Конспект лекций по дисциплине Элементы высшей математики

• Название: Конспект лекций по дисциплине Элементы высшей математики
• Дата: 30.06.2022
• Размер: 2.87 Mb.
• Имя файла: konspekt_lektsiy_po_vysshey_matematike.doc
• Тип: Конспект лекций; #620974
• страница: 1 из 5

Министерство образования и науки Самарской области

Государственное бюджетное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

«Самарский техникум космического машиностроения»

Конспект лекций по дисциплине

«Элементы высшей математики»

Учебно-методическое пособие по дисциплине

«Элементы высшей математики»


для специальности

230115 Программирование

в компьютерных системах

2013

ОДОБРЕНО Составлена в соответствии с ФГОС СПО

Предметной (цикловой) по специальности 230115

комиссией общих гуманитарных и «Программирование в компьютерных

социально-экономических дисциплин, системах»

математических и общих Заместитель директора по УР

естественнонаучных дисциплин ____________ Н.В. Кротова

Протокол №___ от « ___»_____2013

Председатель ________ И.Е. Сараева


Автор: Харитонова Н.С. – преподаватель математических дисциплин ГБОУ СПО «СТКМ»

Рецензент: Инжеватова Г.В. – преподаватель специальных дисциплин

ГБОУ СПО «СТКМ»

Содержание

Пояснительная записка 3

1. 
   Лекция № 1. Матрицы. Действия с матрицами 4
   
2. 
   Лекция № 2. Определители 9
   
3. 
   Лекция № 3. Нахождение обратной матрицы 14
   
4. 
   Лекция № 4. Системы линейных уравнений 19
   
5. 
   Лекция № 5. Прямая линия на плоскости 25
   
6. 
   Лекция № 6. Кривые второго порядка 33
   
7. 
   Лекция № 7. Комплексные числа 41
   
8. 
   Лекция № 8. Предел функции 50
   
9. 
   Лекция № 9. Непрерывность функции и ее разрывы 62
   
10. 
    Литература 71
    

Пояснительная записка
«Элементы высшей математики» - обязательная дисциплина в цикле естественно научных дисциплин, она является одним из основных средств познания.

Представленные лекции составлены в соответствии с рабочей программой по дисциплине «Элементы высшей математики».

Анализируя программу, учебники, методические пособия, дидактические материалы, научную литературу и учитывая, уровень подготовки студентов по математике был отобран необходимый материал и составлены данные лекции.

Основной задачей данного цикла лекций является обеспечение студентов необходимым теоретическим материалом для усвоения таких тем, как матрицы и действия с ними, определители и правила их вычисления, прямая линия на плоскости, кривые второго порядка, комплексные числа, предел и непрерывность функции.

В конце каждой лекции даны вопросы для самопроверки, которые позволяет проверить уровень усвоения предложенного материала.

Лекции предназначены для студентов второго курса среднего профессионального образования, очной формы обучения по специальности 230115 «Программирование в компьютерных системах».

Лекция № 1. Матрицы. Действия с матрицами.

1. 
   Основные понятия.
   

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая т строк одинаковой длины(или п столбцов одинаковой длины). Матрица записывается виде:



или, сокращённо, А = (а_ij), где i =1, т (т.е. i = 1,2,3,…,т) – номер строки, j = 1,п (т.е. j = 1,2,3,…,п) – номер столбца.

Матрица А называют матрицей размера т х п и пишут А_{т х п}. Числа a_ij,составляющие матрицу называются её элементами. Элементы, стоящие на диагонали, идущей из верхнего левого угла, образуют главную диагональ.

Матрицы равны между собой, если равны все соответствующие элементы этих матриц, т.е.

A = B, если a_i ­_j = b_{i j} , где i = 1,m, j = 1, n.

Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной. Квадратную матрицу размера п х п называют матрицей п-го порядка.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.

Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной. Обозначается буквой Е.

Пример 1.1

единичная матрица 3-го порядка.

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой. Обозначается буквой О. Имеет вид:



В матричном исчислении матрицы О и Е играют роль чисел 0 и 1 в арифметике.

Матрица, содержащая один столбец или одну строку, называется вектором (или вектор-столбец, или вектор-строка соответственно). Их вид:



Матрица размера 1 х 1, состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом, т.е. (5)_1х1 есть 5.

Матрица, полученная из данной заменой каждой её строки столбцом с тем же номером, называется матрицей транспонированной к данной. Обозначается А^Т.



Транспонированная матрица обладает следующим свойством: (А^Т) = А.
1.2. Действия над матрицами.
Сложение:

Операция сложения матриц вводится только для матриц одинаковых размеров.

Суммой двух матриц А_тхп= (a_ij) и В_{т хп} = (b_ij) называется матрица С_{mx n} = (c_{i j}) такая, что с_{ij =} а_ij + b_{i j} (i = 1,m, j = 1,n). Записывают С = А + В.
Пример 1.2. _{ }
Аналогично определяется разность матриц.

Умножение на число:

Произведением матрицы А_{т хп} = (а_ij) на число kназывается матрица В_тхп = (b_ij) такая, что b_ij = k*a_ij (i = 1,m, j = 1,n). Записывают В = k * A.
Пример 1.3. _{ }
Матрица – А = (-1) * А называется противоположной матрице А.

Разность матриц А – В можно определить так: А – В = А + (-В).

Операции сложения матриц и умножения матрицы на число обладают следующими свойствами:

1. 
   А + В = В + А; 5. 1 * А = А;
   
2. 
   А + (В + С) = ( А + В) + С; 6. α* (А + В) = αА + αВ;
   
3. 
   А + О = А; 7. (α + β) * А = αА + βВ;
   
4. 
   А – А = О; 8.α * (βА) = (αβ) * А,
   

Где А, В, С – матрицы, α и β – числа.

Элементарные преобразования матриц:

Элементарными преобразованиями матриц являются:

• 
  Перестановка местами двух параллельных рядов матрицы;
  
• 
  Умножение всех элементов ряда матрицы на число, отличное от нуля;
  
• 
  Прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и то же число.
  

Две матрицы А и В называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований. Записывается А В.

При помощи элементарных преобразований любую матрицу можно привести к матрице, у которой в начале главной диагонали стоят подряд несколько единиц, а все остальные элементы равны нулю. Такую матрицу называют канонической, например
_{ }
Пример 1.4. Привести к каноническому виду матрицу


Решение: Выполняя элементарные преобразования, получаем





Произведение матриц:

Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.
Произведением матрицы А_{т хп} = (а_ij) на матрицу В_{п х р} = (b_jk) называется матрица С_{т хр} = (с_jk) такая, что c _ik = a_i1* b_1k+ a_i2 * b_2k + …+ a_inb_nk , где i = 1,m, k = 1,p,

Т.е элемент i-й строки и k-го столбца матрицы произведения С равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы k-го столбца матрицы В. Получение элемента с_ij схематично изображается так

● ● ● ● ● ● ● ●

● ● ● i ● ● ● ● ●

● ● ● ● ● ● ● ●
Если матрицы А и В квадратные одного размера, то произведения АВ и ВА всегда существуют. Легко показать, что А * Е = Е * А = А, где А – квадратная матрица, Е – единичная матрица того же размера.
Пример 1.5

Пример 1.6. _{ } . Тогда произведение А * В не определено,так как число столбцов матрицы А(3) не совпадает с числом строк матрицы В(2). При этом определено произведение В х А, которое считают следующим образом:



Матрицы А и В называются перестановочными, если АВ = ВА.

Умножение матриц обладает следующими свойствами:

1. 
   А * (В*С) = (А*В) * С; 3. (А + В) * С = АС + ВС;
   
2. 
   А * (В+С) = АВ + АС; 4. α(АВ) = (αА)В,
   

Если, конечно, написанные суммы и произведения матриц имеют смысл.

Для операции транспонирования верны свойства:

1. 
   (А + В)^Т = А^Т + В^Т; 2. (АВ)^Т = В^Т * А^Т.
   

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1. 
   Что называется матрицей?
   
2. 
   Какие матрицы называются равными?
   
3. 
   Какая матрица называется единичной?
   
4. 
   Какая матрица называется транспонированной к данной?
   
5. 
   Какие действия можно выполнять над матрицами?
   
6. 
   Перечислите элементарные преобразования матриц.
   
7. 
   Всегда ли выполнимо действие умножения двух матриц?
   
8. 
   Перечислите свойства, которыми обладает умножение матриц.
   

Лекция № 2. Определители.
2.1. Основные понятия.
Квадратной матрице А порядка п можно сопоставить число det A (или |A|, или ∆), называемое ее определителем, следующим образом:

1. 
   п = 1. А = (а₁); det A = a₁.
   
2. 
   _{ }
   

3. 
   _{ }
   

Определитель матрицы А также называют ее детерминантом. Правило вычисления детерминанта для матрицы порядка N является довольно сложным для восприятия и применения. Однако известны методы, позволяющие реализовать вычисление определителей высоких порядков на основе определителей низших порядков. Один из методов основан на свойстве разложения определителя по элементам некоторого ряда. При этом заметим, что определители невысоких порядков(1,2,3) желательно уметь вычислять согласно определению.

Вычисление определителя 2-го порядка иллюстрируется схемой:

● ● ● ● ● ●

● ● ● ● ● ●

Пример 2.1. Найти определители матриц _{ } и _{ }

Решение: <sub> 

 </sub>

При вычислении определителя 3-го порядка удобно пользоваться правилом треугольников (или Саррюса), которое символически можно записать так:

● ● ● ● ● ● ● ● ●

● ● ● = ● ● ● - ● ● ●

● ● ● ● ● ● ● ● ●

Пример 2.2. Вычислить определитель матрицы

_{ }

Решение:

det А = 5 * 1 * (-3) + (-2) * (-4) * 6 + 3 * 0 * 1 – 6 * 1 * 1 – 3 * (-2) * (-3) – 0 * (-4) * 5 = -15 + + 48 – 6 – 18 = 48 – 39 = 9.
2.2. Свойства определителей.
Сформулируем основные свойства определителей, присущие определителем всех порядков, некоторые из этих свойств поясним на определителях 3-го порядка.

Свойство 1(«Равноправность строк и столбцов»). Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами, и наоборот.

Иными словами, _{ }

В дальнейшем строки и столбцы будем просто называть рядами определителя.

Свойство 2. При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак.

Свойство 3. Определитель, имеющий два одинаковых ряда, равен нулю.

Свойство 4. Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.

Из свойств 3 и 4 следует, что если все элементы некоторого ряда пропорциональны соответствующим элементам параллельного ряда, то такой определитель равен нулю.

Действительно, _{ }

Свойство 5. Если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей.

Например, _{ }

Свойство 6 («Элементарные преобразования определителя»). Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда умноженные на любое число.

Пример 2.3. Доказать, что _{ }
Решение: Действительно, используя свойства 5, 4 и 3, получим



Дальнейшие свойства определителей связаны с понятиями минора и алгебраического дополнения.

Минором некоторого элемента а_ijопределителя п-го порядка называется определитель п – 1-го порядка, полученный из исходного путём вычёркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент. Обозначается т_ij.


Алгебраическим дополнением элемента а_ijопределителя называется его минор, взятый со знаком «плюс», если сумма i + j– чётное число, и со знаком «минус», если эта сумма нечётная. Обозначается А_ij: А_ij = (-1)^{i + j} * m_ij.

Так, А₁₁ = +т₁₁, А₃₂ = -т_32.

Свойство 7 («Разложение определителя по элементам некоторого ряда»). Определитель равен сумме произведений элементов некоторого ряда на соответствующие им алгебраические дополнения.

Проиллюстрируем и одновременно докажем свойство 7 на примере определителя 3-его порядка. В этом случае свойство 7 означает, что



В самом деле, имеем

_{ }





Свойство 7 содержит в себе способ вычисления определителей высоких порядков.

Пример 2.4. Вычислите определитель матрицы



Решение: Для разложения определителя обычно выбирают тот ряд, где есть нулевые элементы, т.к. соответствующие им слагаемые в разложении будут равны нулю.




Свойство 8. Сумма произведений элементов какого- либо ряда определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю.

Так, например, а₁₁А₂₁ + а₁₂А₂₂ + а₁₃А₂₃ = 0.