РТЦиС_Лекции_Часть_1_(Раздел_1). Конспект лекций по дисциплине Радиотехнические цепи и сигналы. Часть 1
 Скачать 1.46 Mb.
|
|
§5. Спектральный анализ импульсного колебания. Прямое и обратное преобразование Фурье. Пусть имеется одиночный импульс s(t). Мысленно (пунктиром) осуществим периодическое повторение этого импульса с периодом Т, для этой периодической последовательности запишем k t jk k e A t s 2 1 ) ( (1) b a t jk k dt e t s T A ) ( 2 (2) Подставим (2) в (1), получим k t jk b a t jk e dt e t s t s 2 ) ( ) ( (3) Выражение (3) справедливо для нашего импульса лишь на интервале от 0 до Т. При Т, kΩ→ω, получим d dt e t s e t s S b a t j t j ) ( ) ( 2 1 ) ( ) ( S – спектральная характеристика импульсного колебания. dt e t s S t j ) ( ) ( (4) – прямое преобразование Фурье, d e S t s t j ) ( 2 1 ) ( (5) – обратное преобразование Фурье. Вместо (4) и (5) договорились писать условное обозначение Спектральная характеристика в общем случае комплексная функция, а значит у нее есть модуль и аргумент, то есть Выясним физический смысл спектральной характеристики и ее модуля. Сравним выражения (5) и (1): d e S t s t j ) ( 2 1 ) ( (5) k t jk k e A t s 2 1 ) ( (1) d S ) ( 1 и k A имеют один и тот же смысл. c d d S ) ( 1 – комплексная амплитуда гармоники с частотой ω. 13 d c d S ) ( (6) d dc S ) ( (7) – модуль спектральной характеристики, имеет смысл спектральной плотности амплитуд, его принято называть амплитудным спектром импульса. ) ( arg ) ( S S – фазовый спектр в отличие от спектров периодического колебания спектры импульсного колебания являются непрерывными, сплошными. Пример найдем спектральную характеристику импульса ; 2 2 sin 2 sin 2 ) ( ) ( 2 2 2 2 и и и и t j t j t j T T T E T j j E e j E dt e E dt e t s S и T и T и T и T В состав импульсного колебания могут входить гармоники с любыми частотами. 14 Найдем связь спектра импульсного колебания (одиночного импульса) и спектра периодической последовательности таких импульсов. Для этого сопоставим выражения (2) и (4) dt e t s T A t jk k ) ( 2 (2) dt e t s S t j ) ( ) ( (4) Можно сказать ) 2 ( 2 T k S T A k (8) ) 2 ( 2 T k S T A k (9) ) 2 ( 1 2 T k S T A k (10) Из выражения (10) следует, что модуль спектральной характеристики одиночного импульса и огибающая дискретного амплитудного спектра периодической последовательности этих импульсов, совпадают по форме и отличаются лишь масштабным коэффициентом Т. Проверим это на примере последовательности прямоугольных импульсов. Пример 2 2 sin ) ( и и T T Tи E S T T k T T k T ETи A и и k sin 2 §6. Свойства преобразования Фурье. Свойства 1. Спектр суммы колебаний равен сумме спектров этих колебаний. Замечание под словом спектр мы понимаем спектральную характеристику. 0 15 ) ( ) ( t s t s i i ; ) ( ) ( i i S t s i i i i S t s ) ( ) ( 2. Спектр производной импульса ) ( ) ( S t s ; ) ( ) ( ' S j t s 3. Спектр интеграла ) ( 1 ) ( S j dt t s t 4. Спектр сдвинутого во времени импульса ) ( ) ( S e t s j 5. Сдвиг спектра по частоте ) ( ) ( 0 Сдвинутому по частоте спектру соответствует новый сигнал. 6. Изменение масштаба времени (сжатие – растяжение) Растяжение сигнала во времени приводит к сжатию его спектра во столько же раз. 7. Спектр произведения двух импульсов равен взятой с коэффициентом 1/2π свертке спектров этих колебаний. ) ( ) ( 1 1 S t s , ) ( ) ( 2 2 S t s dx x S x S S S t S t S ) ( ) ( 2 1 ) ( ) ( 2 1 ) ( ) ( 1 2 2 1 2 1 8. Спектр свертки двух импульсов равен произведению спектров этих импульсов. ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 2 1 S S t S t S , где dx x t S x S t S t S ) ( ) ( ) ( ) ( 1 2 2 1 §7. Распределение энергии в спектре импульсного колебания. Если импульс s(t) представляет собой электрическое колебание, то энергия, выделяемая этим колебанием на сопротивлении в 1 Ом, равна Воспользуемся м свойством преобразования Фурье dx x S x S dt e t s t s t j ) ( ) ( 2 1 ) ( ) ( 1 2 2 Допустим что ) ( ) ( ) ( 2 1 t s t s t s 16 Пусть ω=0. dx x S dt t s 2 2 ) ( 2 1 ) ( d S W S ) ( 2 1 2 , где S 2 (ω)– спектральная плотность энергии импульса, она характеризует распределение энергии импульса по частоте. 0 2 ) ( 1 d S W S 0 2 ) ( 2 df f S W S §8. Соотношение между длительностью импульса и шириной его спектра. Это соотношение определяется м свойством преобразования Фурье Чем протяженнее сигнал во времени, тем менее протяжен его спектр. Однако само понятие протяженность сигнала во времени (длительность импульса) и протяженность спектра по частоте ширина спектра) нуждается в уточнении. Начнем с длительности импульса. Есть импульсы (а) (например прямоугольный, треугольный, у которых эти понятия определены. Но есть и такие (б, для которых это понятие не определено. Чтобы получить единообразие в определении длительности импульсов используют энергетический метод, где вводят понятие активной длительности импульса ∆t a. ∆t a – это интервал времени, в котором содержится бóльшая (основная) часть энергии импульса, например, 90%. Если сигнал (импульс) начинается с нуля, то есть s(t)=0, t<0, то 0 2 ) ( dt t s W S S t W dt t s a 9 , 0 ) ( 0 а) б) 17 Пример найти активную длительность прямоугольного импульса. Tи E dt E dt t s W и T S 2 0 2 и и 2 9 и 0 Вводится также понятие активной ширины спектра импульса а – интервал частот, в котором содержится основная или большая часть энергии импульса, например, 90% s W d S a 9 , 0 ) ( 1 ] [ 0 Если вычислить активную длительность импульса ∆t и а для импульсов различной формы, то выяснится общее для всех импульсов правило Как бы мы не изменяли форму импульса, всегда [∆f а a ≥μ, где μ – некоторая постоянная. а Примеры вычисления спектральной характеристики некоторых импульсных сигналов) Ранее получено 2 2 sin ) ( и и T T Tи E S , 18 2) 2 2 2 sin ) ( и T j и и e T T Tи E S 3. 0 , 0 , 0 ) ( t Ee t t S t j E dt e E e t s S t j t j 0 ) ( ) ( ) ( , 2 2 ) ( E S 19 4. ) ( ) ( S t s ) ( ) ( ) ( ' 2 1 t s t s t s ) ( ) ( 1 1 S t s ) ( ) ( 2 2 S t s ) ( ) ( ) ( ) ( ' 2 пр 1 4 4 sin 2 2 ) ( и T j и и e T T Tи Tи E S 4 2 4 4 sin 2 2 ) ( и T j и и e T T Tи Tи E S 4 sin 2 4 4 sin 4 4 sin 2 2 4 4 sin 2 2 ) ( ) ( ) ( 4 2 1 и и и T j и и и и пр T j T T E e T T Tи Tи E T T Tи Tи E S S S и ) ( 4 4 sin 2 ) ( 1 ) ( 2 S T T ET S j S и и и пр ) ( S 2 и ET 20 и Т 8 и Т 4 0 и Т 4 и Т 8 5. Функция Дирака ( δ – импульс) Свойства импульса а) б) 2 1 dt t dt t j t j t j e dt t e dt e t S ) ( ) ( ) ( , где ε – бесконечная малая величина. Найдем обратное преобразование Фурье d e e t t j j 2 1 d e t t j ) ( 2 1 d e t t j 2 1 6. Единичный скачок или функция Хевисайда. t t t t , 1 , 2 1 , 0 1 t dt t t 1 ) ( S ) ( 0 1 0 t s(t) 0 t s(t) 0 1 2 1 21 t dt d t 1 j e j t 1 1 1 ) ( S 7. Гармоническое колебание. ) cos( ) ( 0 0 t U t s m ; ) ( ) ( 2 2 ) cos( ) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 ) ( ) ( 0 0 j m j m t j j m t j j m t j m e U e U dt e e U dt e e U dt e t U S §9. Корреляционный анализ импульсного колебания. Кроме спектрального анализа в радиотехнике широко используется корреляционный анализ. Введем понятие автокорреляционной функции импульсного колебания s(t) – АКФ, которая характеризует связь этого сигнала сего копией, сдвинутой на время τ, s(t-τ). Обозначается функция K S (τ). Свойства АКФ: 1. ) ( ) ( S S K K ; 2. dt t s W W K S S S ) ( ; max ) 0 ( 2 - энергия, выделяемая импульсом ) (t s на Ом 3. Пример № 1: ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 и и T s T T E Tи E dt E K и 2) ) 1 ( ) ( 2 0 2 и и T s T T E dt E K и 0 ) ( S 0 ) ( 0 m U ) ( 0 m U 0 0 2 k A 0 2 m U 0 0 2 m U t s(t) 0 Е и T Е) S(w) 22 и. Связь АКФ импульса сего спектральной характеристикой. Воспользуемся свойством преобразования Фурье. dx x S x S dt e t s t s t j ) ( ) ( 2 1 ) ( ) ( 2 1 2 Пусть 0 , ) ( ) ( 1 t s t s , ) ( ) ( 2 t s t s ; ) ( ) ( 1 x S t s ; jx e x S t s ) ( ) ( 2 ; dx e x S dt t s t s jx ) ( 2 1 ) ( ) ( 2 dx e x S K jx s ) ( 2 1 ) ( 2 или d e S K j s ) ( 2 1 ) ( 2 2 2 ) ( ) ( S S – спектральная плотность энергии импульса t t ) (t s ) ( t s ) ( S K и T E 2 и T E 2 и T E 2 2 T и T и Пример №2: t ) ( t s 0 Е и T E 2 0 ) ( s K и T и T 0 и) 23 На основании свойств преобразований Фурье можно утверждать, что чем протяженнее спектр импульса, тем менее протяженна АКФ, и наоборот. |