Шпаргалка по кинематике. Конспект лекций по теоретической механике р екомендуемая литература диевский В. А. Теоретическая механика Учебное пособие. Спб
 Скачать 4.07 Mb.
|
|
Тема: СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ 4.1 П ОНЯТИЕ О СЛОЖНОМ ДВИЖЕНИИ ТОЧКИ Сложным движением называют такое движение точки, которое рас- сматривается одновременно в двух системах отсчета. Примером является движение человека внутри движущегося вагона, в то время как вагон проезжает мимо неподвижной платформы. Движение че- ловека можно рассматривать в системе координат, связанной с вагоном, или в системе координат, связанной с платформой (то есть с Землей). При описании сложного движения одну из систем отсчета считают неподвижной или основной (система O 1 x 1 y 1 на рис. 4.1) . Другая система отсчета рассматривается как подвижная (система Oxy на рис. 4.1). Вагон Платформа Человек x y 1 x 1 y O 1 O M Рис. 4.1 37 В таких случаях можно выделить три вида движения: абсолютное, относительное и переносное. 1. Абсолютным движением называется движение точки по отношению к неподвижной системе координат (движение человека по отношению к платформе). Характеристиками абсолютного движения являются абсолют- ная скорость и абсолютное ускорение , то есть скорость и ускорение точки относительно неподвижной системы координат (относительно плат- формы). Они обозначаются индексом «а». 2. Относительным движением называется движение точки по отно- шению к подвижной системе координат (движение человека относительно вагона). Характеристиками относительного движения являются относи- тельная скорость и относительное ускорение то есть скорость и ус- корение точки относительно подвижной системы координат (относительно вагона). Они обозначаются индексом «r». 3. Переносным движением называется движение подвижной системы координат относительно неподвижной. В подвижной системе координат по- ложение точки М все время меняется. Переносной скоростью и перенос- ным ускорением называется скорость и ускорение той точки подвижной системы координат, с которой в данный момент совпадает движущаяся точ- ка. Они обозначаются индексом «e». ПРИМЕР Башенный кран переносит груз Р (рис. 4.2,а). При этом он вращается во- круг своей оси (угол меняется), а тележка крана двигается по его стреле (расстояние R меняется). Высота груза Р остается постоянной. Высота груза не меняется и, следовательно, груз Р двигается в горизон- тальной плоскости (рис. 4.2, б), расположенной на высоте Н. Будем считать систему координат, связанную с Землей, абсолютной, а систему отсчета, связанную с краном, относительной. Тогда движение груза относительно крана является относительным движением, движение груза от- носительно Земли является абсолютным движением, а переносным движени- ем является вращение крана. Относительная скорость груза направлена по радиусу от оси крана. 38 O r v e v R 2 t R t P а б H v R Горизонтальная плоскость Рис. 4.2 Переносной скоростью является скорость, которую точка, в которой на- ходится груз, имеет в результате поворота крана. Она направлена в сторону вращения крана перепендикулярно к отрезку ОР и по модулю равна Абсолютная скорость груза Р пока неизвестна. ОСНОВНАЯ ЗАДАЧА заключается в том, чтобы по известным характе- ристикам относительного и переносного движений находить кинематические характеристики абсолютного движения. 4.2. С ЛОЖЕНИЕ СКОРОСТЕЙ ПРИ СЛОЖНОМ ДВИЖЕНИИ ТЕОРЕМА Абсолютная скорость точки равна векторной сумме относительной и пе- реносной скоростей. Доказательство Пусть − подвижная система отсчета с ортами , в которой дви- жущаяся точка указана радиус-вектором и имеет координаты Пусть −неподвижная система отсчета, в которой положение точек и определяется векторами и Ясно, что , так как и 39 1 x 1 y 1 z 1 O O r O M i j k x y z 1 1 1 1 , неподвижная система координат подвижная система координат y O x z y O x z Рис. 4.3 Относительная скорость (скорость точки относительно подвижной системы координат) получается дифференцированием по времени вектора в предположении, что орты неподвижны ( ), а коорди- наты x, y, z меняются: (а) Переносная скорость (скорость, которую точка приобретает в резуль- тате движения подвижной системы координат относительно неподвижной) получается дифференцированием по времени вектора , в ходе которого учи- тывается, что при переносном движении изменение координат точки проис- ходит только за счет изменения вектора , а также за счет поворота ортов подвижной системы координат , а координаты точки М в подвижной системе координат не изменяются (точка двигается вместе с системой). (б) Абсолютная скорость (скорость точки относительно неподвижной системы координат) определяется как производная по времени от радиус- вектора , в ходе которого учитывается, что все, входящие в выражение ве- личины являются переменными. (в) Сравнивая формулы (а), (б) и (в) видим, что справедливо равенство (4.1) Теорема доказана. 40 ПРИМЕЧАНИЕ: В относительном, переносном и абсолютном движении точка описы- вает разные траектории, и соответствующие скорости всегда направле- ны по касательным к этим траекториям. Так, в примере о подъемном кране, траектория относительного движения груза есть прямая линия (рис. 4.4,а), траектория точки в переносном движе- нии есть окружность (рис. 4.4,б), а траектория абсолютного движения есть расширяющаяся спираль (рис. 4.4,в). O O O e v r v e v a v r v а) Относительное движение б) Переносное движение в) Абсолютное движение Рис. 4.4 4.3. Т ЕОРЕМА К ОРИОЛИСА О СЛОЖЕНИИ УСКОРЕНИЙ Рассмотрим, как определяются при сложном движении точки ускорения. Относительное ускорение (ускорение точки относительно подвиж- ной системы координат) получается дифференцированием по времени векто- ра относительной скорости 41 При этом предполагается, что орты неподвижны ( ), а координаты x, y, z меняются: (а) Переносное ускорение (ускорение, которое точка приобретает в ре- зультате движения подвижной системы координат относительно неподвиж- ной) получается дифференцированием по времени вектора При этом учитывается, что при переносном движении изменение коорди- нат точки просходит только за счет изменения вектора , а также за счет поворота ортов подвижной системы координат Координаты точки М в подвижной системе координат при этом не изменяются (точка двигается вместе с системой). (б) Абсолютное ускорение (ускорение точки относительно неподвижной системы координат) определяется как производная по времени от вектора аб- солютной скорости . При этом учитывается, что все, входящие в выражение величины являют- ся переменными. . (в) Сравнивая формулы (а), (б) и (в) видим, что в выражение для абсолютно- го ускорения кроме переносного и относительного ускорений входит еще од- на группа слагаемых, которая представляет собой ускорение называемое ус- корением Кориолиса: Таким образом, справедливой является следующая теорема: ТЕОРЕМА Абсолютное ускорение точки равно векторной сумме относительного и переносного и кориолисова ускорений: (4.2) 42 4.4. В ЫЧИСЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ К ОРИОЛИСА Сложное движение точки впервые описал французский меха- ник Гюстав Гаспар Кориолис (1792-1843). Дополнительное ускорение, которое Кориолис получил теоретически, позже было обнаружено экспериментально и получило его имя. Ускорение Кориолиса можно вычислять более просто, если использовать формулы Пуассона, которые показывают, как изменяются единичные векто- ры системы координат (орты), в то время как сама система координат пово- рачивается относительно некоторой оси u (рис 4.5). Формулы Пуассона имеют следующий вид: u x y z i j k Рис. 4.5 Если учесть, что угловая скорость единичных векторов фактически пред- ставляет собой угловую скорость переносного движения, то можно записать: Поскольку - относительная скорость, то 43 (5.3) Кориолисово ускорение равно удвоенному векторному произведению угловой скорости переносного движения на относительную скорость точки. Модуль кориолисова ускорения при этом равен (5.4) Из этой формулы видно, что кориолисово ускорение может быть равно нулю в трех случаях: 1. Когда переносное движение является поступательным (угловая ско- рость переносного движения равна нулю ; 2. Когда отсутствует относительное движение (относительная скорость точки равна нулю ; 3. Когда векторы и праллельны друг другу, то есть кгда точка дви- жется вдоль оси вращения. Направление кориолисова ускорения определяется по правилу Жуковского. Правило Жуковского Чтобы найти направление кориолисова ускорения надо: 1. спроектировать вектор относительной скорости на плоскость, перпендикулярную оси вращения; 2. повернуть полученную проекцию на 90 0 по ходу вращения. ПРИМЕР Круглая платформа (рис. 4.6) вращается вокруг точки О в соответствии с уравнением рад. По радиусу платформы двигается человек (точка М) в соответствии с уравнением Найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в момент времени Решение Неподвижную систему координат свяжем с Землей, а подвижную – с платформой. Тогда вращение платформы относительно Земли будет пере- носным движением, а перемещение человека относительно платформы – относительным движением. Абсолютным движением будет движение чело- века (точки М) относительно Земли. 1. Положение точки М в рассматриваемый момент времени опреде- лим, вычислив расстояние от нее до оси вращения: При t=5с получаем 44 2. Определяем скорость точки Относительная скорость точки равна Угловая скорость вращения платформы – это угловая скорость перенос- ного движения Переносная скорость точки – это скорость той точки, в которой в данное время находится человек. Она направлена перпендикулярно к радиусу платформы и по модулю равна Абсолютная скорость равна векторной сумме относительной и перенос- ной скоростей: По модулю абсолютная скорость равна O e a n e a cor a r a M e v r v a v Рис. 4.6 3. Определяем ускорение точки. Относительное движение точки является прямолинейным, поэтому ее относительное ускорение – это ускорение касательное: Переносное ускорение точки – это ускорение той точки платформы, в которой в данный момент времени находится человек. Оно складывается из вращательного и центростремительного ускорений: Вращательное ускорение по модулю равно , где Центростремительное ускорение по модулю равно 45 , Модуль кориолисова ускорения равен Для определения направления кориолисова ускорения используем пра- вило Жуковского, повернув вектор относительной скорости на 90 0 по ходу вращения. Векторно суммируем все ускорения и находим абсолютное ус- корение точки: Ответ: Скорость и ускорение точки равны 4.5. К ОРИОЛИСОВО УСКОРЕНИЕ ПРИ ДВИЖЕНИИ ТЕЛ ПО ПОВЕРХНОСТИ З ЕМЛИ Любое тело, движущееся относительно поверхности Земли, получает кориолисово ускорение. Поскольку модуль угловой скорости Земли очень мал, результат этого ускорения можно наблюдать либо при очень больших скоростях движения (движение пуль, снарядов, ракет), либо при длительном действии сил (движение рек, поездов). Учитывая, что вектор угловой скорости Земли направлен от южного полюса к северному, легко определить направление кориолисова ускоре- ния в зависимости от направления движения тела, учитывая, что 1. При движении тела на север кориолисово ускорение направлено на запад. 2. При движении тела на юг кориолисово ускорение направлено на восток. 3. При движении тела на восток кориолисово ускорение направлено от земной оси. 4. При движении тела на запад кориолисово ускорение направлено к земной оси. Обобщая можно сказать, что в северном полушарии кориолисово ус- корение направлено влево по ходу движения (рис. 4.6). Примеры действия кориолисова ускорения в северном полушарии: отклонение Гольфстрима и других течений, отклонение воздушных потоков, 46 закручивание против часовой стрелки циклонов, реки подмывают правый берег, правый рельс на железных дорогах изнашивается быстрее. В южном полушарии кориолисово ускорение имеет обратное направ- ление, поэтому перечисленные эффекты проявляются зеркально по отно- шению к северному полушарию. r v r v r v r v cor a cor a cor a cor a зап ад вос ток Рис. 4.7 |