Шпаргалка по кинематике. Конспект лекций по теоретической механике р екомендуемая литература диевский В. А. Теоретическая механика Учебное пособие. Спб
 Скачать 4.07 Mb.
|
|
Тема: ПРОСТЕЙШИЕ ВИДЫ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА 2.1. П ОСТУПАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА Твердое тело состоит из бесконечного количества материальных точек, заполняющих некоторый объем без пустот. Если твердое тело движется, то вместе с ним движутся и все принадлежащие ему материальные точки. Уравнения движения твердого тела должны позволять в любой момент времени определить положение и кинематические характеристики любой его точки. Простейшими видами движения твердого тела являются поступатель- ное и вращательное движения. Поступательным движением называется движение, при котором любой отрезок принадлежащий телу перемещается, оставаясь парал- лельным своему первоначальному направлению. BA r B A r B r A BA r B A BA r B A x y z O Рис. 2.1 ТЕОРЕМА Все точки твердого тела, движущегося поступательно, описывают тожде- ственные, то есть совпадающие при наложении, траектории и в каждый мо- мент времени имеют одинаковые скорости и одинаковые ускорения. Доказательство Пусть тело движется поступательно. Выберем две точки А и В, проведя соответствующие радиус-векторы и . Покажем также вектор , проведенный из точки А в точку В. При поступательном движении вектор не изменяет направления и не меняет длины (тело абсолютно твердое), то есть 17 В этом случае траектория точки В получается сдвигом траектории точки А на вектор . Две траектории будут тождественны. Из рисунка видно, что Продифференцируем равенство: Так как , то То есть в любой момент времени скорости всех точек равны по величине и направлению. Дифференцируя равенство еще раз, получим, что . Ускорения всех точек тела также векторно равны. Теорема доказана. ВЫВОД: Поступательное движение твердого тела полностью определяется движе- нием какой-либо его точки, например центра тяжести. В этом случае имеют смысл выражения «скорость тела» или «ускорение тела». При других формах движения каждая точка тела имеет свою скорость и свое ускорение. 2.2. В РАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА Движение тела, при котором все точки тела, лежащие на некоторой пря- мой, остаются неподвижными, называется вращательным движением. При этом сама прямая называется осью вращения. Точки, не лежащие на оси, при движении описывают окружности в плос- костях, которые перпендикулярны к оси вращения. Проведем через ось вращения полуплоскость, которая в начальный мо- мент времени занимает положение П. В процессе вращения эта плоскость (рис. 2.2) будет поворачиваться на угол , который меняется в зависимости от времени: (2.1) Уравнение (2.1) называется уравнением вращательного движения твердого тела. Знак угла определяется по правилу правого винта. Угол измеряется в радианах, то есть Основные кинематические характеристики такого движения - угловая скорость и угловое ускорение. Угловой скоростью называется лежащий на оси вращения вектор , про- екция которого на эту ось равна производной по времени от угла поворота: (2.2) Эта проекция называется алгебраическим значением угловой скорости. Модуль угловой скорости равен , а его размерность 18 1 z Рис. 2.2 Рис. 2.3 При угол поворота увеличивается, а при уменьшает- ся. В технике угловую скорость часто измеряют в оборотах в минуту, обо- значая ее буквой «n». Связь между n и ω дается формулой: Угловым ускорением называется величина , равная производной по времени от угловой скорости: При этом проекция вектора углового ускорения на ось z будет равна (2.3) Она называется алгебраическим значением углового ускорения. Модуль углового ускорения равен . Его размерность Знаки углового ускорения и угловой скорости позволяют установить яв- ляется вращение замедленным или ускоренным (рис. 2.3). При вращение является ускоренным (направления векторов совпадают), а при – замедленным (направления векторов проти- воположны). Угловая скорость и угловое ускорение характеризуют вращение тела, как целого. Скорости и ускорения отдельных точек тела при этом будут от- личаться. 19 2.3. Р АВНОМЕРНОЕ И РАВНОПЕРЕМЕННОЕ ВРАЩЕНИЕ Равномерным называется такое вращение тела, при котором угловая ско- рость все время остается постоянной: . Тогда При равномерном вращении . Интегрируя это ра- венство, получим уравнение равномерного вращения: Это уравнение определяет величину угла поворота в любой момент вре- мени. Равнопеременным называется вращение тела, при котором величина уг- лового ускорения все время остается постоянной: Оно бывает равноускоренным или равнозамедленным. Дважды интегрируя равенство получим выражения для угловой скорости и угла поворота, то есть уравнения равнопеременного вращения: ; , где и − начальные значения угла поворота и угловой скорости. 2.4. С КОРОСТЬ ТОЧКИ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ТЕЛА Рассмотрим твердое тело, совершающее вращение вокруг оси z (рис. 2.4). Точки, лежащие на оси вращения, при этом будут находиться в непод- вижности. Любая точка М, не лежащая на оси вращения, будет двигаться по окруж- ности, которая лежит в плоскости, перпендикулярной к оси вращения z. z n a a v M Рис. 2.4 Рассмотрим, как найти скорость и ускорение точки М, которая удалена 20 от оси вращения на расстояние R, если для вращающегося тела известна уг- ловая скорость и угловое ускорение (рис. 2.4). Найдем скорость точки М Глядя навстречу оси вращения покажем траекторию точки М (рис. 2.5). R 1 O M s v z Рис. 2.5 За начало отсчета дуговой координаты s примем точку О, которая лежит в неподвижной полуплоскости П. Подвижную полуплоскость П 1 проведем че- рез точку М. Положительное направление отсчета дуговой координаты s пусть соот- ветствует правилу правого винта. Из геометрии известно соотношение между углом и длиной дуги: Дифференцируя его по времени, найдем скорость точки: Для модулей соответствующих скоростей получим: (2.4) Ясно, что модули скоростей точек пропорциональны их расстояниям до оси вращения, а коэффициентом пропорциональности является мо- дуль угловой скорости. 2.5. У СКОРЕНИЕ ТОЧКИ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ТЕЛА Определим ускорение точки М Из кинематики точки известно, что полное ускорение является вектор- ной суммой касательного и нормального ускорений (рис. 2.4): , где - касательное ускорение, которое при рассмотрении твердого тела называют вращательным ускорением, - нормальное ускорение, которое при рассмотрении твердого тела называют центростремительным или осестремительным ускорением. В ряде книг вместо применяются обозначения и 21 Найдем алгебраическое значение касательного ускорения: R. При этом модуль касательного ускорения: (2.5) Нормальное ускорение определяется по формуле: , Откуда R. (2.6) v v a a n a a a n a Рис. 2.6 2.6. С КОРОСТЬ И УСКОРЕНИЕ ТОЧКИ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ТЕЛА В ВЕКТОРНОЙ ФОРМЕ Формулы для определения скорости и ускорения точки вращающегося тела могут быть представлены в векторной форме. Выберем на оси вращения произвольную точку О (рис. 2.7). Положение произвольной точки М, которая при вращении тела описывает окружность радиусом R, укажем с помощью радиус-вектора , проведенного из точки О. z n a a v M O r Рис. 2.7 22 Рассмотрим вектор По модулю этот вектор равен скорости, так как Направление этого вектора тоже совпадает с направлением скорости. Поэтому справедливо равенство (2.9) Формула (2.9) известна как формула Эйлера, которая позволяет опреде- лить скорость произвольной точки вращающегося тела. Дифференцируя ее по времени найдем ускорение точки М: Видно, что первое слагаемое является касательным (вращательным) ус- корением: , (2.10) а второе представляет собой нормальное (центростремительное) ускорение: (2.11) Полное ускорение равняется их векторной сумме. 2.7. П РЕОБРАЗОВАНИЕ ФОРМ ДВИЖЕНИЯ В движущихся элементах машин часто происходят преобразования дви- жений: преобразование одного вращательного движения в другое, а также преобразование вращательного движения в поступательное (и наоборот). Преобразования эти происходят с помощью зубчатых или фрикционных передач (рис. 2.8,а, рис. 2.8,в) ременных или цепных передач (рис. 2.8,б) 1 2 R 1 R v 2 а 1 2 1 R 2 R v v б R v v в Рис. 2.8 23 Связи между скоростями двух различных движений называются кинема- тическими связями. Они устанавливаются из условия отсутствия проскальзывания между взаимодействующими телами, то есть из условия равенства скоростей двух тел в точке их соприкосновения. Так для рис. 2.8,а справедливым является соотношение (2.12) или , (2.13) которое получено из условия, что в точке соприкосновения (ско- рость точки первого тела равна скорости точки второго тела) . В соответствии с этим соотношением, угловые скорости обратно про- порциональны соответствующим радиусам. В случае зубчатой передачи, в которой зацепляются зубчатые колеса с числом зубьев , такое же по смыслу равенство можно записать в виде: Для передачи, показанной на рис. 2.8,в, имеем соотношение 2.8. М ЕХАНИЧЕСКИЕ АНАЛОГИИ Можно заметить, что формулы поступательного и вращательного движе- ний с точки зрения математики совпадают, отличаясь только набором вхо- дящих в них символов. Например, при замене кинематических характеристик поступательного движения на кинематические характеристики вращательного движения урав- нения поступательного движения автоматически превращаются в формулы вращательного движения. Убедимся в этом, составив следующую таблицу: 24 ТАБЛИЦА МЕХАНИЧЕСКИХ АНАЛОГИЙ Поступательное движение тела (движение материальной точки) Вращательное движение тела Уравнение поступательного дви- жения Уравнение вращательного движе- ния Модуль скорости Модуль угловой скорости Модуль касательного ускорения Модуль углового ускорения Равномерное движение , Равномерное вращение , Равнопеременное движение , , Равнопеременное вращение , , 25 3. Тема: ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА 3.1. З АДАНИЕ ПЛОСКОГО ДВИЖЕНИЯ Плоскопараллельным или плоским движением называется движение твердого тела, при котором его точки перемещаются в плоскостях, парал- лельных некоторой неподвижной плоскости. Установим способ задания плоского движения. Рассмотрим тело, совершающее плоское движение относительно непод- вижной плоскости Оху (рис.3.1). Выделим в теле два сечения: сечение S в плоскости Оху и сечение S’ в плоскости О’х’у’. Рассмотрим отрезок, соеди- няющий точки М и М', которые принадлежат соответственно сечениям S и S'. Пусть отрезок ММ' будет перпендикулярен к выбранным сечениям. В процессе движения точка М не будет выходить из плоскости Оху, а точка М' – из плоскости О’х’у’. Сам отрезок в любой момент времени будет параллельным оси z, и его движение, следовательно, является поступатель- ным. Отсюда следует, что все точки отрезка ММ' движутся совершенно одина- ково. Тогда для описания движения отрезка ММ' достаточно описать движе- ние только одной точки , например, точки М. Следовательно, для описания движения всего тела достаточно описать движение только одного сечения, например, сечения S. x y z O x y O S S M M Рис. 3.1 26 Вывод: описание плоскопараллельного движения тела сводится к описанию движения одного сечения тела (плоской фигуры) относительно неподвижной плоскости. Рассмотрим движение плоской фигуры (рис. 3.2). Для этого выберем не- подвижную систему координат Оху. Выберем на плоской фигуре точку С, которую будем называть полюсом и проведем через нее систему координат, которая будет двигаться вместе с телом. Положение точки С в любой момент времени определяется координатами полюса. Само тело при этом может по- ворачиваться вокруг полюса. Величину этого поворота определяет угол (угол между осями х и х'). O x y 1 x 1 y C C x C y Рис.3.2 Координаты полюса и угол поворота при движении меняются, то есть за- висят от времени. Соответствующие формулы называются уравнениями плоскопараллельного движения: (3.1) Из этих уравнений можно найти основные кинематические характери- стики тела при плоском движении: скорость и ускорение полюса, угловую скорость и угловое ускорение тела. Важно заметить, что: плоское движение можно представить как совокупность двух движе- ний: поступательного и вращательного, 27 угол поворота ( ) и кинематические характристики вращательной час- ти движения ( и ) не зависят от выбора полюса, координаты полюса ( , ) и кинематические характеристики посту- пательной части движения ( и ) зависят от выбора полюса. Уравнения (3.1) позволяют найти скорость и ускорение полюса ( и ). Ниже рассмотрим, как найти скорости и ускорения других точек тела. 3.2. Т ЕОРЕМА О СЛОЖЕНИИ СКОРОСТЕЙ ПРИ ПЛОСКОМ ДВИЖЕНИИ ТЕОРЕМА Скорость точки плоской фигуры равна векторной сумме скорости полюса и скорости, которую эта точка имеет в относительном вращении этой фигуры вокруг полюса: (3.2) Доказательство Рассмотрим плоскую фигуру. Выберем на ней две точки С и М. Точку С будем считать полюсом (рис. 3.3). Покажем радиус-векторы и , а так- же вектор , проведенный из точки С к точке М. O x y C C r M r MC r M Рис. 3.3 Для любого момента времени справедливым будет равенство Дифференцируя равенство, получим: , где - скорость точки М, - скорость точки С, 28 - скорость точки М в движении тела, происходящем относи- тельно полюса С. Это движения является вращением, поскольку модуль вектора Теорема доказана. Направление и модуль вектора определяется по правилам, принятым для вращательного движения: скорость перпендикулярна отрезку МС и направлена в сторону вращения, модуль скорости вычисляется по формуле Эйлера: (3.3) Графически направление и модуль скорости можно получить, по- строив параллелограмм на векторах и , как это показано на рис. 3.4,а. A B A v A v BA v B v l C M C v C v MC v M v Рис. 3.4 Рис. 3.5 СЛЕДСТВИЕ ИЗ ТЕОРЕМЫ: Проекции скоростей точек плоской фигуры на ось, проходящую че- рез эти точки, равны между собой. В этом легко убедиться. Возьмем на оси две точки, выберем одну из них (пусть точку А) в качестве полюса, и запишем скорость другой точки с помощью теоремы о сложении скоростей: Спроектировав это равенство на ось , получим, что , (3.4) поскольку проекция скорости на ось равна нулю (рис. 3.5). 29 3.3. М ГНОВЕННЫЙ ЦЕНТР СКОРОСТЕЙ Мгновенным центром скоростей (МЦС) называется точка Р плоской фигуры, скорость которой в данный момент времени равна нулю: Покажем, что такая точка всегда су- ществует. Пусть некоторое тело (рис. 3.6) вращается с угловой скоростью . Рассмотрим произвольную точку А, скорость которой в данный момент равна . От направления этого вектора в сто- рону вращения фигуры отложим прямой угол и в полученном направлении прове- дем луч. На этом луче отложим отрезок Рис. 3.6 Покажем, что полученная точка Р будет иметь нулевую скорость. Примем точку А за полюс. Тогда по теореме о сложении скоростей ско- рость точки Р будет равна: Заметим что: 1. Скорость перпендикулярна отрезку РА и направлена в сторо- ну противоположную скорости ; 2. Модули скоростей и равны, поскольку Отсюда ясно, что , и точка Р действтельно является мгновенным центром скоростей. ПРИМЕЧАНИЯ: 1. Положение МЦС на движущейся фигуре не является неизменным, в процессе движения его положение постоянно меняется: 2. МЦС может находиться вне тела; 3. Если угловая скорость тела в данный момент равна нулю, то МЦС рас- полагается в бесконечности. В этом случае скорости всех точек тела одинаковы. Движение тела в данный момент времени называют мгно- венно поступательным, в отличие от поступательного движения, при котором в любой момент времени. A P A v PA v A v 0 90 30 Выберем в качестве полюса МЦС. Тогда скорость произвольной точки М будет равна: ВЫВОД: скорость произвольной точки М плоской фигуры равняется скорости, которую она имеет в относительном вращении вокруг МЦС. Следовательно: 1. скорость направлена перпендикулярно отрезку РМ в сторону вра- щения; 2. модуль ее в соответствии с формулой (3.3) равен (3.5) Картина распределения скоростей точек движущейся плоской фигуры имеет вид, показанный на рис. 3.7. P A 0 90 B C D E A v B v C v D v E v C A B D E v v v v v PA PB PC PD PE Рис. 3.7 3.4. Н АХОЖДЕНИЕ МГНОВЕННОГО ЦЕНТРА СКОРОСТЕЙ Рассмотрим несколько простых приемов, позволяющих в процессе реше- ния задач определить местоположение МЦС. 1. Известна угловая скорость фигуры и скорость любой ее точки (рис. 3.8,а). Для определения МЦС надо: Повернув вектор скорости , на 90 0 в сторону вращения тела, найти направление, на котором лежит МЦС; 31 На найденном направлении отложить отрезок AР равный и получить положение точки Р, которая является мгно- венным центром скоростей. 2. Известны направления скоростей двух точек плоской фигуры и и эти скорости не параллельны друг другу (рис. 3.8, б). Для определения МЦС надо из точек А и В восстановить перпендику- ляры к направлению скоростей до точки их пересечения P, которая и будет точкой МЦС. При этом 3. Cкорости двух точек плоской фигуры и параллельны друг другу и перпендикулярны отрезку АВ. МЦС находится из условия, что модули скоростей точек А и В пропор- циональны расстояниям от этих точек до МЦС: Возможны два варианта: МЦС находится между точками А и В, когда скорости направле- ны в разные стороны (рис.3.8, в); МЦС находится за пределами отрезка АВ, когда скорости не рав- ны и направлены в одну сторону (рис. 3.8, г). A v A P а B A v A P B v б A v 0 A B B v е A v 0 A B B v д A v A P B B v г A v A P B v в Рис. 3.8 32 4. Cкорости двух точек плоской фигуры и равны по модулю и параллельны друг другу. При этом они могут быть перпендикулярны или неперпендикулярны отрезку АВ. МЦС в этом случае располагается в бесконечности. Скорости всех то- чек тела одинаковы. Движение тела является мгновенно поступатель- ным и . 5. При качении тела по неподвижной поверхности (Рис. 3.9) скорости со- прикасающихся точек равны в том случае, если отсутствует проскаль- зывание между телами. Тогда МЦС находится в точке соприкоснове- ния тела с поверхностью. O P O v Рис. 3.9 3.5. Т ЕОРЕМА О СЛОЖЕНИИ УСКОРЕНИЙ ТЕОРЕМА Ускорение точки плоской фигуры равно векторной сумме ускорения по- люса и ускорения, которое имеет эта точка в относительном вращении фигу- ры вокруг полюса: (3.6) Доказательство По теореме о сложении скоростей имеем: Продифференцируем это равенство по времени. Получим: 33 где – ускорение точки М, − ускорение точки С, ускорение точки М в системе отсчета, связанной с точкой С, то есть ее ускорение во вращении фигуры вокруг точки С (вокруг полюса). Теорема доказана. C M MC a n MC a MC a Рис. 3.10 Ускорение определяется по правилам вращательного движения, то есть равно сумме вращательного и центростремительного ускорений (рис. 3.10): (3.7) Тогда полное ускорение точки М будет равно: 3.6. С КОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ ТОЧЕК КОЛЕСА ПРИМЕР Пусть колесо радиусом R=1м катится без скольжения по горизонталь- ной плоскости. Скорость центра колеса , а ускорение центра колеса по направлению совпадает со скоростью и равно Определить скорости и ускорения точек А, В, С, Р, расположенных на ободе колеса (рис. 3.11). 34 Решение 1. Определение скоростей МЦС колеса – точка Р. Относительно точки Р колесо вращается по часо- вой стрелке. Соединим точку Р с точками А, В, С и покажем направления скоростей в сторону вращения по перпендикуляру к отрезкам АР, ВР, СР. Угловую скорость колеса получим из формулы, которая связывает уг- ловую скорость со скоростью центра колеса: , из которой полу- чается, что O P O v б A B C C B v A v C v O P O v а A B O a Рис. 3.11 Модули скоростей получим по формуле Эйлера (3.3): 2. Определение ускорений Расстояние от точки О до МЦС (точки Р) всегда постоянно. Кроме того точка О движется прямолинейно. В этом случае угловое ускорение можно найти следующим образом: То есть в данный момент времени Выберем в качестве полюса центр колеса (точку О) и используем для определения ускорения произвольной точки М теорему о сложении ускоре- ний: 35 Вращательные ускорения точек A, B, C, P во вращении колеса относи- тельно полюса О по модулю будут одинаковы и направлены перпендикуляр- но к соответствующему радиусу в сторону углового ускорения: Нормальные ускорения точек A, B, C, P во вращении колеса относи- тельно полюса О по модулю будут одинаковы и направлены к центру колеса: Суммируя в каждой точке три вектора ускорения по формуле , получим, что и C O P а A B O a O a O a O a O a C O P а A B O a C a P a A a B a Q 0 Q a AO a n PO a n CO a n BO a PO a BO a CO a n AO a Рис. 3.12 Если на середине отрезка СР отметить точку Q, то можно заметить, что: Ускорения в точках, расположенных на одинаковых расстояниях от точ- ки Q (точках Р, О, С) одинаковы по величине; Ускорения в точках, расположенных на разных расстояниях от точки Q пропорциональны расстояниям до этих точек ; 36 Ускорения в точках A, B, C, P направлены таким образом, что состав- ляют одинаковый угол с отрезками, соединяющими эти точки с точкой Q; Ускорение в самой точке Q при этом равно нулю. Точка тела Q, ускорение которой в данный момент равно нулю, называется мгновенным центром ускорений. Существуют правила, по которым всегда можно найти положение мгно- венного центра ускорений (МЦУ), после чего определение ускорение других точек тела сильно упрощается. 4. |