Контрольная работа по страхованию. Страхование контрольная работа. Контрольная работа задача 1

• Название: Контрольная работа задача 1
• Анкор: Контрольная работа по страхованию
• Дата: 27.01.2022
• Размер: 5.32 Mb.
• Имя файла: Страхование контрольная работа.doc
• Тип: Задача; #344137

СТРАХОВАНИЕ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Задача 1. Предприятие желает заключить договор страхования предпринимательского риска, связанного с вероятными претензиями потребителей по причинам возможного выпуска бракованных изде­лий на трех технологических линиях, вероятности брака на линиях соответственно равны: № 1 - A %, №2- B %, № 3 - C %. Изде­лия от всех трех линий поступают в один контейнер, причем произво­дительность линии № 1 в D раза выше, а линии № 3 соответственно в E раза меньше, чем линии № 2.

Определить:

• 
  вероятность того, что взятое случайным образом из контейне­ра изделие окажется бракованным;
  
• 
  страховую премию по договору, если страховая сумма - G д.е., предел ответственности - H %.
  

Методические указания

Исходные данные по задаче: A, B, C, D, E, G, H определяются самостоятельно.

Расчеты вероятности осуществляются по формуле полной вероятности.

Страховая премия =

=Страховая сумма * Вероятность страхового события * Предел ответственности
Решение:

A-5%; B-10%; C-15%; D-в 3 раза; E-в 2 раза; G-1000 ед; H-10%.
Вероятность брака на первой технологической линии q1=0,05.

Вероятность брака на второй технологической линии q2=0,1.

Вероятность брака на третьей технологической линии q3=0,15.
Пусть третья линия производит Х изделий в единицу времени.

Вторая линия производит 2Х изделий в единицу времени.

Первая линия производит 3*2Х=6Х изделий в единицу времени.

Все линии за единицу времени производят Х+2Х+6Х=10Х изделий.
Тогда вероятность того, что изделие в контейнере от первой линии (B₁) p₁=0,6.

Тогда вероятность того, что изделие в контейнере от второй линии (B₂) p₂=0,2.

Тогда вероятность того, что изделие в контейнере от третьей линии (B₃) p₃=0,1.
Формула полной вероятности:

 ); )

1. 
   вероятность того, что взятое случайным образом из контейнера изделие окажется бракованным: 0,065
   
2. 
   страховую премию по договору, если страховая сумма - G д.е., предел ответственности - H %: 1000*0,065*0,1=6,5
   

Задача 2. Торговая фирма желает застраховать риск невозврата товарного кредита, который предоставляют клиентам три ее филиала. Известно, что в филиале № 1 не было возвращено A % выданных кредитов, в № 2 - B %, в № 3 - C %. Филиал № 1 заключил D тыс. договоров товарного кредита, № 2 – E тыс., № 3 – F тыс.

Определить:

• 
  Какой из филиалов фирмы вероятнее всего имеет дело с рисками невозврата товарного кредита;
  
• 
  страховую премию по договору страхования предпринима­тельского риска торговой фирмы, если страховая сумма - G д.е., предел ответственности - H %.
  

Методические указания

Исходные данные по задаче: A, B, C, D, E, G, H определяются самостоятельно.

Выбор филиала осуществляются по формуле полной вероятности и по формулам Байеса.

Страховая премия =

=Страховая сумма * Вероятность страхового события * Предел ответственности
Решение:

A-15%, B-35%, C-10%, D-1200 тыс., E-250 тыс., F-130 тыс., G-800 д.е., H-75%.
Вероятность невозврата кредита первым филиалом q1=0,15.

Вероятность невозврата кредита вторым филиалом q2=0,35.

Вероятность невозврата кредита третьим филиалом q3=0,10.
В совокупности все филиалы заключили 1200+250+130=1580 кредитов.

Вероятность того, что кредит выдан первым филиалом (B1) p1=0,76

Вероятность того, что кредит выдан вторым филиалом (B2) p2=0,16

Вероятность того, что кредит выдан третьим филиалом (B3) p3=0,08
Формула полной вероятности:

); )
Определим вероятность того, что будет иметь место невозврат кредита: P(A)=0,178
Формулы Байеса:



P(невозврат в первом филиале)=0,640449

P(невозврат во втором филиале)=0,0717948

P(невозврат в третьем филиале)=0,0102564
Таким образом, вероятнее всего невозврат кредита в первом филиале.
Страховая премия = 800*0,178*0,75 =106,8
Задача 3. По данным аналитического отдела страховой компании, в результате страхового случая ве­роятность гибели объекта – A, вероятность повреждения объекта – 1-A.

Построить схему частот гибели/повреждения для десяти объектов.

Методические указания

Для расчета вероятностей результатов использовать формулу Бернулли.

Исходные данные по задаче: A определяются самостоятельно.
Решение:

A=0,08
Формула Бернулли: _{ } ;

Здесь n=10; k=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10; p=0,08; q=0,92.

k	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
P(k)	0,43438	0,37772	0,14780	0,034274	0,00521	0,00054	0,00000394376	0,0000195963	0,00000639011	0,0000012348	0,00000107374

Задача 4. Страховщик желает принять на страхование A объ­ектов, страховая сумма по договору страхования каждого объекта - B д.е., вероятность гибели объекта - C. Каким резервным капи­талом должен обладать страховщик, чтобы принять на страхование данные объекты? Распределение вероятностей убытков принять би­номиальным.

Исходные данные по задаче: A, B, C определяются самостоятельно.
Решение:

A=15, B=1100, C=0,08

Формула Бернулли:   ;
Здесь n=10; k=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10; p=0,08; q=0,92.

k	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
P(k)	0,43438	0,37772	0,14780	0,034274	0,00521	0,00054	0,00000394376	0,0000195963	0,00000639011	0,0000012348	0,00000107374

Вычислим математическое ожидание (M(k)) и среднеквадратическое отклонение (σ(k)) числа гибели объектов страхования.



M(k)= 0,7999

σ(k)= 0,889

Ожидаемый ущерб определяется как произведение ожидаемой частоты гибели на величину страховой суммы = 0,7999*1100=879,89

Ожидаемый разброс ущерба относительно его ожидаемого значения определяется как произведение среднеквадратического отклонения частоты гибели на величину страховой суммы = 0,889*1100=997,9

M(k)=0,7999 M(ущерба=страховых выплат)= 879,89

σ(k)= 0,899 σ(ущерба=страховых выплат)=997,9

Ожидаемое отклонение ущерба в большую сторону от величины ожидаемого ущерба равно сумме ожидаемого ущерба и ожидаемого отклонения = 1877,79

Можно утверждать, что ожидаемый размер страховых выплат не должен превзойти указанную величину, а значит и величине резервного капитала достаточно быть равной 1877,79
Задача 5. Вероятность гибели объекта, но договору страхова­ния - A. Какова вероятность того, что в B тысячах страховых договорах гибель объекта произойдет соответственно не менее, чем в C и не более, чем в D договорах страхования?

Распределение наступления страхового события предполагаем нормальным.

Исходные данные по задаче: A, B, C, D определяются самостоятельно.
Решение:

A=0,06, B=8000, C=300, D=600

Для решения этой задачи используется асимптотическая формула Лапласа:

 ;  
Здесь p=0,06; q=0,94; n=8000; k1=300; k2=600.

Тогда 𝑥2=5,65; 𝑥1= -8,47

Ф(5,65)=0,5; Ф(-8,47)=-0,5

𝑃(300≤𝑘≤600)=0

Таким образом, в рассматриваемой постановке задачи вероятность наступления страховых случаев в указанном количестве равна 0
Задача 6. Страховщик использует модель нормального распре­деления для анализа вероятных выплат по страховому портфелю. Среднее значение страховой выплаты - A д.е., стандартное откло­нение - B д.е.

1. 
   Найти вероятность того, что размер страховой выплаты со­ставит:
   

а) более C д.е.;

б) меньше D д.е.;

в) больше E д.е. и меньше F д.е.;

2. 
   Найти интервал, в котором отклонение страховой выплаты от среднего значения не превысит трехкратного стандартного отклоне­ния (трех сигм).
   
3. 
   С вероятностью 0,899 определить интервал, в котором будет находиться размер страховой выплаты. Какова при этом условии мак­симальная величина отклонения страховой выплаты от среднего зна­чения?
   

Исходные данные по задаче: A, B, C, D, E, F определяются самостоятельно.
Решение:

A=350, B=20, C=400, D=200, E=180, F=250

Используется асимптотическая формула Лапласа:

; _{ }; _{ }
Здесь 𝒌 ̅ =350; 𝑺 ̅ =20

Найти вероятность того, что размер страховой выплаты со­ставит:

а) более 400 д.е.;

Здесь k1=400; k2=+∞.

Тогда 𝒙𝟐=(+∞−350)/20=+∞; 𝒙𝟏=(400−350)/20=2,5

Тогда Ф(+∞)=0,5; Ф(2,5)=0,4937

𝑃(400≤𝑘≤+∞)=0,5−0,4937=0,0063
б) меньше 200 д.е.;

Здесь k1=0; k2=200.

Тогда 𝒙𝟐=(200-350)/20=-7,5; 𝒙𝟏=(0−350)/20=-17,5

Тогда Ф(-7,5)=-0,5; Ф(-17,5)=-0,5.

𝑃(200≤𝑘≤+∞)=−0,5−(−0,5)=0
в) больше 180 д.е. и меньше 250 д.е.;

Здесь k1=180; k2=250.

Тогда 𝒙𝟐=(250−350)/20=-5; 𝒙𝟏=(180−350)/20=-8,5

Тогда Ф(-5)=-0,4999; Ф(-8,5)=-0.5

𝑃(180≤𝑘≤250)=-0,4999−(−0,5)=0,0001
Найти вероятность, при которой отклонение страховой выплаты от среднего значения не превысит трехкратного стандартного отклоне­ния (трех сигм):

Здесь k1=𝒌 ̅ -𝟑𝑺 ̅=140 ; k2=𝒌 ̅ +3𝑺 ̅=260.

Тогда 𝒙𝟐=(260−350)/20=-4,5; 𝒙𝟏=(140−350)/20=-10,5

Тогда Ф(-4,5)=-0,4999; Ф(-10,5)=-0,5

𝑃(140≤𝑘≤260)=-0,4999−(−0,5)=0,0001
С вероятностью 0,899 определить интервал, в котором будет находиться размер страховой выплаты. Какова при этом условии ожидаемая величина отклонения страховой выплаты от среднего зна­чения?

Здесь k1=𝒌 ̅ -𝒌′=350−𝒌′; k2=𝒌 ̅ +𝒌′=350+𝒌′

Тогда 𝒙𝟐=(350+𝒌′−350)/20=𝒌′/20; 𝒙𝟏=(350−𝒌′−350)/20= - 𝒌′/20

𝑃(350−𝒌′≤𝑘≤350+𝒌′)=Ф(𝒌′/20)−Ф(−𝒌′/20)=Ф(𝒌′/20)+Ф(𝒌′/20)=2Ф(𝒌′/20)=0,899

Ф(𝒌′/20)=0,449

𝒌′/20=1,64

𝒌′=32,8

350−𝒌′=317,2; 350+𝒌′=382,8

Таким образом с вероятностью 0,899 интервал, которому будут принадлежать страховые выплаты: [317,8;382,8]. При этом ожидаемая величина отклонения страховой выплаты от среднего зна­чения равна 32,8.
Задача 7. Страховщик собрал информацию о распределении страховых выплат по договорам страхования

Размер страховых выплат д.е.	Количество страховых договоров
0-2	A =100
2-4	1,5A =150
4-6	3A =300
6-8	8A =800
8-10	4A =400
10-12	1,2A =120
12-14	A =100

На уровне значимости а = 0,05 по критерию Пирсона проверить гипотезу страховщика о том, что распределение страховых выплат по договорам страхования соответствует закону нормального распределения.

Исходные данные по задаче: A определяются самостоятельно.
Решение:

А = 100

Критерий Пирсона основывается на проверке выполнения следующего неравенства:



Если неравенство выполняется, то с вероятностью 1-α можно утверждать, что выбранный закон распределения значений факторов риска адекватен.

В противном случае следует отвергнуть гипотезу об адекватности выбранного закона распределения.

Расчетное значение критерия вычисляется по следующей формуле:







Формализуем исходную статистическую таблицу: (𝑦𝑖=(𝑥(𝑖+1)+𝑥𝑖)/2)

yi	ni
1	100
3	150
5	300
7	800
9	400
11	120
13	100

Вычислим по этой таблице статистические оценки средней страховых выплат (𝑆в=𝑎) и среднеквадратического отклонения страховых выплат (𝜎в=σ).

a= ; σ=

					n‘=N( )
1,00	100
3,00	150
5,00	300
7,00	800
9,00	400
11,00	120
13,00	100
СУММА	1970		СУММА=	1	3940

Задача 8. Страховщик полагает, что убытки от огневых рисков подчиняются экспоненциальному распределению.

Среднее значение ущерба от огневых рисков по объекту за год оценивается страховщиком в размере A д.е.

Определить: а) вероятность предъявления иска по страховой выплате в сумме B д.е.; б) вероятность того, что предъявленный иск будет не более C д.е.;

в) построить графики функций распределения вероятностей и плотности распределения вероятностей на интервале возможных убытков [0,150].

Исходные данные по задаче: A, B, C определяются самостоятельно.
Решение:

A=600, B=800, C=300

При экспоненциальном законе распределения, функция распределения имеет следующий вид:

; - (a – математическое ожидание рассматриваемой случайной величины)
a=600; λ=0,0017

а) вероятность предъявления иска по страховой выплате в сумме 800 д.е.;

Функция распределения, зависящая от значения некоторой случайной величины – вероятность того, что случайная величина окажется меньше этого значения.

В случае непрерывной случайной величины, а страховщик выбрал именно этот вариант, вероятность конкретного значения случайной величины всегда будет равна нулю.
б) вероятность того, что предъявленный иск будет не более 300 д.е.;

𝑃(0<ущерб (предъявленный иск)<300)=𝐹(300)−𝐹(0)=

=(1-𝑒^(−0,0017∗300))− (1-𝑒^(−0,0017∗0)) =0,3995
в) построить графики функций распределения вероятностей и плотности распределения вероятностей на интервале возможных убытков [0,150]

Задача 9.

Дано: страховая сумма составляет S млн. руб., предел ответственности a%, а условная франшиза стоит f тыс. руб.

Определить: размер страхового возмещения (СВ), если 1) Ущерб равен PV1 < f тыс. руб., 2) Ущерб составляет PV2 > f млн. руб.


Решение:

S=1500, a=80%, f=70

Пусть ущерб равен 50 тыс. руб.

Так как предел ответственности 80%, следовательно и компенсировать потребуется страховщику только эти 80% от величины ущерба. А это равно 40 тыс. рублей.

Эта величина меньше условной франшизы, следовательно она не компенсируется.

Размер страхового возмещения равен нулю.

Пусть ущерб равен 700 тыс. рублей.

С учетом предела ответственности, это будет 560 тыс. рублей, что больше франшизы, следовательно ущерб компенсируется.
Задача 10.

Дано: совокупность данных, характеризующая объемы страховых сумм и страховых взносов не менее чем за 10 периодов. Статистическая оценка возникновения страхового события q. Требуется определить величину нетто-ставки страховой премии, проанализировать разбиение ее на основные части и премию за риск и предложить варианты по формированию брутто-ставки.


Задача 11.

Дано: функция распределения ущерба

Определить:

1) оценить величину ожидаемого ущерба (M(x))

2) оценить величину разброса ((x))

3) вычислить вероятность того, что ущерб будет принадлежать интервалу P(M(x)-σ(x)≤x≤M(x)+σ(x))







P(M(x)-σ(x))≤x≤M(x)+σ(x))=F(M(x)+σ(x))-F(M(x)-σ(x)).
Решение:

𝐹(𝑥)={(0, 𝑥𝜖(−∞;2];

(𝑥−2)/10,𝑥∈(2;12];

1,𝑥∈(12;+∞)

1) оценить величину ожидаемого ущерба (M(x))

𝐹′(𝑥)={0, 𝑥𝜖(−∞;2];

1/10,𝑥∈(2;12];

0,𝑥∈(15;+∞)

= 7

2. 
   оценить величину разброса ( (x))
   

𝜎(𝑥)=√(𝐷(𝑥))

𝐷(𝑥)=𝑀(𝑥^2 )−𝑀^2 (𝑥)

= 172/3

=49

𝐷(𝑥) = 41

=6,403

2. 
   вычислить вероятность того, что ущерб будет принадлежать интервалу P(M(x)-σ(x)≤x≤M(x)+σ(x))
   

M(x)=7

σ(x)=6,403

Тогда искомый интервал будет следующим: [0,597;13,403]. Тогда искомая вероятность будет определяться: P(0,597<x<13,403)=F(13,403)-F(0,597) =1,2806