РТЦиС_Лекции_Часть_1_(Раздел_1). Конспект лекций по дисциплине Радиотехнические цепи и сигналы. Часть 1
 Скачать 1.46 Mb.
|
|
§18. Спектр радиосигнала с гармонической угловой модуляцией) Частотная модуляция. ) cos( ) ( t t s (1) Д (2) н н чм t m t A t a sin cos ) ( 0 (3) Ответ на вопрос о спектре радиосигнала с гармонической ЧМ не является очевидным с одной стороны мгновенная частота t меняется непрерывно в пределах Д Н Д Н ; , поэтому кажется, что спектр такого радиосигнала является сплошным с шириной Д 2 С другой стороны такой радиосигнал является периодическим, поэтому его спектр должен быть дискретным. Чтобы доказать это, раскроем выражение (3), приняв для упрощения обе начальные фазы равными нулю. После разложения этого колебания вряд Фурье получим ) ( ) 4 ( ) cos( ) ( ) cos( ) ( ) 1 ( cos ) ( sin sin sin cos sin cos ) ( 1 1 0 0 0 0 вывода без t k m J t k m J t m J A t t m A t t m A t a н k k н k k k н н н чм Коэффициенты разложения вряд Фурье выражены через функции Бесселя го порядка от аргумента Из выражения (4) следует, что в состав радиосигнала с гармонической ЧМ входят - колебание с несущей частотой ни амплитудой m J 0 0 , - бесконечный набор нижних боковых колебаний с амплитудами m J k 0 и частотами н, - бесконечный набор верхних боковых колебаний с амплитудами m J k 0 и частотами k н Следовательно, спектр радиосигнала с гармонической ЧМ является дискретным, а ширина спектра в общем случае бесконечна. Из математики известно, что функции Бесселя m J k являются знакопеременными и обладают таким свойством, что их значения становятся много меньше 1 при 1 m k , следовательно, в спектре радиосигнала с гармонической ЧМ, ввиду малости, можно пренебречь боковыми составляющими с номером 1 m k . Значит, число боковых составляющих справа и слева от несущей будет равно 1 m , где m – индекс угловой модуляции, Д m Исходя из этого введем понятие практической или действительной ширины спектра ЧМК. 34 ) 1 ( 2 2 m чм Оценим среднюю мощность радиосигнала с гармонической частотой модуляции. Для периодического колебания ) ( 1 1 2 2 0 2 0 2 ) ( 2 ) ( 2 2 Бесселя функции свойству по k k k k cp m J m J A A P нес cp P A P 2 Выясним, как распределена средняя мощность между составляющими. Можно исследовать два крайних случая быстрой и медленной ЧМ. - Быстрая частотная модуляция, Д m , 1 ,... 3 , 2 , 0 ) ( к m J k 1 2 ) ( ; 1 ) ( 1 0 m m J m J 2 ] 2 [ чм 1 ср бок Р P Эффективность модуляции много меньше 1. При быстрой модуляции распределение мощности энергетически невыгодно. На практике она не применяется. - Медленная угловая модуляция, Д m , 1 Д чм m 2 Если учесть, что функция m J 0 , определяющая амплитуду несущего колебания, является знакопеременной, то всегда можно подобрать значение m , при котором обращается в ноль, и тогда в спектре будут присутствовать только боковые колебания. 0 ) ( 0 m J 1 ср бок Р P - энергетически медленная угловая модуляция выгодна. 2) Фазовая модуляция. Если провести анализ спектра радиосигнала с фазовой гармонической модуляцией, то получится почти такое же разложение, как и при ЧМ. Амплитудные спектры при ЧМК и ФМК одинаковы, отличаются лишь фазовые спектры, следовательно, справедливы все рассуждения о числе учитываемых боковых колебаний и ширине спектра. Практическая ширина спектра ФМК: ) 1 ( 2 2 m фм Различие спектра ЧМК и ФМК проявляется при изменении Ω. Рассмотрим случай медленной угловой модуляции (m>>1): 35 ЧМК Неизменным параметром является девиация частоты Дне зависит от Ω) Д - число нижних (верхних) боковых составляющих в спектре const Д чм 2 2 ФМК Неизменным параметром является девиация фазы Дне зависит от Ω) Д- зависит от m фм 2 2 - изменяется при изменении частоты m n - постоянно §19. Применение преобразование Гильберта для однозначного определения огибающей, частоты и фазы радиосигнала. В общем виде любой радиосигнал представляется формулой ) ( cos ) ( ) ( t t A t a (1) Выражение (1) не дает однозначного определения понятий А) – огибающей радиосигнала, Ψ(t) – полной фазы радиосигнала. Можно подобрать бесконечно много пар параметров Аи, удовлетворяющих уравнению (1). Для однозначного определения этих понятий условились применять преобразование Гильберта. Преобразование Гильберта для радиосигнала а, будем обозначать t a dt t a t a ) ( 1 ) ( ˆ (2) – прямое преобразование Гильберта dt t a t a ) ( ˆ 1 ) ( (3) – обратное преобразование Гильберта Условились, что ) ( ˆ ) ( ) ( 2 2 t a t a t A (4) огибающая радиосигнала ) ( ) ( ˆ ) ( t a t a arctg t (5) – полная фаза dt t d t dt d t H ) ( ) ( ) ( (6); H - средняя частота радиосигнала. Геометрическое представление преобразования Гильберта. 36 Примеры 1) Преобразование Гильберта гармонического сигнала ) cos( ) ( 0 H H t A t a ) sin( ) ( ˆ 0 H H t A t a 0 2 2 ) ( ˆ ) ( ) ( A t a t a t A - соответствует интуитивному представлению об огибающей. 2) Преобразование Гильберта от суммы гармонических колебаний N k K k k N k K t a t A t a 1 1 ) ( ) cos( ) ( , где ) cos( ) ( k k K k t A t a ) sin( ) ( ˆ k k K k t A t a N k K t a t a 1 ) ( ˆ ) ( ˆ 2 1 2 1 ) ( ˆ ) ( ) ( N k K N k K t a t a t A N k K N k K t a t a arctg t 1 Преобразование Гильберта от суммы гармонических колебаний представляет собой сумму гармонических колебаний с теми же частотами и амплитудами. Фазы этих колебаний отличаются на –π/2. Это означает, что амплитудный спектр преобразования Гильберта совпадает с амплитудным спектром исходного радиосигнала, а фазовый спектр отличается сдвигом на -π/2. 3) преобразование Гильберта от радиосигнала с непрерывным спектром. В соответствии с примером (2) амплитудный спектр преобразования Гильберта совпадает с амплитудным спектром исходного радиосигнала, а фазовый сдвинут на -π/2. При : 0 j j j a a e e S S a 2 ) ( ˆ ˆ ) ( ) ( 37 При. Комплексное представление радиосигнала. Аналитический сигнал и его свойства. Пусть имеется радиосигнал н н t t t A t t A t a ) ( cos ) ( ) ( cos ) ( ) ( Будем называть комплексным представлением радиосигнала Радиосигнала- огибающая радиосигнала ) ( ) ( ) ( ˆ ) ( arg t t a t a arctg t Z ) ( ) ( ) ( t j e t A t Z н н t t t ) ( ) ( t j t j н н e e t A t Z ] ) ( [ ) ( ) ( t j н e t A t Z ) ( ) ( ] ) ( [ ) ( ) ( н t j e t A t A - комплексная огибающая радиосигнала. Параметр комплексная огибающая интересен тем, что содержит одновременно информацию и об амплитудной, и об угловой модуляции радиосигнала. Принято называть комплексное представление радиосигнала z(t) аналитическим сигналом. Свойства аналитического сигнала. 1) Спектр аналитического сигнала сосредоточен только в области положительных частот. ) ( ˆ ) ( ) ( t a j t a t Z 0 , 0 0 ), ( 2 ) ( ) ( ) ( ˆ a a a Z S S j S S d e S t Z t j Z 0 ) ( 2 1 ) ( d e S t Z t j a 0 ) ( 1 ) ( 2) Связь спектральных характеристик аналитического сигнала и комплексной огибающей радиосигнала. ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( Н A Н H S t j t j t j t j Z dt e t A dt e e t A dt e t Z S ) ( ) ( н A Z S S ) ( ) ( н z A S S 38 3) Связь спектральных характеристик радиосигнала и его комплексной огибающей (без вывода. ) ( 2 1 ) ( 2 1 ) ( * н A н A а S S S 4) Энергия аналитического сигнала. a W a d S d S d S z W W a z a z 2 1 2 ) ( 4 2 1 ) ( 2 1 0 2 0 Энергия аналитического сигнала Z W в два раза больше энергии исходного радиосигнала a W . §21 . Понятие дискретного сигнала. Математическое описание. Спектральное представление. В отличие от аналогового сигнала s(t), который определен во всех точках временной оси, дискретный сигнал определен лишь в дискретных точках … t -3 , t -2 , t -1 , t 0 , t 1 , t 2 , … , t n . Чаще всего отсчетные точки на временной оси берутся через равный интервал Т. При этом любая отсчетная точка t n =Tn, (n= 1, 2, 3, …) С учетом сказанного, обозначим дискретное колебание как s T (t). Одной из моделей дискретного колебания можно считать результат прохождения аналогового колебания s(t) через временной дискретизатор (ВД). Представим ВД в виде идеального импульсного элемента (или ключа, который замыкается через равные промежутки времени Т на бесконечно малое время Рис. 1. В каждый момент замыкания t n =nT на выходе такого ВД образуется -импульс, площадь которого равна значению входного аналогового сигнала в момент замыкания При таком подходе математическая модель дискретного сигнала имеет вид 39 Временные диаграммы аналогового сигнала s(t) и полученного из него дискретного сигнала s T (t) представлены на рисунке 2. Рис. 2. Для большей наглядности - импульсы на рисунке 2 изображены в виде стрелок, высота которых пропорциональна площади соответствующего - импульса, те. отсчету аналогового сигнала s(nT). Очевидно, что в дискретном сигнале s T (t) содержится определенная информация об аналоговом сигнале s(t), а именно информация о мгновенных значениях аналогового сигнала. Заключается она в значениях площади соответствующих - импульсов. Однако, в общем случае утверждать, что дискретный сигнал содержит полную информацию об аналоговом сигнале, нельзя. Учитывая, что входящие в выражение (1) - импульсы определены лишь в дискретных точках t n =nT , перепишем выражение для s T (t) в виде где - периодическая последовательность - импульсов Такое представление позволяет рассматривать дискретный сигнал как результат перемножения аналогового сигнала s(t) и периодической последовательности - импульсов. Рис. 3. 40 С учетом выражения (2) и свойств преобразования Фурье легко найти спектральную характеристику дискретного сигнала s T (t): Связь спектральных характеристик дискретного и аналогового сигналов. Обозначим спектральные характеристики аналогового сигнала s(t) и полученного из него дискретного сигнала s T (t) соответственно и , те Используя свойства преобразования Фурье и вторую модель дискретного сигнала, запишем , где - обозначение свертки двух функций - спектральная характеристика периодической последовательности Отсюда Представим рядом Фурье в комплексной форме где 41 Тогда Подставив (5) в (4) получим Окончательно с учетом стробирующего (или фильтрующего) свойства - импульса Выражение (6) показывает, что спектральная характеристика дискретного сигнала с точностью до коэффициента предствляет собой периодически повторяющуюся через интервал спектральную характеристику аналогового сигнала. Здесь - частота дискретизации Изобразим аналоговый и дискретный сигналы и их амплитудные спектры для случая, когда спектр аналогового колебания ограничен по частоте величиной с 42 Рис. 4. В приведенном примере, когда ω T > 2 ω c или Т < π / ω c ) спектр дискретного сигнала содержит полную информацию о спектре аналогового сигнала. Извлечь эту информацию, то есть восстановить аналоговый сигнал по дискретному сигналу, можно пропустив последний через идеальный ФНЧ с полосой пропускания 2 ω ФНЧ = 2 ω c . На рисунке 5 изображена АЧХ такого фильтра. Рис. 5. Очевидно, что восстановление аналогового сигнала с ограниченным спектром по дискретному сигналу возможно лишь при условии или При невыполнении этого условия повторяющиеся части спектра дискретного сигнала частично перекрываются и восстановить аналоговый сигнал по дискретному без искажений нельзя. |