Конспект лекций по дисциплине Элементы высшей математики

• Название: Конспект лекций по дисциплине Элементы высшей математики
• Дата: 30.06.2022
• Размер: 2.87 Mb.
• Имя файла: konspekt_lektsiy_po_vysshey_matematike.doc
• Тип: Конспект лекций; #620974
• страница: 2 из 5

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1. 
   Сформулируйте правило вычисления определителя второго порядка.
   
2. 
   Сформулируйте правила вычисления определителя третьего порядка.
   
3. 
   Перечислите свойства определителей.
   
4. 
   Дайте определение минора некоторого элемента определителя.
   
5. 
   Дайте определение алгебраического дополнения элемента определителя.
   

Лекция № 3. Нахождение обратной матрицы.

0. 
   Основные понятия.
   

Пусть А – квадратная матрица п-го порядка

_{ }

К вадратная матрица А называется невырожденной, если определитель∆ = det А не равен нулю: ∆ = det А = 0. В противном случае (∆ = 0) матрица А называется вырожденной.

Матрицей, союзной к матрице А, называется матрица



где А_ij – алгебраическое дополнение элемента а_ijданной матрицы А (оно определяется так же, как и алгебраическое дополнение элемента определителя).

Матрица А^-1 называется обратной матрице А, если выполняется условие

А * А^-1 = А^-1 * А = Е,

где Е – единичная матрица того же порядка, что и матрица А. Матрица А^-1 имеет те же размеры, что и матрица А.

0. 
   Обратная матрица.
   

Теорема 3.1. Всякая невырожденная матрица имеет обратную.

Проведём доказательство для случая матрицы 3-го порядка. Пусть

_{ }

Составим союзную матрицу



и найдём произведение матриц А и А^*:


Здесь мы использовали свойства 7 и 8 определителей.

Аналогично убеждаемся, что

А^* * А = det А * Е.

Равенства (3.2) и (3.3) перепишем в виде

А * (А^*/ det A) = Е и (А^*/ det А) * А = Е.

Сравнивая полученные результаты с определением (3.1), получаем



Отметим свойства обратной матрицы:

1. 
   det (А^-1) = 1 / det А;
   
2. 
   (А * В)^-1 = В^-1 * А^-1;
   
3. 
   (А^-1)^Т = (А^Т)^-1 .
   

Пример 3.1. Найти А^-1, если А= _{ }

Решение: 1) Находим det А: _{ }

2) Находим А^*: А₁₁ = 1, А₂₁ = -3, А₁₂ = - (-1) = 1, А₂₂ = 2, поэтому _{ }

3) Находим А^-1: _{ }
Проверка:



Пример 3.2. Определить, при каких значениях α существует матрица, обратная данной.

._{ }

Решение: Всякая невырожденная матрица имеет обратную. Найдём определитель матрицы А:



Е сли 4α – 9 = 0, т.е. α = 9/4, то ∆А = 0, т.е. матрица А невырожденная, имеет обратную.

Пример 3.3. Показать, что матрица А является обратной для В, если



Решение: Найдём произведение матиц А и В:



Аналогично В * А = Е. Следовательно, матрица А является обратной для В.

3. 
   Ранг матрицы.
   

Рассмотрим матрицу А размера т х п.



Выделим в ней к строк и к столбцов (к ≤ min(т;п)). Из элементов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, составим определитель к-го порядка. Все такие определители называются минорами этой матрицы. В матрице А пунктиром выделен минор 2-го порядка. (Заметим, что таких миноров можно составить С^к_м * С^к_мштук, где С^к_п = п! / к!(п – к)! – число сочетаний из п элементов по к.)

Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы. Обозначается r, r(A) или rangA.

Очевидно, что 0 ≤ r ≤ min(m;n), где min (m;n) – меньшее из чисел т и п.
Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным. У матрицы может быть несколько базисных миноров.

Пример 3.4. Найти ранг матрицы:

_{ }

Р ешение: Все миноры 3-го порядка равны нулю. Есть минор 2-го порядка, отличный от нуля 3 6 = -15 ≠ 0. Значит, r(A) = 2. Базисный минор стоит на пересечении 2 и 3

1 -3

строки с 1 и 3 столбцами.

Отметим свойства ранга матрицы:

1. 
   При транспонировании матрицы её ранг не меняется.
   
2. 
   Если вычеркнуть из матрицы нулевой ряд, то ранг матрицы не изменится.
   
3. 
   Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы.
   

Ранг канонической матрицы равен числу единиц на главной диагонали. На этом основан один из способов вычисления ранга матрицы.

Пример 3.5. Найти ранг матрицы



используя результаты примера 1.4.

Решение: В примере 1.4 показано, что _{ }

То есть _{ }

Таким образом, ранг матрицы А равен r(А) = 2.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1. 
   Какая квадратная матрица называется невырожденной (вырожденной)?
   
2. 
   Какая матрица называется обратной данной?
   
3. 
   Любая ли матрица имеет обратную?
   
4. 
   Как проверить, правильно ли найдена обратная матрица?
   
5. 
   Перечислите свойства обратной матрицы.
   
6. 
   Что называется рангом матрицы?
   
7. 
   Перечислите свойства ранга матрицы?
   

Лекция № 4. Системы линейных уравнений.

0. 
   Основные понятия.
   

Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей т уравнений и п неизвестных, называется система вида:

_{ }

г де числа а_ij , i = 1,т , j =1,п называются коэффициентами системы, числа b_i – свободными членами. Подлежат нахождению числа х_п.

Т акую систему удобно записывать в компактной матричной форме А * Х = В.

Здесь А – матрица коэффициентов системы, называемая основной матрицей:







Произведение матриц А * Х определено, так как в матрице А столбцов столько же, сколько строк в матрице Х (п штук).

Расширенной матрицей системы называется матрица _{ } системы, дополненная столбцом свободных членов



Решением системы называется п значений неизвестных х₁ = с₁ , х₂ = с₂ , … , х_п = с_п , при подстановке которых все уравнения системы обращаются в верными равенства. Всякое решение системы можно записать в виде матрицы-столбца



Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместимой, если она не имеет ни одного решения.

Совместная система называется определённой, если она имеет единственное решение, и неопределённой, если она имеет более одного решения. В последнем случае каждое её решение называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением.

Решить систему – это значит выяснить, совместна она или несовместна. Если система совместна, найти её общее решение.

Две системы называются эквивалентными (равносильными), если они имеют одно и то же общее решение. Другими словами, системы эквивалентны, если каждое решение одной из них является решением другой, и наоборот.

Эквивалентные системы получаются, в частности, при элементарных преобразованиях системы при условии, что преобразования выполняются лишь над строками матрицы.

Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены равны нулю:



Однородная система всегда совместна, так как х₁ = х₂ = … = х_п = 0 является решением системы. Это решение называется нулевым или тривиальным.

0. 
   Решение систем линейных уравнений.
   

Теорема Кронекера-Капелли:

Пусть дана произвольная система т линейных уравнений с п неизвестными

_{ }

Исчерпывающий ответ на вопрос о совместимости этой системы даёт теорема Кронекера-Капелли.

Теорема 4.1. Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы.

Примем её без доказательства.
Правила практического разыскания всех решений совместной системы линейных уравнений вытекают из следующих теорем.

Теорема 4.2. Если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение.

Теорема 4.3. Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений.

П равило решения произвольной системы линейных уравнений.

1. 
   Н айти ранги основной и расширенной матриц системы. Если r(А) ≠ r(А), то система несовместна.
   
2. 
   Если r(А) = r(А) = r, система совместна. Найти какой-либо базисный минор порядка r (напоминание: минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным). Взять r уравнений, из коэффициентов которых составлен базисный минор (остальные уравнения отбросить). Неизвестные, коэффициенты которых входят в базисный минор, называют главными и оставляют слева, а остальные п – rнеизвестных называют свободными и переносят в правые части уравнений.
   
3. 
   Найти выражения главных неизвестных через свободные. Получено общее решение системы.
   
4. 
   Придавая свободным неизвестным произвольные значения, получим соответствующие значения главных неизвестных. Таким образом можно найти частные решения исходной системы уравнений.
   

Пример 4.1. Исследовать на совместность систему



Решение: _{ }

Таким образом, _{ }, следовательно, система несовместна.

Пример 4.2. Решить систему

_{ }
Р ешение: _{ }. Берём два первых уравнения:





Следовательно, х₃ = -х₁ + 2х₂ , х₄ = 1 – общее решение. Положив, например, х₁ = 0, х₂ = 0, получаем одно из частных решений: х₁ = 0, х₂ = 0, х₃ = 0, х₄ = 1.

3. 
   Решение невырожденных линейных систем.
   

Пусть дана система п линейных уравнений с п неизвестными

_{ }

или в матричной форме А * Х = В.

Основная матрица А такой системы квадратная. Определитель этой матрицы

_{ }

называется определителем системы. Если определитель системы отличен от нуля, то система называется невырожденной.

Найдём решение данной системы уравнений в случае ∆ ≠ 0.

Умножив обе части уравнения А * Х = В слева на матрицу А^-1 , получим А^-1 * А * Х = А^-1 * В. Поскольку А^-1 * А = Е и Е * Х = Х, то Х = А^-1 * В.

Отыскание решения системы по формуле (4.1) называют матричным способом решения системы.

Матричное равенство (4.1) запишем в виде

_{ },

то есть _{ }

Отсюда следует, что
х₁ = (А₁₁b₁ + А₂₁b₂ + … +А_пb_п) / ∆ ,

……………………………………………

х_п = (А_1пb₁ + А_2пb₂ + … + А_ппb_п) / ∆ .

Но А₁₁b₁ + A₂₁b₂ + … + A_п1b₁ есть разложение определителя

_{ }

по элементам первого столбца. Определитель ∆₁ получается из определителя ∆ путём замены первого столбца коэффициентов столбцом из свободных членов.

Итак, х₁ = ∆₁ / ∆.

А налогично: х₂ = ∆₂ / ∆, где ∆₂ получен из ∆ путём замены второго столбца коэффициентов столбцом из свободных членов; х₃ = ∆₃ / ∆, … , х_п = ∆_п / ∆.

Ф ормулы х_i= ∆_i / ∆, i = 1,n

называются формулами Крамера.

Итак, невырожденная система п линейных уравнений с п неизвестными имеет единственное решение, которое может быть найдено матричным способом (4.1) либо по формулам Крамера (4.2).

Пример 4.3. Решить систему _{ }

Решение: _{ }

Значит,_{ }

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1. 
   Какой вид имеет система линейных алгебраических уравнений?
   
2. 
   Как записать систему линейных алгебраических уравнений в матричной форме?
   
3. 
   Сформулируйте теорему Кронекера-Капелли.
   
4. 
   Какая система уравнений называется совместной (несовместной)?
   
5. 
   Что значит решить систему линейных алгебраических уравнений?
   
6. 
   Сформулируйте правила решения произвольной системы линейных алгебраических уравнений.
   
7. 
   Сформулируйте правила решения систем с помощью обратной матрицы.
   
8. 
   Сформулируйте правила решения систем методом определителя (формулы Крамера).
   

Лекция № 5. Прямая линия на плоскости.
В этой лекции мы приступаем к рассмотрению аналитической геометрии, которая изучает свойства геометрических фигур средствами алгебры на основе метода координат. Данный метод позволяет каждой точке плоскости поставить в соответствие упорядоченную тройку чисел. Основным инструментом метода координат служит система координат. В этой лекции мы будем рассматривать только прямоугольную, или декартову, систему координат. Рассмотрим, как можно задать простейшую фигуру – прямую на плоскости.
5.1. Уравнение прямой на плоскости.
Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка

Ах + Ву + С = 0,

причем постоянные А, В не равны нулю одновременно, т.е. А² + В²  0. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.

В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:

• 
  C = 0, А  0, В  0 – прямая проходит через начало координат
  
• 
  А = 0, В  0, С  0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох
  
• 
  В = 0, А  0, С  0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу
  
• 
  В = С = 0, А  0 – прямая совпадает с осью Оу
  
• 
  А = С = 0, В  0 – прямая совпадает с осью Ох
  

Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.
5.2. Уравнение прямой по точке и вектору нормали.
Определение. В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В) перпендикулярен прямой , заданной уравнением Ах + Ву + С = 0.

Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1, 2) перпендикулярно вектору (3, -1).

Составим при А = 3 и В = -1 уравнение прямой: 3х – у + С = 0. Для нахождения коэффициента С подставим в полученное выражение координаты заданной точки А.

Получаем: 3 – 2 + C = 0, следовательно С = -1.

Итого: искомое уравнение: 3х – у – 1 = 0.
5.3. Уравнение прямой, проходящей через две точки.
Пусть на плоскости заданы две точки M₁(x₁, y₁) и M₂(x_2, y₂), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки:



Если какой- либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель.

Записанное выше уравнение прямой упрощается:



если х₁  х₂ и х = х₁, еслих₁ = х₂.

Дробь = k называется угловым коэффициентом прямой.

Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 2) и В(3, 4).

Применяя записанную выше формулу, получаем:


5.4. Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту.
Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду:



и обозначить , то полученное уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k.
5.5. Уравнение прямой по точке и направляющему вектору.
По аналогии с пунктом, рассматривающим уравнение прямой через вектор нормали можно ввести задание прямой через точку и направляющий вектор прямой.

Определение. Каждый ненулевой вектор (₁, ₂), компоненты которого удовлетворяют условию А₁ + В₂ = 0 называется направляющим вектором прямой

Ах + Ву + С = 0.

Пример. Найти уравнение прямой с направляющим вектором (1, -1) и проходящей через точку А(1, 2).

Уравнение искомой прямой будем искать в виде: Ax + By + C = 0. В соответствии с определением, коэффициенты должны удовлетворять условиям:

1A + (-1)B = 0, т.е. А = В.

Тогда уравнение прямой имеет вид: Ax + Ay + C = 0, или x + y + C/A = 0.

при х = 1, у = 2 получаем С/A = -3, т.е. искомое уравнение:

х + у - 3 = 0
5.6. Уравнение прямой в отрезках.
Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С  0, то, разделив на –С, получим: или

, где



Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу.

Пример. Задано общее уравнение прямой х – у + 1 = 0. Найти уравнение этой прямой в отрезках.

С = 1, , а = -1, b = 1.


5.7. Нормальное уравнение прямой.
Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделить на число , которое называется нормирующем множителем, то получим

xcos + ysin - p = 0 –

нормальное уравнение прямой.

Знак  нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы С < 0.

р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а  - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Пример. Дано общее уравнение прямой 12х – 5у – 65 = 0. Требуется написать различные типы уравнений этой прямой.

уравнение этой прямой в отрезках:

уравнение этой прямой с угловым коэффициентом: (делим на 5)



нормальное уравнение прямой:

; cos = 12/13; sin = -5/13; p = 5.

Cледует отметить, что не каждую прямую можно представить уравнением в отрезках, например, прямые, параллельные осям или проходящие через начало координат.

Пример. Прямая отсекает на координатных осях равные положительные отрезки. Составить уравнение прямой, если площадь треугольника, образованного этими отрезками равна 8 см².

Уравнение прямой имеет вид: , a = b = 1; ab/2 = 8; a = 4; -4.

a = -4 не подходит по условию задачи.

Итого: или х + у – 4 = 0.

Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, -3) и начало координат.

Уравнение прямой имеет вид: , где х₁ = у₁ = 0; x₂ = -2; y₂ = -3.



Для самостоятельного решения: Составить уравнения прямых, проходящих через точку М(-3, -4) и параллельных осям координат.

Ответ: { x + 3 = 0; y + 4 = 0}.
5.8. Угол между прямыми на плоскости.
Определение. Если заданы две прямые y = k₁x + b₁, y = k₂x + b₂, то острый угол между этими прямыми будет определяться как

.

Две прямые параллельны, если k₁ = k₂.

Две прямые перпендикулярны, если k₁ = -1/k₂.

Теорема. Прямые Ах + Ву + С = 0 и А₁х + В₁у + С₁ = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты А₁ = А, В₁ = В. Если еще и С₁ = С, то прямые совпадают.

Координаты точки пересечения двух прямых находятся как решение системы двух уравнений.
5.9. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой.
Определение. Прямая, проходящая через точку М₁(х₁, у₁) и перпендикулярная к прямой у = kx + b представляется уравнением:


5.10. Расстояние от точки до прямой.
Теорема. Если задана точка М(х₀, у₀), то расстояние до прямой Ах + Ву + С =0 определяется как

.
Доказательство. Пусть точка М₁(х₁, у₁) – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на заданную прямую. Тогда расстояние между точками М и М₁:

(1)

Координаты x₁ и у₁ могут быть найдены как решение системы уравнений:



Второе уравнение системы – это уравнение прямой, проходящей через заданную точку М₀ перпендикулярно заданной прямой.

Если преобразовать первое уравнение системы к виду:

A(x – x₀) + B(y – y₀) + Ax₀ + By₀ + C = 0,

то, решая, получим:



Подставляя эти выражения в уравнение (1), находим:

.
Теорема доказана.
Пример. Определить угол между прямыми: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

K₁ = -3; k₂ = 2 tg = ;  = /4.

Пример. Показать, что прямые 3х – 5у + 7 = 0 и 10х + 6у – 3 = 0 перпендикулярны.

Находим: k₁ = 3/5, k₂ = -5/3, k₁k₂ = -1, следовательно, прямые перпендикулярны.

Пример. Даны вершины треугольника А(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Найти уравнение высоты, проведенной из вершины С.

Находим уравнение стороны АВ: ; 4x = 6y – 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Искомое уравнение высоты имеет вид: Ax + By + C = 0 или y = kx + b.

k = . Тогда y = . Т.к. высота проходит через точку С, то ее координаты удовлетворяют данному уравнению: откуда b = 17. Итого: .

Ответ: 3x + 2y – 34 = 0.

Для самостоятельного решения: Даны стороны треугольника x + y – 6 = 0,

3x – 5y + 15 = 0, 5x – 3y – 14 = 0. Составить уравнения его высот.

Указание: Сначала следует найти координаты вершин треугольника, как точек пересечения сторон, затем воспользоваться методом, рассмотренном в предыдущем примере.

Ответ: { x – y = 0; 5x + 3y – 26 = 0; 3x + 5y – 26 = 0}.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1. 
   Дайте определение уравнения линии на плоскости.
   
2. 
   Напишите общее уравнение прямой.
   
3. 
   Укажите различные случаи положения прямой относительно осей координат и соответствующие им уравнения.
   
4. 
   Как проверить, лежит ли данная точка на данной прямой?
   
5. 
   Что называется углом наклона прямой?
   
6. 
   Что называется угловым коэффициентом прямой, каков его геометрический смысл?
   
7. 
   Чему равен угловой коэффициент прямой, параллельно оси Ox?
   
8. 
   Напишите уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении.
   
9. 
   Напишите уравнение прямой, проходящей через две данные точки, общее уравнение прямой.
   
10. 
    Напишите формулу тангенса угла между двумя прямыми.
    
11. 
    Сформулируйте условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.
    
12. 
    Как определить точку пересечения двух прямых?
    
13. 
    В чем состоит геометрический смысл неравенства первой степени с двумя неизвестными?
    
14. 
    В чем состоит геометрический смысл системы неравенств первой степени с двумя неизвестными?
    

Лекция № 6. Кривые второго порядка.