Начертательная геометрия. Конспект лекций по курсу нгииг л. В. Белозерцева, А. Г. Коробова, М. Н. Потапова

• Название: Конспект лекций по курсу нгииг л. В. Белозерцева, А. Г. Коробова, М. Н. Потапова
• Анкор: Начертательная геометрия
• Дата: 29.03.2023
• Размер: 1.12 Mb.
• Имя файла: 310.doc
• Тип: Конспект лекций; #1024690
• страница: 4 из 4

8.2.1. Линейчатые поверхности

Поверхность называется линейчатой, если она образована движением прямой линии по какому - нибудь закону. Закон ее движения обычно задается направляющими. В общем случае линейчатая поверхность может быть получена движением прямой линии по трем направляющим.

Коническая поверхность образуется перемещением прямой 1 (образующей) по кривой направляющей m и, проходящей через фиксированную точку S (вершину).  (1,m,S); (lim, Sli),(Рис.8.6.) Точка М, принадлежащая поверхности конуса, принадлежит образующей 1.

Ц илиндрическая поверхность  (рис.8.9.) образуется перемеще-нием прямой образую-щей 1 по кривой направляющей m. При этом образующие параллель-ны заданному направле-нию s Цилиндрическую поверхность можно рассматривать как частный случай кони-ческой поверхности с бесконечно удаленной вершиной s.

 (1, m, s); (li  m, li // s ).

Точка М, принадлежащая цилиндру, принадлежит образующей 1.

На комплексном чертеже коническая и цилиндрическая поверхности могут быть заданы проекциями направляющей m и вершины S в случае конической поверхности (рис.8.7.) или проекциями направляющей m и направления s образующей в случае цилиндрической поверхности (рис.8.10). Обычно при задании конической или цилиндрической поверхности в качестве направляющей выбирается, какая - нибудь линия уровня, например горизонталь h.

Для увеличения наглядности изображения конической и цилиндрической поверхностей на комп-лексном чертеже, помимо элементов, определяющих эти поверхности., дополнительно строят их очерки. Н
Рис.8.9.
а рис.8.8 и 8.11. показано построение очерков (горизонтального и фронтального ) конической и цилиндрической поверхностей, точками 1 и 2 обозначены концы очерковых образующих в горизонтальной проекции, а 3 и 4 - концы очерковых образующих во фронтальной проекции.




Рис.8.8.


Рис.8.7.





Рис.8.9.

П ри этом горизонтальные проекции точек 1 и 2 являются точками касания к проекции hi направляющей h очерковых образующих, а проекции 3 и 4 являются точками касания к h₁ линий связи. Этими очерковыми образующими определяются на плоскостях проекций области, внутри которых могут находиться проекции точек данных поверхностей, а также производится разграничение проекций поверхностей на видимую и невидимую части на каждой из плоскостей проекций.

Е
Рис.8.10.

Рис.8.11.

Рис.8.12.
сли направляющей является ломаная линия, то получим частные случаи конической и цилиндрической поверхности - пирамидальную и призматическую поверхности.

8.2.2. Поверхности вращения

Поверхности вращения создаются при вращении прямолинейной или криволинейной образующей m вокруг неподвижной оси 1. (Рис.8.13.а.)

Благодаря простоте формирования этих поверхностей они получили широкое применение в технике. Геометрическая часть определителя поверхности вращения состоит всего из двух линий: образующей m и оси i.

Алгоритмическая часть определителя включает так же две операции:

1) на образующей m выделяют ряд точек А, В, С ... К.

2) каждую точку вращают вокруг оси i.

Т ак создается каркас поверхности, состоящий из множества окружностей, плоскости которых распологаются перпендикулярно оси i. Эти окружности называются параллелями. Наименьшая параллель называется горлом, наиболъшая экватором. Линии, полученные в сечении поверхности плоскостями, проходящими через ось, называются меридианами. Плоскость, перпендикулярная оси вращения пересекает поверхность по окружности - параллели.


Рис.8.13.

На чертеже ось поверхности вращения располагают перпендикулярноодной из плоскостей проекций. Так на рис.8.13. ось i  H.

На плоскость Н в этом случае проецируются все параллели, а на плоскость V - два меридиана, которые определяют фронтальный очерк. Меридиан, расположенный в плоскости, параллельной V называют главным. Для того чтобы найти горизонтальную проекцию произвольной точки М, принадлежащей поверхности вращения, проводят через М фронтальную проекцию параллели. Затем, простроив проекцию этой параллели на плоскости Н, определяют М.

1. Сфера. Образуется вращением окружности вокруг оси, проходящей через центр сферы. При сжатии или растяжении сферы она преобразуется в эллипсоиды, которые могут быть образованы и при вращении эллипса вокруг одной из его осей. Если осью вращения является большая ось эллипса, эллипсоид называется вытянутым, а если меньшая то сжатым (Рис.8.14.)



Рис.8.14.

2. Тор. Поверхность тора формируется при вращении окружности вокруг оси, не проходящей через центр, Рис.8.21.
Р азличают;

а) открытый тор (рис.8.16,а), б) замкнутый (рис.8.16.б.),

в) самопересекающейся

(рис.8.16,в.).

О тсеки тора, обра-зованные вращением дуги окружности называются глобоидами. Рис.8.17.


Рис.8.15.

Рис.8.16.



Рис.8.17.
При вращении вокруг оси прямой линии образуется цилиндрическая поверхность вращения (образующая параллельна оси вращения) и коническая поверхность вращения (образующая пересекает ось вращения) (рис. 8.18., 8.19.)


Рис.8.18.

Рис.8.19.

9. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ

9.1. Алгоритм решения задач на пересечение поверхностей

Пересечением поверхностей называется кривая, точки которой принадлежат одновременно обеим поверхностям.

В начертательной геометрии линию пересечения двух поверхностей находят с помощью приема, которым называется способом вспомогательных секущих поверхностей.

Этот способ заключается в следующем,

Пусть надо построить линию пересечения двух поверхностей Ф₁ и Ф₂. Выбирается третья поверхность Ф. Затем находится линия пересечения поверхностей Ф и Ф₁, Ф и Ф₂. Вид и расположение поверхности Ф относительно данных поверхностей должны быть выбраны так, чтобы в пересечении получились простые по форме линии (прямая или окружность), чтобы проекции этих линий было легко построить. Последовательность действий можно представить алгоритмом:

1)Выбор вспомогательной секущей поверхности Ф;

2)ФФ₁= m₁, ФФ2 = m_2;

3)m₁m₂ = M, m₁m2 = N...

Полученные точки М, N и т.д. принадлежат обеим поверхностям одновременно, следовательно, принадлежат искомой линии пересечения.



9 .2. Метод секущих плоскостей

При построении линии пересечения двух поверхностей методом секущих плоскостей в качестве вспомогательной секу-щей поверхности выбирается плоскость. Вспомогательная плоскость выбирается таким образом, чтобы она пересекала данные поверхности по прямым или окружностям. Алгоритм в этом случае будет следующим:

1
Рис.9.2.
) Выбор вспомогательной плоскости ;

2) Находим линии пересечения Ф₁ =m₁, Ф₂=m₂;

3) m₁m₂ = A, m₁m₂ = В, … и т. д. (Рис.9.2.)

9.2.1. Применение метода секущих плоскостей при

решении задач

На рис.9.3. даны конус и полусфера.

В данном случае в качестве вспомогательных секущих плоскостей необходимо выбрать плоскости, параллельные горизонтальной плоскости проекций, так как такие плоскости пересекают конус и полусферу по окружностям.

Ч
Рис.9.3.
тобы начать построение линии пересечения необходимо начать построение линии пере-сечения необходимо найти опор-ные точки: самую высокую и самую низкую в данном случае. В других случаях это может быть самая левая или самая правая точки. Пересечем обе поверхности плоскостью V и проходящей через оси вращения поверхностей. В результате получим линии пересечения, которые являются фронтальными очерками данных поверхностей. Точка пересечения очерков 1 является точкой, принадлежащей линии пересечения.

Так как основания обеих поверхностей лежат в одной плоскости, то точки пересечения окружностей 2 и 3 также являются общими точками для данных поверхностей.

Точки 1,2,3 являются опорными, точка 1 - самая высокая, точки 2, 3- самые низкие. Теперь обе поверхности пересечем плоскостью , расположенной ниже точки 1 и выше точек 2 и 3. Эта плоскость  пересечет обе поверхности по окружностям n₂ и m₂ найдем точки пересечения полученных окружностей n₂m₂ = 4, :n₂  m₂ = 5.

Точки 4,5 принадлежат линии пересечения конуса и полусферы. Повторив это действие, необходимое число раз, построим линию пересечения данных поверхностей.

9.3. Метод концентрических сфер

В этом случае в качестве вспомогательных секущих поверхностей выбираются концентрические сферы.

Применение этого метода основано на следующем свойстве: Две поверхности вращения, имеющие общую ось (соосные поверхности), пересекаются по окружностям. Действительно, кривая m образует поверхность вращения с осью вращения i, кривая n образует вторую поверхность вращения с той же осью i. Если mn = А, то точка А опишет окружность, которая является общей для обеих поверхностей, следовательно, является линией их пересечения. (Рис.9.4.)

Если ось i перпендикулярна плоскости Н, то окружность, описываемая точкой А, проецируется на фронтальную плоскость проекций в отрезок, а на горизонтальную плоскость в окружность.

Из сказанного можно сделать следующие выводы:

1. Для того, чтобы вспомогательная секущая сфера пересекала по окружностям две заданные поверхности вращения, центр сферы должен лежать в точке пересечения осей этих поверхностей.

2. Если оси заданных поверхностей вращения параллельны плоскости проекций, то окружности пересечения вспомогательной секущей сферы с этими поверхностями проецируется на эту плоскость в отрезки.
Теперь можно сформулировать условия, необходимые для применения метода концентрических секущих сфер:

1. Данные поверхности должны быть поверхностями вращения;

2. Оси вращении данных поверхностей должны пересекаться;

3. Плоскость, проходящая через оси вращения данных поверхностей, должна быть параллельна какой - нибудь плоскости проекций.

Построение линии пересечения начинается с построения опорных точек (Рис.9.5.). Чтобы построить опорные точки надо построить сферу минимального радиуса. Сфера минимального радиуса вписана в одну поверхность и пересекает вторую.

Общие точки С и Д окружности касания с конусом и окружности пересечения с цилиндром являются опорными точками. К опорным точкам относятся также точки пересечения фронтальных очерков данных поверхностей. Отрезок OF где f наиболее удаленная от точки О точка пересечения очерков данных поверхностей определяет сферу максимального радиуса.

Для построения промежуточных точек необходимо выбрать сферу радиуса R, где R_min< R< R_max.

1. Для этого из центра О= i₂  i₁ нужно провести окружность произвольного радиуса, являющейся проекцией сферы.

2. Построим линию пересечения сферы с конусом. Это будет окружность, которая на фронтальную плоскость проекций проецируется в отрезок. Затем построим линию пересечения сферы с цилиндром. Это тоже окружность, которая тоже проецируется в отрезок, точки пересечения А и В данных окружностей являются точками пересечения цилиндра и конуса. Для построения других промежуточных точек нужно из точки О описать ряд концентрических окружностей и проделать те же построения.




9.4. Метод эксцентрических сфер

Рассмотрим пересечение конуса и тора (рис.9.6.). Ось конуса параллельна V, а ось вращения тора j перпендикулярна V. Ocь конуса i и круговая ось тора q лежат в общей плоскости симметрии , параллельной плоскости V. По отношению к плоскости V плоскость  является главной меридиональной плоскостью Поэтому плоскость  пересекает конус по образующим, а тор - по двум дугам окружности. Оба сечения проецируются на плоскости V очерковыми линиями проекций тора и конуса. Очерковые линии пересекаются в точках 1 и 2, которые являются проекциями точек 1 и 2, принадлежащими линии l пересечения рассматриваемых поверхностей. Эти точки являются опорными. Проведем через ось тора j плоскость Г. Плоскость Г пересечет тор по окружности р, а его круговую ось - в точке С. Окружность р проецируется на плоскость V отрезком р , равным ее диаметру.


Рис.9.6.

Определим точки 3 и 4 пересечения окружности р с поверхностью конуса. Для этого заключим окружность р в вспомогательную сферу. Центр сферы должен находиться на оси конуса. Только в этом случае сфера пересечет конус по окружности, по тому проекцию центра сферы О найдем как точку пересечения касательной СО к центровой окружности тора с осью конуса. Радиус сферы равен R. Сфера пересечет конус по окружности р_ь Окружность кольца р и окружность p₁ конуса располагаются на одной сфере и, следовательно, пересекается в точках 3 и 4, принадлежащих искомой линии пересечения конуса и тора.



Другие точки, принадлежащие пересечению конуса с тором, строятся по только что рассмотренному алгоритму с помощью других радиальных плоскостей.

9.5. Особые случаи пересечения двух поверхностей 2-го

порядка

Теорема 1. Если две поверхности 2-го порядка пересекаются по одной плоской кривой, которая тоже будет плоская. (Рис.9.7.)

Теорема 2. Если две поверхности 2-го порядка имеют две точки соприкосновения, то линия их пересечения распадается на две кривые 2-го порядка, плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки касания. (Рис.9.8.)


Рис.9.7.

Рис.9.8.
Теорема 3. Если две поверхности 2-го порядка описаны около третьей поверхности 2-го порядка или вписаны в нее, то они пересекаются по двум плоским кривым, плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки пересечения линий прикосновения. Эта теорема носит название теоремы Монжа. (Рис.9.9.).

И ллюстрацией к теореме 1 является рис.9.7, на котором изображено пересечение эллиптического цилиндра и конуса, имеющих общую окружность основания, Вторая кривая их взаимного пересечения также плоская, которая расположена в плоскости перпендикулярной V.

Иллюстрацией к теореме 2 является рис,9,8., на котором цилиндрическая поверхность соприкасается в точках А и В с эллиптическим цилиндром. В соответствии с теоремой линия пересечения поверхностей распа-дается на две плоские кривые (эллипсы), плоскости которых будут перпендикулярны V. Фронтальные проекции эллипсов проходят через точки пересечения проекций очерков поверхностей и через проекцию точек соприкосновения А =В. Горизонтальные проекции эллипсов могут быть построены как плоские сечения конической или цилиндрической поверхности

На рис.9.9. показано пересечение цилиндра и конуса по плоским кривым. Обе поверхности описаны около одной сферы и пересекаются по двум эллипсам, плоскости которых перпендикулярны V.

9.6. Построение линии пересечения поверхностей, когда

одна проецирующая

Поверхности цилиндра и призмы иногда могут располагаться по отношению к плоскостям проекций таким образом, что образующие цилиндра или боковые ребра и боковые грани призмы окажутся перпендикулярными какой — то плоскости проекций. Такое положение поверхности называется проецирующим. Проекцией такой поверхности является окружность, если это цилиндр, или многоугольник, если это призма. В таком случае построение линии пересечения поверхностей упрощается.

Рассмотрим пример: необходимо построить линию пересечения двух цилиндров, один из которых расположен вертикально. Образующие такого цилиндра перпендикулярны плоскости Н. Второй полуцилиндр расположен таким образом, что образующие этого полуцилиндра перпендикулярны плоскости W. (Рис.9.10.)

П ри таком расположении цилиндров горизонтальная проекция линии пересечения совпадает с окружностью - горизонтальной проекции цилиндра с вертикальной осью, а профильная проекция линии пересечения совпадает с полуокружностью профильной проекцией полуцилиндра с горизонтальной осью. Это выполняется потому что вертикальный цилиндр занимает горизонтально - проецирующее положение, а полуцилиндр - профильно проецирующее положение. Построение фронтальной проекции линии пересечения осуществляется по правилам построения третьей проекции точки, если известны две ее другие проекции.

Рассмотрим еще один пример: построим линию пересечения конуса с цилиндром. Цилиндр занимает горизонтально – проецирующее положение, следовательно, горизонтальной проекцией цилиндра является окружность, горизонтальная проекция линии пересечения цилиндра и конуса совпадает с горизонтальной проекцией цилиндра, т.е. окружностью. Чтобы построить фронтальную проекцию линии пересечения необходимо выбрать точки на окружности. Сначала выбираем характерные точки линии пресечения. Это точки 1,2,3,4,5,6, Точки 1,6 являются крайними. Отмечают их горизонтальные проекции 1,6. Так как это точки лини пересечения поверхностей, то они одновременно принадлежат цилиндру и конусу. Точки 1,6 принадлежат окружности основания конуса.

И спользуя эту принад-лежность, находим фронтальные проекции точек 16. Точка 3 так же является характерной, так как она принадлежит плоскости , проходящей через оси вращения данных поверхностей. В этой плоскости находятся самая вы-сокая и самая низкая точка линии пересечения. Точка 3 находится на окружности, принадлежащей конусу. Эта окружность на горизонтальную плоскость проекции проецируется в натуральную величину а на фрон-тальную плоскость - в отрезок. Выбрав горизонтальную проек-цию 3, проводим окружность, находим фронтальную проекцию этой окружности, на ней находим точку 3. (Нахождение фрон-тальной проекции окружности видно из рис.9.11.). Точка 2 - самая дальняя, 4 - самая правая, 5 - самая близкая. Построив харак-терные точки, проекцию линии пересечения построить еще сложно, можно выбрать промежуточные (например: 4₁), и осуществить точно такие построения.

В других случаях построение осуществляется аналогично. Одна проекция линии совпадает с проекцией проецирующей поверхности, а для построения f второй проекции линии пересечения надо использовать принадлежность линии второй поверхности.

Чтобы построить точку, принадлежащую поверхности, надо через данную точку провести линию, принадлежащую данной поверхности. Это может быть образующие, или окружности в зависимости от поверхности.

Р
Рис.9.13.
ис.9.12.

Рис.9.14.

9.7. Пересечение поверхности плоскостью

9.7.1. Конические сечения

(сечения прямого кругового конуса плоскостью)

Если секущая плоскость не параллельна ни одной из образующих конуса, то в сечении получается эллипс.

Если секущая плоскость параллельна одной образующей, то в сечении будет парабола.

Если пересечь конус плоскостью, параллельной двум его образующим, то в сечении получится гипербола.

П ризнаки, по которым можно определить вид кривой, даны на рис.9.15.

1) > - эллипс

1) = - парабола

2) < – гипербола

 = 0 гипербола (рис.9.15).

Д
Рис.9.15.
ругие случаи пересечения конуса с плоскостью можно увидеть на рис.9.16.

Р
Рис.9.16.
ассмотрим построение линии пересечения конуса вращения фронтально - проецирующей плоскостью Q (рис.9.17.). В сечении получим эллипс. Так как плоскость Q перпендикулярна плоскости V, то эллипс на фронтальную плоскость проекций проецируется в отрезок КР. Этот отрезок является большой осью эллипса, а малая ось эллипса проецируется в середину отрезка КР - в точку Е.
Д
Рис.9.17.
ля построения горизонтальной проекции эллипса необходимо на заданном отрезке выбрать несколько точек и провести через них образующие или параллели конуса. Затем построить горизонтальные проекции образующих и параллелей. Используя принадлежность точек соответствующим образующим или параллелям, построить горизонтальную проекцию эллипса.

Используя те же принципы, можно построить проекции линии пересечения в остальных случаях.

Конус пересечен горизонтально- проецирующей плоскостью S. В сечении получим гиперболу. Так как горизонтальная проекция плоскости S совпадает с горизонтальным следом, то горизонтальной проекцией гиперболы является отрезок ВА.

Чтобы построить фронтальную проекцию гиперболы на данном отрезке необходимо выбрать несколько точек и построить их фронтальные проекции. Для этого на отрезке АВ выберем несколько точек, через которые проведем образующие или параллели конуса. Построив фронтальные проекции выбранных образующих или параллелей конуса, построим фронтальные проекции выбранных точек (например: F и G).




Обязательно надо построить самую высокую точку С. Она лежит в плоскости TS. На горизонтальной проекции имеем С=S_h T_H.

Чтобы построить С, надо построить фронтальную проекцию образующей SK. Это будет прямая SК. На ней получим точку С. Аналогичным способом строим точку D. Берем D на образующей SN, строим SN, затем точку D. Эту точку нужно строить обязательно, так как в этой точке происходит переход с видимой на невидимую сторону поверхности (рис.9.18.),



Рис.9.18

9.7.2. Сечение сферы

плоскостью частного положения

Сфера пересечена фронтально- прое-цирующей плоскостью (рис.9.19.)

О
Рис.9.19.
кружность, по которой плоскость  пересекает сферу, на плоскость Н проецируется в эллипс. На фронтальную плоскость проекций эта окружность проецируется в отрезок 12, лежащей на следе _v. Строим точки 1 и 2, это горизонтальные проекции самой высокой и самой низкой точками сечения. Большая ось эллипса на горизонтальной плоскости проекций определяется точками 5 и 6, которые получаются при пересечении плоскости Т, проходящей через центр сферы, перпендикулярной плоскости .

Для построения горизонтальных проекций точек воспользуемся параллелями сферы, проходящими через выбранные точки. Обязательно нужно выбрать точки 3 и 4, лежащие на экваторе, так как являются точками перехода с видимой на невидимую сторону поверхности (рис.9.19.).

10. РАЗВЕРТКИ

При изучении построения разверток поверхности рассматривают как гибкую нерастяжимую пленку. Некоторые поверхности при изгибании можно совместить с плоскостью без разрывов и склеивания. Такие поверхности называют развертывающимися, а полученную плоскую фигуру - разверткой. Поверхности, которые нельзя совместить с плоскостью, относятся к неразвертываемым.

Построение разверток имеет большое практическое применение, так как позволяет изготавливать разнообразные изделия из листового материала путем его изгибания.

10.1. Основные свойства разверток поверхностей

Каждой точке (фигуре) на поверхности соответствует точка (фигура) на развертке и наоборот.

На основании этого можно сформулировать следующие свойства:

1. Длины двух соответствующих линий поверхности и ее развертки равны между собой. Следствие: замкнутая линия на поверхности и соответствующая ей линия на развертке ограничивают одинаковую площадь.

2. Угол между линиями на поверхности равен углу между соответствующими им линиями на развертке.

3. Прямой на поверхности соответствуют прямая на развертке.

4. Параллельным прямым на поверхности соответствуют также параллельные на развертке

10.2. Развертка поверхности многогранников

Под разверткой многогранной поверхности подразумевают плоскую фигуру, составленную из граней этой поверхности, совмещенных с одной плоскостью.

Существуют три способа построения развертки многогранных поверхностей:

1) Способ треугольников (триангуляции);

2) Способ нормального сечения;

3) Способ раскатки.

10.2.1. Способ треугольников (триангуляции)

Этот способ применяется для построения развертки пирамидальных поверхностей. Сущность его: последовательное совмещение всех граней пирамиды (грани представляют собой треугольники) с плоскостью.

Пример: Построить развертку боковой поверхности пирамиды SABC.

Р азвертка боковой поверхности пирамиды представляет собой плоскую фигуру, состоящую из треугольников - граней пирамиды. Поэтому построение развертки поверхности пирамиды сводится к определению действительной величины ребер пирамиды и построению по трем сторонам треугольников - граней пирамиды (Рис.11.1.).

О
Рис.10.1.
пределение дейст-вительной длины ребер пирамиды выполнено с помощью вращения их вокруг оси i (iS и i  H). Путем вращения реб-ра пирамиды совме-щаются с плоскостью  (плоскость ||V и i). После того, как будут определены действительные вели-чины ребер [SA₂], [SB₂], [SC₂], прис-тупают к построению развертки. Дня этого из произвольной точ-ки S_o проводят произ-вольную прямую а. Откладывают на ней от точки S₀ [S_oA_o][SA₂]. Из точ-ки а_о проводят дугу радиусом r₁= |АВ, а из точки S_o - радиусом r_i =SB₂. Пересе-чение дуг укажет по-ложение вершины В_о треугольника S₀A₀B₀ (треугольник S_oA_oB_o = треугольник SAB - грани пирамиды). Аналогично находятся точки S_o и а_о. Соединив точки A_oB_oC_oA₀S_o, получим развертку поверхности пирамиды SABC.

10.2.2. Способ нормального сечения

Способ применяется для построения развертки призматических поверхностей при условии, если ребра призмы, параллельны какой -либо плоскости проекции. Если ребра занимают произвольное положение, то перед построением развертки следует преобразовать чертеж.

Пример: Построить развертку наклонной трехгранной призмы ABCDEF (рис.10.2.).

П ересечем призму ABCDEF плоскостью , пер-пендикулярной к боковым ребрам призмы. Построим се-чение заданной призмы этой плоскостью треугольника 123. Определяем дейст-вительную величину сторон треугольника 123. В произ-вольном месте чертежа проводим прямую а. От произвольной точки 1₀, взя-той на этой прямой, отк-ладываем отрезки [1_о2_о], [2_оЗ_о], [З_о1₀], конгруентные сторонам треугольника 123. Через точки 1₀2₀3_о1_о про-водим прямые, пер-пендикулярные к прямой а, и отк-ладываем на них от точек 1_о,2_о, З_о, 1_о от-резки, конгруентные соответствующим дей-ствительным вели-чинам отрезков боко-вых ребер ([1А], [1Д, [2В], [2Е], ... и т.д.). Полученные точки А₀В₀С_оА₀ и D₀E_oF_oD₀ соединяемы прямыми.

П
Рис.10.2.
лоская фигура A_oB_oC_oA_оD_oF_oT_oD_o представляет собой развертку боковой поверхности призмы.
Чтобы получить полную развертку призмы, необходимо к развертке боковой поверхности пристроить основания призмы треугольников А_оВ_оС_о и D_oE_oF_o, предварительно определив их действительную величину.

10.2.3. Способ раскатки

Этот способ используют для построения развертки призмы в том случае, если основание призмы параллельно какой- либо плоскости призмы, а ее ребра параллельны другой плоскости проекции.

П ример: Построить развертку боковой поверхности наклонной трехгранной призмы ABCDEF (Рис.10.3.).

П
Рис.10.3.
римем за плоскость развертки плоскость , проходящую через ребро AD, параллельную фронтальной плоскости проекции. Совместим грань ADEB с плоскостью . Для этого мысленно разрежем поверхность призмы по ребру AD, а затем осуществим поворот грани ADEB вокруг ребра AD (AD).

Для нахождения совмещенного с плоскостью  положения ребра В₀Е₀ из точки В проводим луч, перпендикулярный к AD, и засекаем на нем дугой радиуса АВ, проведенной из центра А, точку В₀. Через В₀ проводим прямую В_оЕ_о, параллельную (АD).

Принимаем совмещенное положение ребра В_оЕ_о за новую ось и вращаем вокруг нее грань BEFC до совмещения с плоскостью .

Для этого из точки С проводим луч, перпендикулярный к совмещенному ребру B₀E₀ а из точки В₀ - дугу окружности радиусом, равным ВС; пересечение дуги с лучом определит положение точки С_о.

Через С_о проводим C₀F₀ параллельно В₀Е₀. Аналогично находим положение ребра A₀D₀ Соединив точки AB_oC_oF_o DE₀F₀D₀ прямыми, получим фигуру AB_oC_oA_oD_oF_oE_oD - развертку боковой поверхности призмы.

Для получения полной развертки призмы, достаточно к какому - либо из звеньев ломаной линии АB_оС_оА_о и DE_oF_oD_o построить треугольники основания А_оВ_оС_о и D_oE_oF_o.

10.3. Построение разверток конических и

цилиндрических поверхностей

Д ля построения развертки конических и цилиндрических поверхностей применяют три описанных выше способа. При этом конические и цилиндрические поверхности заменяют (аппроксимируют) пирамидальными и призматическими поверхностями с произвольным числом граней. Очевидно, что чем больше граней, тем точнее развертка поверхности.

П
Рис.10.4.
рием аппроксимации конической поверхности пирамидальной показан на рис.10.4., цилиндрической на рис.10.5.


Рис.10.5.

ЛИТЕРАТУРА

1. Фролов С.А. Начертательная геометрия. - М.: Машиностроение, 1983.

2. Крылов Н.Н., Иконникова Г.С., Николаев Н.М., Лаврухина Н.М. Начертательная геометрия. - М.: Высшая школа, 1990

3. Гордон В.О., Семенов-Огневский М.А. Курс начертательной геометрии. - М.: "Наука" Главная редакция физико-математической литературы, 1988

4. Посвянский А.Д. Краткий курс начертательной геометрии. -М.: Высшая школа, 1974

5. Чекмарев А.А. Начертательная геометрия. - М.: Просвещение, 1987

6. Лагерь А.Н., Колесникова Э.А. Инженерная графика. - М.: Высшая школа, 1985

7. Тевлин A.M. Курс начертательной геометрии на базе ЭВМ. -М.: Высшая школа, 1983

8. Иванов Г.С. Начертательная геометрия. - М.: Машиностроение, 1995

9. Кузнецов Н.С. Начертательная геометрия. - М.: Высшая шко-ла,1981

10. Глоголовский В.В. Гринева Б.М., Гнатюк М.О. Начертательная геометрия на алгоритмической основе. - Львов.: Издательство при Львовском государственном университете издательского обьединения "Вища школа", 1978

11. Фролов С.А. Сборник задач по начертательной геометрии. -М.: Машиностроение, 1978

12. Четверухин Н.Ф. и др. Курс начертательной геометрии. - М.: Высшая школа, 1968

13. Русскевич Н.Л. Начертательная геометрия. - Киев.: Вища школа, 1970

14. Бубенников А.В., Громов М.Я. Начертательная геометрия. -М.: Машиностроение, 1973

СОДЕРЖАНИЕ

	Введение	3
1. 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 2. 3. 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 4. 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 5. 5.1. 5.2. 6. 6.1. 6.2.. 7. 7.1.. 7.2. 7.3. 7.4. 8. 8.1. 8.2. 9. 9.1. 9.2. 9.3. 9.4. 9.5. 9.6. 9.7. 10. 10.1 10.2. 10.3.	Методы проецирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Центральное проецирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Параллельное проецирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Основные инвариантные свойства параллельного проецирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Прямоугольное (ортогональное) проецирование. . . . . . . . Пространственная модель координатных плоскостей проекций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Плоскостная модель координатных плоскостей . . . . . . . . Ортогональные проекции точки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ортогональные проекции прямой. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Следы прямой. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Прямые частного положения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Взаимное положение прямых. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Определение натуральной величины отрезка методом прямоугольного треугольника. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ортогональные проекции плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . Способы задания плоскости на чертеже . . . . . . . . . . . . . . . Следы плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Плоскости частного положения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Линии уровня плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Взаимное положение прямой и плоскости, двух плоскостей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Построение линии пересечения двух плоскостей . . . . . . . Пересечение прямой линии с плоскостью . . . . . . . . . . . . . Методы преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Метод плоско- параллельного перемещения. . . . . . . . . . . Метод перемены плоскостей проекции . . . . . . . . . . . . . . . Кривые линии и их проекционные свойства . . . . . . . . . . . Основные понятия и определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Некоторые свойства проекций пространственных и плоских кривых. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Проекции плоских кривых. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Винтовые линии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Поверхности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Способы образования и задания поверхностей. Определитель поверхностей. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Классификация поверхностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Пересечение поверхностей. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Алгоритм решения задач на пересечение поверхностей . Метод секущих плоскостей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Метод концентрических сфер . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Метод эксцентрических сфер. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Особые случаи пересечения двух поверхностей . . . . . . . . Построение линии пересечения поверхностей, когда одна или обе проецирующие. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Пересечение поверхности плоскостью. . . . . . . . . . . . . . . . Развертки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Основные свойства разверток поверхностей. . . . . . . . . . . Развертка поверхности многогранников . . . . . . . . . . . . . . . Построение разверток конических и цилиндрических поверхностей. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Литература. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Содержание. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	5 5 6 6 7 8 9 10 12 12 13 16 17 19 19 19 20 23 24 24 28 32 33 36 40 40 41 42 44 46 46 48 56 56 57 58 61 62 63 71 71 71 75 77 78

Л.В. Белозерцева , А.Г. Коробова , М.Н. Потапова
НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Конспект лекций по курсу

«Начертательная геометрия и инженерная графика»

Редактор Л.М. Борискина

Художественый редактор Л.П. Токарева
Подписано в печать . . г. Формат 60х84/16.

Отпечатано на ризографе.

Уч.-изд. л. 5. Тираж экз. Цена руб. Заказ № .
Кемеровский технологический институт

пищевой промышленности.

650060, г. Кемерово, 60, б-р Строителей, 47.
Отпечатано в лаборатории множительной техники КемТИППа,

650010, г. Кемерово, 10, ул. Красноармейская, 52.