Занятие 13. Контрольные вопросы для подготовки к занятию Сформулируйте, запишите математическое выражение закона Био Савара Лапласа и поясните его

• Название: Контрольные вопросы для подготовки к занятию Сформулируйте, запишите математическое выражение закона Био Савара Лапласа и поясните его
• Дата: 11.03.2023
• Размер: 0.74 Mb.
• Имя файла: Занятие 13.docx
• Тип: Контрольные вопросы; #980565
• страница: 2 из 4

C

I

Рис. 13.4

; (13.18)
, (13.19)
где - плотность витков, т.е. число витков, приходящихся на единицу длины соленоида; и - углы, под которыми из точки С видны концы соленоида (  ):
; (13.20)
, (13.21)
где L – длина соленоида; R – радиус катушки (рис. 13.4).

Если L  R, то магнитное поле внутри соленоида однородно и линии индукции ( ) перпендикулярны (нормальны) плоскости витков.

Такой соленоид называется бесконечно длинным или нормальной катушкой. Индукция и напряженность магнитного поля длинного соленоида рассчитывается по формулам
; (13.22)
. (13.23)
Методика расчета магнитных полей проводников с током заключается в следующем:

1. 
   Определить направление магнитных индукций, созданных элементами тока в данной точке, пользуясь правилом векторного произведения, или правилом обхвата правой руки.
   
2. 
   Записать выражение закона Био – Савара – Лапласа для каждой из составляющих индукции (напряженности ), созданных элементами тока в данной точке.
   
3. 
   Геометрически сложив элементарные индукции (напряженности ), создаваемые всеми элементами тока , определить величину индукции результирующего поля, созданного в данной точке:
   

. (13.24)
Этот метод справедлив и для определения индукции (напряженности ) магнитного поля, созданного несколькими проводниками с током конечной длины и разной геометрии.
Примеры решения задач
Задача 1. Определить индукцию магнитного поля , созданную отрезком бесконечно длинного прямого провода в точке, равноудаленной от концов отрезка и находящейся на расстоянии см от его середины. Сила тока, текущего по проводу, А, длина отрезка см (рис. 13.5).

Дано:

А

см = 0,6 м

см = 0,2 м

- ?

Рис. 13.5

Решение

1. 
   Каждый элемент тока в данной задаче создает индукцию , направленную в точке А перпендикулярно плоскости чертежа «к нам» (рис. 13.5).
   
2. 
   Все элементарные индукции направлены одинаково в точке А, поэтому геометрическую сумму всех векторов в точке А можно заменить арифметической, т.е.
   

.

3. 
   Запишем величину (закон Био – Савара - Лапласа) в скалярной форме:
   

. (1)
Преобразуем так, чтобы можно было взять интеграл по . Из чертежа
.
Подставим в формулу (1):
, (2)
где r – величина переменная, зависящая от угла :
(см. рис. 13.5).
Подставив r в формулу (2), получим
. (3)
Интегрируя выражение (3) в пределах от ₁ до ₂:
;
,
где ₁ – угол между направлением начального элемента тока и направлением радиус-вектора , проведенного от элемента к данной точке (угол острый); ₂ – угол между направлением конечного элемента тока и направлением радиус-вектора от элемента до данной точки (угол тупой) (см. рис. 13.5).

Из рисунка следует, что

;
.
Тогда
.
Подставим числовые значения величин:
Тл.
Ответ: Тл.
Задача 2. Два параллельных бесконечно длинных провода, по которым текут в одном направлении токи I = 60 А, расположены на расстоянии d = 10 см друг от друга. Определить индукцию магнитного поля: а) в точке, отстоящей от одного проводника на расстоянии r₁ = 5 см и от другого – на расстоянии r₂ = 12 см; б) в точке, отстоящей от I₁ и I₂ на расстояниях r₁ = r₂ = d; в) посередине между проводниками, r₁ = r₂ = .



Рис. 13.6
Решение

1. 
   Определим направление векторов и , созданных токами I₁ и I₂ в данной точке (рис. 13.6). перпендикулярен r₁, перпендикулярен r₂, так как r₁ иr₂ – радиусы силовых линий (от токов I₁ и I₂), а и являются касательными к силовой линии. На рисунке токи I₁ и I₂ перпендикулярны плоскости чертежа и идут “от нас”.
   
2. 
   Из рисунка видно, что . Их можно сложить геометрически, то есть по правилу параллелограмма. Величина индукции может быть найдена по теореме косинусов:
   

,
где  - угол между векторами и .

3. 
   - индукция, созданная отрезком прямого бесконечного тока. Но если ток бесконечный, то (рис. 13.5):
   

; .
где В₁ и В₂ – индукции, созданные бесконечно прямыми токами; r₀₁ = r₁, r₀₂ = r₂ – кратчайшее расстояние от тока до точки.
.
Вычислим cos : (из треугольника АВС по теореме косинусов):
.
а) Определим В_А:
Тл.
б) Если r₁ = r₂ = d, то задача упрощается (см. рис. 13.6, б):
; ;

(т.к.  = 60, cos  = 0,5);
Тл.
в) r₁ = r₂ = (токи параллельны) (рис. 13.7):



; ; .
r₁ = r₂ = (токи антипараллельны) (рис. 13.8):
; Тл.
Ответ: а) Тл; б) Тл;

в) ; Тл.
Задача 3. По тонкому проводящему кольцу радиусом R = 10 см течет ток I = 80 А. Найти магнитную индукцию В в точке, лежащей: а) на оси кольца на расстоянии 17,3 см от центра кольца; б) в центре кольца.