Шпаргалка по кинематике. Конспект лекций по теоретической механике р екомендуемая литература диевский В. А. Теоретическая механика Учебное пособие. Спб
 Скачать 4.07 Mb.
|
|
1 Подобно тому как в геометрии, в которой из- лагается измерение тел, изложение обыкновенно начинается с точки, точно так же и движение тел конечной величины не может быть объяснено, пока не будет тщательно исследовано движение точек, из которых, как мы принимаем, составлены тела. Ведь нельзя наблюдать и определить движение тела, имеющего конечную величину, не определив сначала, какое движение имеет каждая его ма- ленькая частичка или точка. Вследствие этого из- ложение вопроса о движении точек есть основа и главная часть всей механики, на которой основы- ваются все остальные части. Леонард Эйлер Г.А. Маковкин Конспект лекций по теоретической механике Р ЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА Диевский В.А. Теоретическая механика: Учебное пособие.—СПб.: «Лань», 2005. Лойцанский Л.Г., А.И. Лурье. Курс теоретической механики. Том пер- вый. Статика и кинематика. 2006г. Сборник коротких задач по теоретической механике: Учебное пособие / Под ред. О.Э. Кепе. – Спб.: Изд. «Лань», 2008. Теоретическая механика. Методические указания к расчетно- графической работе по кинематике. Нижний Новгород, ННГАСУ, 2003 г.для выполнения расчетно-графической работы по статике. 2006г. Теоретическая механика. Методические указания к решению задач по кинематике точки. Нижний Новгород, ННГАСУ, 2009. 2 1. Тема: КИНЕМАТИКА ТОЧКИ 1.1. В ВЕДЕНИЕ В КИНЕМАТИКУ Кинематикой называется раздел механики, в котором изучаются дви- жения материальных тел без учета их масс и действующих на них сил, то есть с чисто геометрической точки зрения. Под движением в механике понимают изменение положения данного тела в пространстве по отношению к некоторой координатной системе, которую называют системой отсчета. Таким образом, понятие движения является относительным. Тело, нахо- дящееся в покое относительно одной системы отсчета может совершать дви- жение относительно другой системы отсчета. Пространство в классической механике считается однородным, изотроп- ным и евклидовым, а время является абсолютным, то есть протекающим одинаково во всех системах отсчета. Для описания течения времени в механике используют независимую пе- ременную. При этом все другие переменные величины рассматривают как функции времени. Отсчет времени ведут от некоторого начального момента . Основной задачей механики является изучение способов задания движе- ния тел. Движение тела считается заданным, если для любого момента вре- мени можно математически указать положение любой точки тела по отноше- нию к данной системе отсчета. Кроме того кинематика рассматривает кинематические характеристи- ки, такие как скорости или ускорения, и устанавливает связывающие их ма- тематические зависимости. Основными разделами кинематики являются: кинематика точки, кинематика твердого тела, сложное движение точки, сложное движение твердого тела. 3 1.2. С ПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ В кинематике используют три способа задания движения точки: вектор- ный, координатный и естественный. Векторный способ задания движения точки Положение движущейся точки М по отношению к системе отсчета Оxyz можно задать радиус-вектором этой точки , который считается векторной функцией времени: (1.1) x y z i j k O z y x r M траектория Рис. 1.1 Уравнение (1.1) представляет собой уравнение движения точки в вектор- ной форме. Линия, которую описывает точка в своем движении, называется ее траекторией. Траектории движения точек можно разделить на прямоли- нейные и криволинейные. При векторном способе задания движения траектория точки будет гео- метрическим местом положений конца радиус вектора , то есть его годо- графом. Координатный способ задания движения точки Положение точки в данной системе отсчета можно определить, задав ее координаты в виде функций времени. В декартовой системе координат это будут функции (1.2) 4 Эти уравнения можно рассматривать как уравнения траектории точки, за- данные в параметрической форме. Время в данном случае будет являться параметром. Чтобы получить уравнение траектории в явной форме надо из уравнений (1.2) исключить время. Связь между векторным и координатным способами задания движения точки дается формулой , (1.3) где – единичные вектора (орты) декартовой системы координат. Естественный способ задания движения точки Этот способ применяется тогда, когда заранее известна траектория точки. траектория s A B O M Рис. 1.2 Чтобы задать движение некоторой точки М естественным способом, следует указать: 1. траекторию точки (кривая АВ на рис. 1.2); 2. начальную точку на ней (точка О на рис. 1.2); 3. положительное и отрицательное направление отсчета по траектории; 4. уравнение движения точки по траектории: (1.4) в котором s есть дуговая координата, то есть длина дуги по траектории между точками О и М, взятая со знаком «плюс» или «минус» в зависимости от того в какой части траектории находится точка. Дуговая координата определяет положение точки, а не пройденный ею путь. 1.3. С КОРОСТЬ ТОЧКИ Определение скорости при векторном способе задания движения Скоростью точки называется кинематическая мера движения, равная производной по времени от радиус-вектора этой точки: (1.5) В дальнейшем точкой сверху будем обозначать производную по времени. 5 Система координат при этом считается неподвижной, а орты – по- стоянными, как по величине, так и по направлению. Скорость точки – величина векторная, ее направление показывает куда в данный момент движется тело, а ее модуль – быстроту изменения положения точки. Размерность модуля скорости: Определение скорости при координатном способе задания движения Возьмем производную от радиус-вектора по времени: Поскольку , где – проекции вектора скорости на координатные оси, то очевид- но, что они равны производным по времени от соответствующих координат: (1.6) Обычным образом находятся модуль вектора скорости: и его направляющие косинусы: Определение скорости при естественном способе задания движения При естественном способе задания движения точки известна ее траекто- рия и уравнение движения . Каждому значению дуговой координаты соответствует свой радиус-вектор , который в этом случае можно рас- сматривать как сложную функцию: Взяв производную по времени от радиус-вектора по времени, получим скорость: Рассмотрим вектор . Изобразим два близких по времени положения точки: М и М 1 . При , то есть при , отношение длины стяги- вающей хорды к длине дуги стремится к единице, то есть 6 , а направление секущей в предельном положении совпадает с направле- нием касательной к траектории, проведенной через точку . То есть, вектор есть единичный вектор, направленный по касательной к траектории в по- ложительную сторону дуговой координаты. Обозначим его и будем назы- вать единичным вектором касательной. i j k O r M s 1 M r 1 r O ds r d Рис. 1.3 Тогда вектор скорости можно представить как , (1.7) где представляет собой проекцию вектора скорости на касатель- ную, которую также называют алгебраическим значением скорости. Подведем итог: 1. Скорость всегда направлена по касательной к траектории в сто- рону движения; 2. Скорость по модулю равна ; 3. Знак проекции показывает направление скорости: при скорость направлена в положительном направлении дуговой координаты, а при − в отрицательном направлении. 1.4. У СКОРЕНИЕ ТОЧКИ Определение ускорения при векторном способе задания движения точки Ускорением точки называется кинематическая мера движения, равная производной по времени от вектора скорости точки: или (1.8) 7 Система координат при этом считается неподвижной. Ускорение характеризует изменение вектора скорости. Размерность модуля ускорения Определение ускорения при координатном способе задания движения При координатном способе задания движения вектор скорости задается формулой: Дифференцируя это выражение по времени, получим формулу для уско- рения: , откуда следует, что , (1.9) то есть проекции вектора ускорения на координатные оси равны вторым производным по времени от соответствующих координат, или первым про- изводным по времени от соответствующих проекций вектора скорости. Обычным образом находятся модуль вектора ускорения: и его направляющие косинусы: 1.5. Г ЕОМЕТРИЯ ТРАЕКТОРИЙ Радиус кривизны Рассмотрим произвольную пространственную кривую (рис.1.4). Пусть за промежуток времени материальная точка перемещается по ней из точки М в точку М 1 и ее дуговая координата меняется при этом на величину Построим в точках М и М 1 единичные векторы касательной и . 8 M 1 M 1 1 s Рис. 1.4 Перенесем вектор параллельно в точку М. Угол между единичными векторами и называется углом смежности. При точка М 1 будет стремиться к точке М, а угол и длина дуги – к нулю. Предел их отношения называется кривизной данной кривой в точке М: =k. Величина, обратная кривизне, называется радиусом кривизны: Радиус кривизны измеряется в метрах. Радиус кривизны равняется радиу- су окружности, которая наилучшим образом совпадает с кривой в окрестно- сти данной точки. ПРИМЕРЫ: 1. Окружность является кривой постоянной кривизны. Во всех точках ок- ружности радиус ее кривизны равен радиусу окружности. 2. Прямая линия является линией постоянной кривизны. Во всех ее точ- ках радиус кривизны равен бесконечности, а кривизна равна нулю. 3. У таких линий, как эллипс или парабола, радиус кривизны в разных точках имеет разное значение. Естественные оси. Сведем вектора и в точке (рис. 1.4) и проведем через них плос- кость. Устремим точку к точке . В предельном положении (при ) эта плоскость займет некоторое положение , которое называется соприкасаю- щейся плоскостью. Если траектория движения плоская, то она вся будет лежать в соприка- сающейся плоскости. Плоскость II перпендикулярная касательной называ- ется нормальной плоскостью. Плоскость III, перпендикулярная плоскостям I и II, называется спрямляющей плоскостью. 9 b n M траектория I II III касательн ая к траект ории главн ая нормаль ( ) бинорм аль вторая нормаль Рис. 1.5 Проведенная через точку М касательная к траектории является линией пересечения соприкасающейся и спрямляющей плоскостей. Линия пересече- ния соприкасающейся и нормальной плоскостей называется нормалью (главной нормалью). Линия пересечения нормальной и спрямляющей плос- костей называется второй нормалью (бинормалью). Касательная, нормаль и бинормаль вместе образуют естественные оси. Естественные оси являются подвижными, они перемещаются по траектории С естественными осями связана правая тройка единичных векторов (ортов): единичный вектор касательной, единичный вектор нормали, единичный вектор бинормали. Вектор Когда точка переместится по траектории на изменение единичного вектора касательной будет равно , поскольку из рис. 1.6 видно, что Вектор лежит в одной плоскости с векторами и , поэтому, ес- ли точку устремить к точке , то в предельном случае вектор окажется лежащим в соприкасающейся плоскости. Рассмотрим его свойства. 10 Направление. Продифференцируем по равенство Получим , откуда следует, что вектор перпендикулярен вектору . Из рис. 1.6 видно, что вектор всегда направлен в сторону вогнутости кривой. Отсюда вывод: вектор всегда направлен по главной нормали. Модуль. Треугольник, образованный векторами − равнобед- ренный (рис. 1.6), откуда видно, что = = , где – угол смежности. Тогда Можно показать, что последний предел равен кривизне, то есть Учитывая, что вектор направлен по главной нормали получим, что M 1 M 1 1 s 2 2 Рис. 1.6 11 1.6. О ПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ ПРИ ЕСТЕСТВЕННОМ СПОСОБЕ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ Получим выражение для ускорения, учитывая, что по формуле (1.7) : Учитывая, что и что , преобразуем вектор : Поскольку , получим, что ускорение равно векторной сумме: (1.10) Касательное ускорение направлено по касательной к траектории и определяется проекцией вектора ускорения на касательную, знак которой по- казывает в какую сторону дуговой координаты s оно направлено: (1.11) Проекцию называют алгебраическим значением касательного ускорения Модуль касательного ускорения можно вычислить через производ- ную от модуля скорости: Нормальное ускорение направлено по главной нормали и его проек- ция на нормаль (1.12) всегда положительна. По этой причине нормальное ускорение всегда направ- лено в сторону вогнутости траектории. Проекция вектора ускорения на бинормаль всегда равна нулю: Модуль полного ускорения равен (1.13) 1.7. Р АЗЛИЧНЫЕ ФОРМЫ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ Прямолинейное движение и криволинейное движение Траекторией точки при криволинейном движении является кривая, и ее кривизна имеет конечное значение, а радиус кривизны не равен нулю. Траекторией при прямолинейном движении является прямая линия. Радиус кривизны прямой линии бесконечен . Из (1.12) следует, что нормальное ускорение в этом случае равно нулю Следовательно, при прямолинейном движении полное ускорение совпа- дает с касательным: и 12 В этом случае скорость всегда направлена по одной линии − траектории, откуда вытекает вывод о физическом смысле касательного ускорения: каса- тельное ускорение характеризует изменение модуля скорости. Равномерное движение и неравномерное движение Равномерным называется такое движение точки, при котором модуль скорости все время остается постоянным: . Тогда и полное ускорение совпадает с нормальным: Модуль скорости при этом не меняется, откуда вытекает вывод о физиче- ском смысле нормального ускорения: нормальное ускорение характеризу- ет изменение направления скорости. При равномерном движении . Интегрируя это равен- ство, получим уравнение равномерного движения: (1.14) Это уравнение определяет величину дуговой координаты в любой момент времени. Пройденный точкой путь определяется путем интегрирования моду- ля скорости: При равномерном движении Равномерное прямолинейное движение В этом случае равны нулю и касательное, и нормальное, и полное ускоре- ния: , а скорость точки как вектор будет постоянна: Ускоренное движение и замедленное движение Ускоряется или замедляется движение точки можно определить по вза- имному расположению векторов скорости и касательного ускорения (рис. 1.7). Если оба вектора направлены в одну сторону, то движение является ус- коренным, а если в разные, − то замедленным. При ускоренном движении произведение проекций этих векторов на ка- сательную к траектории будет положительным ( ), а при замедленном – отрицательным ( ). Другой способ определения является движение ускоренным или замед- ленным заключается в определении знака проекции вектора ускорения на на- правление вектора скорости 13 v a n a a v a n a a 0 0 0 a v a v ускоренное 0 0 0 a v a v замедленное v a n a a v a n a a 0 0 0 a v a v замедленное 0 0 0 a v a v ускоренное Рис. 1.7 Если вектора скорости и ускорения заданы аналитически выражениями то проекцию скорости ускорения на направление скорости можно найти с помощью скалярного умножения вектора ускорения на направляющий единичный вектор скорости , который равен Тогда При движение является ускоренным, а при − замедленным. Из рис. 1.8 видно, что По этой причине для определения модуля каса- тельного ускорения можно использовать формулу (1.15) Рис. 1.8 Равнопеременное движение Равнопеременным называется движение точки, при котором модуль ка- сательного ускорения все время остается постоянным: v a n a a v e 14 Оно бывает равноускоренным или равнозамедленным. Дважды интегрируя равенство получим выражения для скорости и дуговой координаты, то есть уравнения равнопеременного движения: ; , (1.16) где и − начальные значения величин и . ПРИМЕР Найти траекторию точки М, радиус кривизны траектории, а также ско- рость и ускорение в момент времени если движение точки задано уравнениями Решение Уравнение траектории. Используем тригонометрическое тождество и исключим время из уравнений движения: Из этого уравнения следует, что траекторией точки является эллипс с по- луосями 5 м и 3 м, центр которого находится в начале координат. Положение точки при определим через ее координаты: 5 м, 0, откуда следует, что точка М – крайняя точка эллипса (рис. 1.9). Скорость точки найдем по ее проекциям с помощью формул [1.6]: При , , откуда видно, что вектор ско- рости направлен по оси y. Модуль скорости равен Ускорение точки тоже определяем по проекциям по формулам (1.9): При имеем: , , откуда видно, ускорение направлено против оси y. Модуль ускорения равен 15 y x 3 3 5 5 M v n a a Рис. 1.9 Из рисунка видно, что ускорение перпендикулярно скорости, то есть яв- ляется нормальным ускорением. Касательное ускорение в данный момент времени отсутствует. Убедимся в этом. Касательное ускорение найдем по формуле (1.15): Нормальное ускорение вычислим как геометрическую разность между полным и касательным ускорениями: Радиус кривизны траектории найдем из формулы (1.12). Задача решена 16 2. |