РТЦиС_Лекции_Часть_1_(Раздел_1). Конспект лекций по дисциплине Радиотехнические цепи и сигналы. Часть 1
 Скачать 1.46 Mb.
|
|
§23. Восстановление аналогового сигнала по его дискретным отсчетам. Теорема Котельникова В.А. Допустим, что дискретный сигнал s T (t) получен путем временной дискретизации аналогового сигнала s(t) , спектр которого ограничен частотой Интервал дискретизации выбираем из условия При этом, как показано в предыдущем параграфе, возможно полное восстановление аналогового сигнала из дискретного с помощью идеального фильтра нижних частот, передаточная функция которого имеет вид 43 Импульсная характеристика такого фильтра Рис. 6. Заметим, что физическая реализация фильтра с такой импульсной характеристикой невозможна, так как реакция на - импульс, поданный на фильтр в момент времени t=0 , не может начаться ранее этого момента. Тем не менее, найдем реакцию идеального ФНЧ на дискретный сигнал, используя полученное ранее соотношение 44 Рис. 7. Из рисунка 7 следует что Используя свойства преобразования Фурье, запишем Отсюда, учитывая, что и получаем Полученное выражение (10), называемое рядом Котельникова В.А., представляет собой разложение аналогового сигнала s(t) по системе ортогональных функций Эти функции называются функциями отсчетов. Коэффициенты разложения в ряде Котельникова В.А. являются отсчетами аналогового сигнала Т , взятыми через интервал T= Из выражения (10) следует, что для восстановления аналогового сигнала s(t) по его отсчетам Т необходимо каждый отсчет умножить на соответствующую функцию отсчетов , а результаты перемножений сложить. 45 Заметим, что функции отсчетов по форме совпадают с импульсной характеристикой идеального ФНЧ и отличаются друг от друга лишь сдвигом во времени на величину, кратную Т. Результаты полученные в этом и предыдущих параграфах, позволяют сформулировать теорему отсчетов во временной области (теорему Котельникова В.А.): 1) Аналоговый сигнал s(t), спектр которого ограничен частотой ω c =2 π f c, полностью определяется своими отсчетами Т, взятыми через интервал 2) Значения аналогового сигнала s(t) в любой момент времени могут быть найдены по его дискретным отсчетам Т с помощью ряда Котельникова В.А. Примечания 1) Теорему Котельникова В.А. можно применять лишь для сигналов s(t), обладающих ограниченным спектром, те. для сигналов, бесконечно протяженных во времени. Все реальные сигналы имеют ограниченную длительность, те. имеют бесконечно протяженный спектр. 2) Реализация идеального фильтра нижних частот, необходимого для восстановления аналогового сигнала из дискретного, физически невозможна. 3) Математическая модель дискретного сигнала в виде последовательности - импульсов также физически не реализуема, и сигнал на выходе реального временного дискретизатора представляют собой последовательность импульсов конечной длительности. Отсюда следует, что восстановление аналогового сигнала по его дискретным отсчетам в соответствии с теорией Котельникова В.А. на практике сопровождается неминуемыми искажениями. На практике при расчетах в качестве длительности сигнала и ширины его спектра обычно выбирают активную длительность и активную ширину спектра сигнала, которые, как известно, соответствуют интервалам, где заключена бóльшая часть (90%) энергии сигнала. Тогда число отсчетов аналогового сигнала s(t) , необходимых для его восстановления, можно записать в виде где Т с – активная длительность сигнала с – активная ширина спектра сигнала Это число N является конечными определяется так называемой базой сигнала В = с Т с . Для простых сигналов база В 1, для сложных сигналов – В. Рассмотрим пример восстановления прямоугольного видеоимпульса длительностью Т с по его отсчетам, приняв активную ширину спектра с Т с . Тогда необходимое число отсчетов N=3, 46 Рис. 8. В соответствии с теоремой Котельникова В.А.: На рисунке 9 показан результат восстановления прямоугольного видеоимпульса потрем его отсчетам при использовании идеального фильтра нижних частот. Отклик на первый отсчет Отклик на второй отсчет Отклик на третий отсчет Суммарный отклик идеального фильтра нижних частот. 47 Рис. 9. Как видим, восстановленный сигнал существенно отличается от исходного. При использовании для восстановления реального ФНЧ и реальных отсчетных импульсов искажения будут еще больше. Единственным средством их уменьшения может быть лишь увеличение числа отсчетов N. Однако это существенно усложнит процедуру дискретизации и последующего восстановления сигнала. |