если а = b, e = , то гипербола называется равнобочной (равносторонней).

Определение. Две прямые, перпендикулярные действительной оси гиперболы и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии a/e от него, называются директрисами гиперболы. Их уравнения: .

Теорема. Если r – расстояние от произвольной точки М гиперболы до какого- либо фокуса, d – расстояние от той же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение r/d – величина постоянная, равная эксцентриситету.

Пример. Найти уравнение гиперболы, вершины и фокусы которой находятся в соответствующих вершинах и фокусах эллипса .

Для эллипса: c² = a² – b².

Для гиперболы: c² = a² + b².










Уравнение гиперболы: .

Пример. Составить уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет равен 2, а фокусы совпадают с фокусами эллипса с уравнением

Находим фокусное расстояние c² = 25 – 9 = 16.

Для гиперболы: c² = a² + b² = 16, e = c/a = 2; c = 2a; c² = 4a²; a² = 4;

b² = 16 – 4 = 12.

Итого: - искомое уравнение гиперболы.
6.4. Парабола.
Определение. Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус.

Расположим начало координат посередине между фокусом и директрисой.

у

А М(х, у)



О F x




p/2 p/2
Величина р (расстояние от фокуса до директрисы) называется параметром параболы. Выведем каноническое уравнение параболы.

Из геометрических соотношений: AM = MF; AM = x + p/2;

MF² = y² + (x – p/2)²

(x + p/2)² = y² + (x – p/2)²

x² +xp + p²/4 = y² + x² – xp + p²/4
y² = 2px

Уравнение директрисы: x = -p/2.

Пример. На параболе у² = 8х найти точку, расстояние которой от директрисы равно 4.

Из уравнения параболы получаем, что р = 4.

r = x + p/2 = 4; следовательно:

x = 2; y² = 16; y = 4. Искомые точки: M₁(2; 4), M₂(2; -4).

Пример. Дана парабола у² = 6х. Составить уравнение ее директрисы и найти ее фокус.

Сравнивая данное уравнение с каноническим уравнением параболы, видим, что 2p=6, p = 3. Так как уравнение директрисы имеет уравнение х = _{ }, а фокус – координаты _{ }, то для рассматриваемого случая получим уравнение директрисы х = _{ } и фокус F_{ }.

Ответ:_{ }х = _{ }, F_{ }.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1. 
   Дайте определение линии второго порядка.
   
2. 
   Какие линии второго порядка вы знаете?
   
3. 
   Выведите уравнение окружности с центром в точке _{ } и радиусом _{ }.
   
4. 
   Дайте определение эллипса.
   
5. 
   Какую форму имеет эллипс? Укажите на рисунке и назовите его основные элементы.
   
6. 
   Что представляет собой эллипс, если его полуоси равны?
   
7. 
   Дайте определение параболы.
   
8. 
   Какую форму имеет парабола, определяемая уравнением _{ }, или _{ }? Как влияют параметры _{ } и _{ } на форму параболы?
   
9. 
   Что представляет собой на графике в системе координат Ox_{ }линия, заданная уравнением _{ }?
   
10. 
    Дайте определение гиперболы.
    
11. 
    Какую форму имеет гипербола? Укажите на рисунке и назовите ее основные элементы.
    
12. 
    Напишите уравнения асимптот гиперболы.
    
13. 
    Напишите уравнение равносторонней гиперболы, асимптотами которой являются оси координат.
    
14. 
    Приведите примеры использования уравнений линий второго порядка для изучения конкретных зависимостей.
    

Лекция № 7. Комплексные числа.
Знакомство с курсом мы начнем с некоторых исторических событий, которые послужили причиной появления нового, пока неизвестного для Вас класса чисел - комплексных.

В Х веке в Италии были распространены математические турниры, на которых участники в присутствии публики излагали решения задач, предложенных ранее каждому его противником. Как известно, в то время это был не единственный из видов турниров - в те времена cохранялись еще военные турниры, на одном из таких турниров в 1547 году был смертельно ранен французский король Генрих Валуа. Итак, 12 февраля 15З5 года Италии состоялось математическое соревнование между математиками Фиоре и Тартальей. Фиоре был учеником профессора болонского университета, Сципиона дель Ферро (1456 -1526), Никкола Тарталья (1500 - 1557) - преподаватель математики. Тарталья (заика) - его прозвище (настоящая фамилия - Фонтана), .которое он получил из-за того, что после военного ранения в горло он не мог сва6одно разговаривать. Тарталье было предложено решить около 30 алгебраических уравнений третьей степени вида х³+ах=b; а>0; b>0. В те времена не были известны общие формулы решения уравнений третьей степени, поэтому задачи, предложенные Тарталье, оказались весьма серьезными .Однако, как узнал Тарталья, профессор дель Ферро умел решать некоторые уравнения указанного вида. А поскольку эти решения были средством конкурентной борьбы, профессор не стал публиковать полученные результаты, но сообщил их своим ученикам, в числе которых находился Фиоре. 3а неделю до соревнований Тарталье удалось найти общий вид решения этих уравнений и с блеском победить на турнире. Так что же предложил Тарталья? Если допустить (предположить), что существует некоторая мнимая единица (обозначим ее i), квадрат которой равен минус 1, т.е.i², то можно говорить о числе решений уравнения х² + 1 = 0, их будет два ± i. Таким образом, класс действительных чисел был расширен введением в него одного элемента - мнимой единицы, в результате чего получили новый класс чисел - комплексных, которые обозначают латинской буквой С. Сегодня, когда во многих разделах математики и ее приложений невозможно ограничиться рассмотрением лишь действительных чисел, комплексные числа позволяют решать многие серьезные задачи.

Одному из создателей дифференциального и интегрального исчислений, немецкому математику Г. Лейбницу (1546 - 1715) принадлежат такие слова: «Комплексное число - это тонкое и поразительное средство 6ожественного духа, почти амфибия между бытием и небытием». Сейчас от всей этой мистики не осталась ничего, кроме, пожалуй, названия «мнимые числа». Уже во времена К. Гаусса (1777 - 1855) было дано геометрическое истолкование комплексных чисел как точек плоскости. Трудами выдающихся математиков ХIХ века О. Коши, В. Римана, К. Вейерштрасса на базе комплексных чисел было построена одна из самых красивых математических дисциплин - теория функций комплексной переменной.

Рассмотрим основные определения этого класса чисел и выясним, как выполняются действия над комплексными числами.

Определение. Комплексным числом z называется выражение , где aи b – действительные числа, i – мнимая единица, которая определяется соотношением:



При этом число a называется действительной частью числа z (a = Rez), а b- мнимой частью (b = Im z).

Если a =Rez =0, то число z будет чисто мнимым, если b = Imz = 0, то число z будет действительным.

Определение. Числа и называются комплексно – сопряженными.

Определение. Два комплексных числа и называются равными, если соответственно равны их действительные и мнимые части:



Определение. Комплексное число равно нулю, если соответственно равны нулю действительная и мнимая части.


7.1. Действия над комплексными числами в алгебраической форме.
Основные действия с комплексными числами вытекают из действий с многочленами.

Сложение и вычитание

Рассмотрим два комплексных числа, заданных в общем виде

z₁ = a₁+ib₁; z₂=a₂+ib₂

тогда



Можно сформулировать правило сложения и вычитания комплексных чисел: при сложении (вычитании) комплексных чисел соответственно складываются (вычитаются) их действительные и мнимые части.

Умножение

z=z₁z₂=(a₁+ib₁)(a₂+ib₂) =a₁a₂+ia₁b₂+ib₁a₂+i²b₁b₂=a+ib

z=z₁z₂=(a₁a₂-b₁b₂)+ i (a₁b₂+b₁a₂)

( т.е. можно говорить, что перемножаются комплексные числа как многочлены, учитывая, что i² = -1). Значит, чтобы перемножить два комплексных числа необходимо перемножить их как многочлены, учитывая, что i² = -1.

Деление

При выполнении деления комплексных чисел пользуются искусственным приёмом: числитель и знаменатель дроби умножают на число, комплексно - сопряженное знаменателю дроби, и поступают далее так, как и при умножении комплексных чисел.

Пример.

z₁= 5-i;

z₂=-2+3i;



Введенные нами операции сложения и умножения комплексных чисел обладают свойствами:

1) Переместительное свойство:

z₁+z₂=z₂+z_1;

z₁*z₂=z₂*z₁;

2) Сочетательное свойство:

(z₁ + z₂) + z₃ = z₁ + (z₂ + z₃ )

(z₁*z₂)*z₃ = z₁ *(z₂*z₃)

3) Распределительное свойство:

z₁*(z₂ + z_з) = z₁*z₂ + z₁*z₃

4) Для любого комплексного числа существует число ему противоположное, такое, что z + (- z) = 0.
Возведение в степень

Согласно определению степени числа, необходимо это число умножить на себя столько раз, каков показатель степени числа. Эти правила вам известны из курса средней школы. Они же остаются справедливыми и для комплексных чисел. С одной лишь разницей в том, что основанием степени здесь выступает не одночлен, а двучлен. Для показателей степени 2 и 3 существуют формулы, известные вам как формулы сокращённого умножения: квадрат суммы (разности); куб суммы (разности); разность (сумма) кубов. Убедимся, как можно возводить комплексное число в степень, пользуясь формулами сокращенного умножения.

Найти куб разности комплексного числа:

(3–2i)³ = 3³-3*3²*2i+3*3*(2i)² – i³ =27-54i+ 36i²- i³=-9-54i+i=-9-54i-i*i²=-9-54i+i=-9-53i

При выполнении этого действия мы учли, что

i² =-1;

i³=i*i²=i*(-1) =-i

Если же нам необходимо, например, найти (2+5i)²¹, то cогласно определению степени мы должны эту скобку умножить саму на себя 21 раз, что очень трудоёмко. Поэтому прибегают к другой форме записи числа – тригонометрической и в ней выполняют это действие. Но об этом мы поговорим немного позже.

Извлечение корня из комплексного числа

Т. к. комплексное число в алгебраической формеимеет вид z=a+ib; то извлекать из него корень какой - либо степени мы не можем, т.к. нельзя извлечь корень из суммы.

Таким образом, подводя итог действиям над комплексными числами в алгебраической форме, заключаем, что извлекать корень любой степени из комплексных чисел в алгебраической форме нельзя; возводить в любую степень можно, но если показатель степени больше 3, то рациональнее перевести число в тригонометрическую форму и возводить в степень число в этой форме. Все остальные действия выполняются по ранее отмеченным правилам.

Беседуя о комплексных числах, необходимо отметить такое важное понятие, как цикличность мнимой единицы. Заключается оно в следующем:

i²= –1(определение);

i³=i*i²=i (-1)=-i;

i⁴ = i²*i² =(-1)*(-1) =1;

i⁵=i*i⁴=i*1=i.
7.2. Геометрическое изображение комплексных чисел.
Понятие комплексного числа имеет геометрическое истолкование. Множество комплексных чисел является расширением множества действительных чисел за счет включения множества мнимых чисел. Комплексные числа включают в себя все множества чисел, которые изучались ранее. Так натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные числа являются, вообще говоря, частными случаями комплексных чисел.

Если любое действительное число может быть геометрически представлено в виде точки на числовой прямой, то комплексное число представляется точкой на плоскости, координатами которой будут соответственно действительная и мнимая части комплексного числа. При этом горизонтальная ось будет являться действительной числовой осью, а вертикальная - мнимой осью.




у
A(a, b)

r b


0 a x
Таким образом, на оси ОХ располагаются действительные числа, а на оси ОY – чисто мнимые.

С помощью подобного геометрического представления можно представлять числа в так называемой тригонометрической форме.


7.3. Тригонометрическая форма числа.
Из геометрических соображений видно, что . Тогда комплексное число можно представить в виде:



Такая форма записи называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

При этом величина r называется модулем комплексного числа, а угол наклона  - аргументом комплексного числа.

.

Из геометрических соображений видно:



Очевидно, что комплексно – сопряженные числа имеют одинаковые модули и противоположные аргументы.


7.4. Действия с комплексными числами в тригонометрической форме.
,

Умножение



В случае комплексно – сопряженных чисел:



Деление



Возведение в степень

Из операции умножения комплексных чисел следует, что



В общем случае получим:

,

где n – целое положительное число.

Это выражение называется формулой Муавра. (Абрахам де Муавр (1667 – 1754) – английский математик).

Формулу Муавра можно использовать для нахождения тригонометрических функций двойного, тройного и т.д. углов.

Пример. Найти формулы sin2 и cos2.

Рассмотрим некоторое комплексное число

Тогда с одной стороны .

По формуле Муавра: .

Приравнивая, получим .

Т.к. два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части, то





Получили известные формулы двойного угла.

Извлечение корня из комплексного числа



Возводя в степень, получим:



Отсюда:



Таким образом, корень n –ой степени из комплексного числа имеет n различных значений.

7.5. Показательная форма комплексного числа.
Рассмотрим показательную функцию

Можно показать, что функция w может быть записана в виде:



Данное равенство называется уравнением Эйлера.

Для комплексных чисел будут справедливы следующие свойства:

1)

2)

3) где m – целое число.

Если в уравнении Эйлера показатель степени принять за чисто мнимое число (х=0), то получаем:



Для комплексно – сопряженного числа получаем:


Из этих двух уравнений получаем:



Этими формулами пользуются для нахождения значений степеней тригонометрических функций через функции кратных углов.

Если представить комплексное число в тригонометрической форме:



и воспользуемся формулой Эйлера:



Полученное равенство и есть показательная форма комплексного числа.

Рассмотрим несколько примеров действий с комплексными числами.

Пример. Даны два комплексных числа . Требуется а) найти значение выражения в алгебраической форме, б) для числа найти тригонометрическую форму, найти z²⁰, найти корни уравнения

1. 
   Очевидно, справедливо следующее преобразование:
   

Далее производим деление двух комплексных чисел:



Получаем значение заданного выражения: 16(-i)⁴ = 16i⁴ =16.

б) Число представим в виде , где



Тогда .
Для нахождения воспльзуемся формулой Муавра.





Если , то



ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1. 
   Дайте определение комплексного числа.
   
2. 
   Какие числа комплексно-сопряженными?
   
3. 
   Какие комплексные числа называются равными?
   
4. 
   Как геометрически изображаются комплексные числа?
   
5. 
   Какие действия над комплексными числами выполняются в алгебраической форме?
   
6. 
   Дайте определение тригонометрической формы комплексного числа.
   
7. 
   Какие действия над комплексными числами выполняются в тригонометрической форме?
   
8. 
   Как осуществляется переход от записи комплексного числа, заданного в алгебраической форме, к его тригонометрической форме?
   
9. 
   Как записать комплексное число в показательной форме?
   
10. 
    Что называется тождеством Эйлера?
    

Лекция № 8. Предел функции.
Переменная и предел – это основные понятия математического анализа. Достаточно напомнить, что ключевым словом в определениях таких известных со школы понятий как производная и интеграл является слово предел.
8.1. Предел функции в точке.
y f(x)


A + 

A

A - 

0 a -  a a +  x


Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х = а (т.е. в самой точке х = а функция может быть и не определена)

Определение. Число А называется пределом функции f(x) при ха, если для любого >0 существует такое число >0, что для всех х таких, что

0 < x - a < 

верно неравенство f(x) - A< .

То же определение может быть записано в другом виде:

Если а -  < x < a + , x  a, то верно неравенство А -  < f(x) < A + .

Запись предела функции в точке:

Определение. Если f(x)  A₁ при х  а только при x < a, то - называется пределом функции f(x) в точке х = а слева, а если f(x)  A₂ при х  а только при x > a, то называется пределом функции f(x) в точке х = а справа.
у

f(x)
А₂
А₁


0 a x


Приведенное выше определение относится к случаю, когда функция f(x) не определена в самой точке х = а, но определена в некоторой сколь угодно малой окрестности этой точки.

Пределы А₁ и А₂ называются также односторонними пределами функции f(x) в точке х = а. Также говорят, что А – конечный предел функции f(x).
8.2. Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности.
Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х, если для любого числа >0 существует такое число М>0, что для всех х, х>M выполняется неравенство



При этом предполагается, что функция f(x) определена в окрестности бесконечности.

Записывают:

Графически можно представить:




y y

A A


0 0

x x



y y

A A


0 0

x x

Аналогично можно определить пределы для любого х>M и

для любого х 8.3. Основные теоремы о пределах.
Теорема 1. , где С = const.

Следующие теоремы справедливы при предположении, что функции f(x) и g(x) имеют конечные пределы при ха.

Теорема 2.

Доказательство этой теоремы будет приведено ниже.

Теорема 3.

Следствие.

Теорема 4. при

Теорема 5. Если f(x)>0 вблизи точки х = а и , то А>0.

Аналогично определяется знак предела при f(x) < 0, f(x)  0, f(x)  0.

Теорема 6. Если g(x) f(x) u(x) вблизи точки х = а и , то и .

Определение. Функция f(x) называется ограниченной вблизи точки х = а, если существует такое число М>0, что f(x)Теорема 7. Если функция f(x) имеет конечный предел при ха, то она ограничена вблизи точки х = а.

Доказательство. Пусть , т.е. , тогда

или

, т.е.

где М =  + А

Теорема доказана.
8.4. Бесконечно малые функции.
Определение. Функция f(x) называется бесконечно малой при ха, где а может быть числом или одной из величин , + или -, если .

Бесконечно малой функция может быть только если указать к какому числу стремится аргумент х. При различных значениях а функция может быть бесконечно малой или нет.

Пример. Функция f(x) = xⁿ является бесконечно малой при х0 и не является бесконечно малой при х1, т.к. .

Теорема. Для того, чтобы функция f(x) при ха имела предел, равный А, необходимо и достаточно, чтобы вблизи точки х = а выполнялось условие

f(x) = A + (x),

где (х) – бесконечно малая при х  а ((х)0 при х  а).

Свойства бесконечно малых функций:

1. 
   Сумма фиксированного числа бесконечно малых функций при ха тоже бесконечно малая функция при ха.
   
2. 
   Произведение фиксированного числа бесконечно малых функций при ха тоже бесконечно малая функция при ха.
   
3. 
   Произведение бесконечно малой функции на функцию, ограниченную вблизи точки х = а является бесконечно малой функцией при ха.
   
4. 
   Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, предел которой не равен нулю есть величина бесконечно малая.
   

Используя понятие бесконечно малых функций, приведем доказательство некоторых теорем о пределах, приведенных выше.

Доказательство теоремы 2. Представим f(x) = A + (x), g(x) = B + (x), где

, тогда

f(x)  g(x) = (A + B) + (x) + (x)

A + B = const, (х) + (х) – бесконечно малая, значит



Теорема доказана.