физика лекции по оптике. Курс лекций по физике ч волновая и квантовая оптика Строение атома и ядра Красноярск 2011 Волновая оптика 2
 Скачать 4.1 Mb.
|
|
7.12. Многолучевая интерференция. Интерферометры Для увеличения качества интерференционной картины используют приборы с многолучевой интерференцией, например, эталон Фабри-Перо, пластинку Луммера-Герке, интерферометры оптические, голографические и др . В зависимости от метода получения когерентных пучков интерферометры делят на два типа. К первому типу относятся интерферометры, в которых когерентные пучки получают в результате отражения лучей от двух поверхностей плоскопараллельной или клиновидной пластинки с образованием полос равного наклона или равной толщины. Это, например, интерферометры Физо, Майкельсона, Жамена и др. Ко второму типу относят интерферометры, в которых когерентные пучки получают с помощью лучей, вышедших из источника под углом друг к другу. Например, интерферометр Рэлея и др. Для измерения угловых размеров звезд и угловых расстояний между двойными звездами используют звездный интерферометр (риса. Угловое расстояние между соседними интерференционными максимумами = / D (рис. 7.16, б. Прим. Атомный интерферометр используют для наблюдения стационарной интерференционной картины двух сдвинутых по фазе компонент какого- либо состояния атома. Волновая оптика 26 Интерферометры применяются для измерения длины волны спектральных линий и их структуры и абсолютного показателя преломления сред для измерения длин и перемещений тел для контроля формы микрорельефа и деформаций поверхностей оптических деталей чистоты металлических поверхностей и пр. При расчете интерференционной картины от многих когерентных источников используют метод векторных диаграмм. Рассмотрим случай равных амплитуд. Разность фаз двух соседних источников отличается на одно и тоже значение = const. На рис. 7.17 приведена векторная диаграмма, соответствующая сложению N = 5 колебаний с равными амплитудами ED DC CB BA AG E 01 . Амплитуда результирующего колебания изображается отрезком EG = Отрезок ОЕ = R можно найти по формуле R MD E sin sin 2 2 2 01 , (7.60) где ∆ / 2 = MOD, Результирующая амплитуда Е = 2ЕК. (7.61) Угол EOK N N 1 2 2 Из треугольника ЕОК находим EK E N 01 2 2 2 sin sin ( ) ( Следовательно, результирующая амплитуда E E N 0 01 2 2 sin sin ( ) ( ) . (7.62) Так как интенсивность J пропорциональна квадрату амплитуды, то интенсивность результирующего колебания Рис. 7.16 Рис. 7.17 Волновая оптика 27 J J N 01 2 2 2 2 sin sin ( ) ( ) , (7.63) где J 01 интенсивность одного источника колебаний. При 0 уравнение для интенсивности принимает вид J = J 01 N 2 . (7.64) Таким образом, интенсивность главного максимума при интерференции N источников пропорциональна квадрату числа источников. Многолучевую интерференцию можно получить с помощью эталона Фабри-Перо оптического интерференционного спектрального прибора (интерферометра) с двумерной дисперсией, который обладает высокой разрешающей способностью. Его используют для разложения излучения в спектр. Он состоит из двух плоскопараллельных стеклянных пластин Аи В, которые установлены строго параллельно на малом расстоянии друг от друга (рис. 7.18). Внутренние поверхности пластин покрыты полупрозрачным слоем серебра с коэффициентом отражения R 0,9 0,95. Оптическая разность хода между каждой парой интерферирующих лучей = 2ndcos + , где d ширина зазора между пластинами n абсолютный показатель преломления воздуха. Второе слагаемое учитывает дополнительное двукратное отражение одного из лучей. В результате интерференции на экране наблюдается система светлых и темных колец равного наклона. Важным преимуществом интерферометра Фабри-Перо является его большая светосила. Его угловая дисперсия значительно превышает дисперсию других аналогичных аппаратов. Он используется также в объемных резонаторах оптических квантовых генераторов (лазеров. Многолучевую интерференцию можно получить и с помощью пластинки Луммера-Герке, изготовленной из стекла или плавленого кварца толщиной от 3 до 10 мм и длиной 30 см (рис. 7.19). Рис. 7.18 Волновая оптика 28 Угол падения лучей для системы стекло-воздух близок к предельному углу полного внутреннего отражения. Лучи, испытав многократные отражения от поверхностей пластинки, выходят из нее с близкими интенсивностями. Можно получить до N = 10 15 пучков с каждой стороны пластинки. На экране наблюдаются интерференционные полосы равного наклона. Условие интерференционного максимума 2ndcos = m , где d толщина пластинки угол преломления в стекле. Многолучевая интерференция позволяет создать отражатели с высоким коэффициентом отражения при заданном коэффициенте пропускания и минимуме поглощения. На рис. 7.20 приведена система из пленок сульфида цинка ZnS (n =2,3) и криолита Na 3 AlF 6 (n =1,32). Система из одиннадцати слоев позволяет получить коэффициент отражения R 99%, коэффициент пропускания 3,5%, коэффициент поглощения А 0,5%. Рис. 7.19 Рис. 7.20 Волновая оптика 29 Лекция 3 8. ДИФРАКЦИЯ ВОЛН 8.1. Принцип Гюйгенса-Френеля Любую плоскую электромагнитную волну можно представить в виде световых лучей, те. в виде узкого пучка света. В однородной среде свет распространяется прямолинейно, что подтверждается образованием тени от непрозрачных предметов. Любое отклонение при распространении волны от законов геометрической оптики называют дифракцией. Благодаря дифракции световые волны (как и любые другие волны, например, акустические) могут попадать в область геометрической тени огибать препятствия, распространяться вдоль поверхностей, проникать сквозь малые отверстия, размеры которых сравнимы или меньше длины волны. Для объяснения дифракции света (волновая природа света) используют принцип Гюйгенса-Френеля: каждая точка фронта волны является источником вторичных волн, которые когерентны и интерферируют. Принцип Гюйгенса-Френеля позволяет найти результирующую амплитуду в некоторой точке пространства. Согласно принципу Гюйгенса- Френеля свет должен наблюдаться в тех точках пространства, куда при интерференции вторичные волны приходят в одинаковой фазе (усиливают друг друга максимум интерференции. В тех точках пространства, куда они приходят в противофазе (гасят друг друга минимум интерференции, наблюдается темнота. Физический смысл огибающей вторичных волн заключается в том, что все вторичные волны колеблются в этот момент в одинаковых фазах и их интерференция приводит к максимальной интенсивности света. По этой причине и отсутствует обратная волна. Действительно, вторичные волны, распространяющиеся вперед от волнового фронта, попадают в невозмущенное пространство. Они интерферируют только друг с другом. Вторичные волны, идущие назад, где распространяются в противофазе сними первичные волны, гасят друг друга. 8.2. Метод зон Френеля Строгий расчет дифракции света связан с математическими трудностями. Френель предложил более простой метод для объяснения дифракции света, который называют методом зон Френеля. Согласно этому методу в любой момент времени волновую поверхность S разбивают на отдельные зоны, каждая из которых отделена от предыдущей на /2 (рис. 8.1). При распространении плоской монохроматической электромагнитной световой) волны (параллельный пучок лучей) в т. М на экране наблюдается дифракция света в виде чередующихся светлых и темных колец. Волновая оптика 30 На произвольной волновой поверхности S, находящейся на расстоянии r 0 (ОМ) от экрана, выделим зоны которые в данном случае, образуют ряд концентрических окружностей (колец. Границей первой (центральной) зоны служат точки поверхности S, находящейся на расстоянии r 1 = r 0 2 от точки М (рис. 8.1). Соответственно точки В, С волновой поверхности, находящиеся на расстоянии r 1 = r 0 + , r 3 = r 0 3 2 и т. дот т. М, образуют границы второй, третьей и т.д. зон Френеля. Найдем радиусы зон Френеля. В ОАМ радиус первой зоны R r r 1 0 2 0 2 2 ( ) , те) где r 0 расстояние от т. О дот. М длина волны света. В ОВМ радиус второй зоны R r r 2 2 0 2 0 2 ( ) или R r 2 0 2 , (8.2) где слагаемым 2 пренебрегаем, так как 2 < r 3 0 3 и т. д. (8.3) Следовательно, для любой m й зоны Френеля R m r m 0 , (8.4) где m = 1, 2, 3, ... . Используя (8.1), находим площадь первой зоны S 1 = R 1 2 = r 0 . (8.5) Все остальные зоны Френеля представляют собой концентрические полосы. Поэтому площадь второй зоны равна разности площадей круга радиуса R 2 и R 1 , те) Площадь третьей зоны S 2 = R 3 2 R 2 2 = r 0 и т. д. Площадь m ой зоны S m = r 0 . (8.7) Таким образом, площади всех зон Френеля равновелики и содержат одинаковое количество вторичных источников. Рис. 8.1 Волновая оптика 31 Вторичные волны, возбуждаемые в т. Мот двух соседних зон, противоположны по фазе и при наложении гасят друг друга. Так как оптическая разность хода в т. М равна нечетному числу длин полуволн условие минимума интерференции. Следовательно, амплитуду результирующей волны можно найти по формуле А = А А + А А + ... , (8.8) где А, А, А, ... – амплитуды волн, возбуждаемых в т. М 1-, 2-, й и т. д. зонами Френеля. Чередование знаков «±» вызвано тем, что соседние зоны гасят друг друга. Однако по мере увеличения номера зоны величина амплитуда волны от соответствующих зон уменьшается, те. А > А > А > А > ... . Общее число зон Френеля на волновом фронте велико (N 10 5 ). Результирующую амплитуду можно получить, если представить (8.8) в следующем виде A A A A A A A A A 1 1 2 3 3 4 5 1 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) , (8.9) так как все выражения, стоящие в скобках, равны нулю. Следовательно, при полностью открытом фронте волны амплитуда результирующей волны равна половине амплитуды первой зоны Френеля Если свет распространяется от близкого точечного источника S (риса, б, то применяя метод зон Френеля находим, что радиус й зоны , m b a ab r m (8.10) где a – радиус волновой поверхности b – расстояние от вершины волновой поверхности до экрана m – номер зоны длина волны света. Волны, возбуждаемые в т. М любым четным числом зон, противоположны по фазе и при наложении гасят друг друга, те. в центре дифракционной картины наблюдается темное пятно (рис. 8.2, б. Если число зон нечетно, тов центре дифракционной картины наблюдается светлое пятно (риса. Если в формуле (8.2, а) положить a = b = 1 ми нм, то радиус первой (центральной) зоны Френеля r 1 = 0,5 мм. Поэтому практически можно считать, что свет распространяется от точечного источника S дот. М прямолинейно. В связи с этим свет при распространении можно рассматривать в виде лучей. Рис. 8.2 Волновая оптика 32 8.3. Метод векторных диаграмм Амплитуды и фазы световых волн (колебаний) в задачах на дифракцию с использованием зон Френеля можно найти графически. Все зоны разбивают еще наряд равных по амплитуде участков. Каждый из них отличается от соседнего участка по фазе на величину = /N, где N число частей, на которые разбита одна зона. Колебания на краю зон отличаются по фазе на . Результирующая амплитуда волны каждой зоны E E i где E i амплитуда i- го участка зоны. Колебание, возбуждаемое каждым участком первой зоны, будем характеризовать вектором 11 E , который направлен под углом 11 = / N, например, коси Х (рис. 8.3). Колебания второго участка изобразим таким же вектором, но направленным под углом 21 к первому вектору и т. д. В результате построения всей векторной диаграммы для одной зоны вектор, представляющий колебание последнего участка зоны, своим концом замкнет многоугольник в т. А. (на рис. 8.3 зона состоит из N = 8 участков. Следовательно, вектор E 1 = OA амплитуда результирующего колебания всей первой зоны I, а результирующая фаза 1 = /2. На рис. 8.3 вектором E 1 * = 2 2 1 E изображена амплитуда колебания, возбуждаемой от открытой половины первой зоны. Ее фаза = /4. При распространении неограниченной волны вся бесконечная совокупность зон дает векторную диаграмму, в пределе переходящую в спираль (рис. 6.4). Амплитуда результирующего колебания E = OO 1 = E 1 2 , а ее фаза = /2. Например, приоткрытых двух зонах, вектор даст амплитуду волны первой зоны I, а вектор второй зоны II). Эти векторы направлены противоположно, поэтому их результирующая амплитуда равна вектору OB (рис. 8.4). Метод векторных диаграмм для нахождения амплитуд и фаз удобен при решении задач, когда имеет место перекрытие непрозрачным экраном ряда или части зон. Метод расчета освещенности за системой экранов с использованием зон Френеля положен в Рис. 8.3 Рис. 8.4 Волновая оптика 33 основу теории зонных пластинок. Действительно, интенсивность максимумов дифракционной картины в т. М можно увеличить, если использовать амплитудную зонную пластинку, в которой, например, все четные зоны (пластинка со светлым центром) или все нечетные (пластинка с темным центром) можно перекрыть непрозрачным экраном. Тогда при А = А = А = ... А рез = А + А А+ ...= N A 1 2 . (8.11) Интенсивность J = 4 A N 2 1 2 . (8.13) Еще больший эффект можно получить с помощью фазовой зонной пластинки (Релей, Вуд), в которой, регулируя толщины пластинки, можно фазу колебания, например, четных зон Френеля или нечетных, изменить на, противоположную. Тогда А = N 1 i i A =2N 2 A 1 . (8.14) Соответственно интенсивность J = 4N 2 A 1 2 /4. (8.15) Метод зон Френеля качественно объясняет причину появления светлого пятна в центре тени от круглого диска пятно Пуассона, которое создано вторичными волнами от первой кольцевой зоны Френеля, окружающей диск. 8.4. Дифракция Френеля на круглом отверстии Пусть непрозрачный экран с круглым отверстием некоторого радиуса R освещается сферической волной (рис. 8.5). Если расстояния L и r удовлетворяют условию , m r L r L R m то при нечетном m в т. M на экране Э) в центре дифракционной картины будет светлое пятно (max, риса. При четном m в т. M на экране (Э) будет темное пятно (min, рис. 8.5, б. Согласно метода зон Френеля результирующая амплитуда волны в т. М будет соответствовать условию А = А А + А А + ... , А м , (8.16) где А м берется со знаком « + », если m нечетное, и со знаком « », если m четное. После несложных преобразований получим, что результирующая амплитуда А = А / 2 А м / 2. (8.17) Вывод экран с отверстием дает увеличение амплитуды в 2 раза, а интенсивности в 4 раза. Рис. 8.5 Волновая оптика 34 8.5. Дифракция на прямой щели Различают два вида дифракции дифракцию Френеля и дифракцию Фраунгофера (в параллельных лучах) в зависимости от соотношения между размерами тела, на котором происходит дифракция, и величиной зоны Френеля R m r Пусть плоская монохроматическая волна (дифракция Фраунгофера) падает на узкую щель в непрозрачном экране (риса, где ширина щели много меньше ее длины (а ); АСа оптическая разность хода лучей от краев щели ВС фронт волны. При достижении фронтом волны щели, в соответствии с принципом Гюйгенса-Френеля, все точки щели становятся источниками вторичных волн, колеблющихся в одинаковой фазе. Все пространство за щелью будет охвачено волновым процессом, приводящим к дифракции света. Найдем условия максимума и минимума дифракции света на щели для произвольного угла дифракции . Для этого разделим щель на зоны Френеля, которые будут иметь вид полос, параллельных ребру щели. При интерференции света от соседних зон щели результирующая амплитуда будет равна нулю, так как колебания в них происходят в противофазе. Действительно, если z a 2 sin есть число зон в щели, то при четном числе зон z = 2k, где k = 1, 2, 3, ..., получаем условие минимума, a k sin 2 2 . (8.18) При нечетном числе зон z = (2k + 1) условие максимума, те) Интенсивность света в точке, положение которой определяется углом дифракции (рис. 8.6, в, J J a a 0 2 2 sin sin sin , (8.20) где J 0 интенсивность света в центре дифракционной картины. Рис. 8.6 Волновая оптика 35 Угловое положение го максимума интенсивности дифракции на щели определяется по формуле sin k k a 2 1 2 . (8.21) Приданной ширине щели положение максимума и минимума зависит от . Чем больше длина волны, тем больше расстояние между максимумами. Поэтому при освещении щели белым светом в центре дифракционной картины наблюдается белая полоса, так как главный максимум (нулевого порядка) является общим для всех длин волн. Максимумы же 1-, 2-, го и т. д. порядков будут окрашены в цветные полосы от фиолетового, синего, голубого и т. д. до красного включительно, симметрично расположенные относительно т. 0 (рис. 8.6, б. Если световая волна падает на щель под углом , то оптическая разность хода между крайними лучами = а sin ). Поэтому условие дифракционного минимума записывается в виде а sin ) = k . (8.22) 8.6. Дифракционная решетка Дифракционная решетка высококачественный спектральный прибор, представляющий собой совокупность большого числа регулярно расположенных одинаковых параллельных друг другу щелей шириной а, разделенных непрозрачным промежутком b, нанесенных на плоскую или вогнутую (выпуклую) поверхность. Применяется для разложения излучения в спектр, определения длины волны света и пр. Решетка характеризуется периодом d = a + b, числом щелей на единицу длины n = 1/d и общим числом щелей N. Общая длина решетки L = Nd. (8.23) Различают амплитудные и фазовые дифракционные решетки. У амплитудной дифракционной решетки периодически изменяется коэффициент отражения или пропускания, что приводит к изменению амплитуды падающей волны. У фазовой дифракционной решетки штрихи имеют специальную (например, треугольную) форму, которая изменяет фазу световой волны (рис. 8.7). Если на плоскую отражательную решетку падает световая волна в виде параллельного пучка лучей, тов результате интерференции когерентных лучей от всех N штрихов решетки пространственное (по углам) распределение интенсивности света можно представить в виде суммы двух функций J = J N + Функция J 1 определяет интенсивность света при дифракции на одном Рис. 8.7 Волновая оптика 36 штрихе (рис. 8.8, б. Интенсивность J N обусловлена интерференцией N когерентных лучей от всех штрихов решетки. Для данной длины волны функция J N определяется периодом d, полным числом штрихов N, углами падения и дифракции и не зависит от формы штрихов, те) Оптическая разность хода между когерентными параллельными лучами, падающими под углами от соседних штрихов фазовой отражательной дифракционной решетки, = АВ+СD = d(sin +sin ). (8.25) Функция J N есть периодическая, с регулярной интенсивностью главных максимумов и вторичными максимумами малой интенсивности (риса. Между соседними, главными максимумами располагаются N-2 вторичных максимумов и N-1 минимум. Положение главного максимума определяется из условия мах m (m=1, , 3,...). (8.26) Таким образом, условие максимума определяется уравнением решетки = d(sin + sin ) = m . (8.27) Главные максимумы возникают в направлениях, если оптическая разность хода между соседними когерентными пучками равна целому числу длин волн. Интенсивность всех главных максимумов одинакова J Nmax N 2 . (8.28) Функция J 1 зависит от d, , , , от формы штриха. Интенсивность максимумов дифракционной решетки можно рассчитать по формуле J = N 2 J 1 . (8.29) Фазовую дифракционную решетку с треугольным профилем штриха, концентрирующую около 80% энергии светового потока при m 0 (обычно m =1 или m = 2) называют эшеллетом. Угол, под которым происходит концентрация падающего светового потока в спектре, называют углом блеска. Изменяя угол наклона штриха грани, можно совместить центральный дифракционный максимум функции J 1 с любым интерференционным главным максимумом функции J N любого порядка, кроме m 0 (рис. 8.8, в. Рис. 8.8 Волновая оптика 37 Интенсивность для данного угла дифракции дифракционной решетки нахолят по формуле J J N d d , sin (sin sin ) sin (sin sin ) [ ] [ ] 1 2 2 . (8.30) При этом углы и мах должны одновременно удовлетворять соотношению (8.26) и + = 2 . (При нормальном падении монохроматического света на прозрачную дифракционную решетку на экране возникает дифракционная картина (рис. 8.9), для которой условие максимума принимает вид = d sin = m . (8.32) Действительно, если для расчета дифракционной картины использовать метод зон Френеля, то каждую щель разделим на z зон. Если в каждой щели укладывается четное число зон z, тона экране возникает минимум, для которого справедливо условие минимума для одной щели. Если в каждой щели укладывается нечетное число зон, то каждая из них становится точечным источником монохроматического света. В этом случае расчет дифракционной картины решетки сводится к задаче о расчете интерференционной картины от многих когерентных источников с постоянной разностью фаз const / 2 ( метод щелей Юнга. Например, прим, получаем условие минимума для дифракционной решетки dsin = (2m+1) /2 . (8.33) При мах = m условие максимума для дифракционной решетки, формула (8.32). Угловое положение го главного максимумам интенсивности дифракционной прозрачной решетки при нормальном падении света на нее определяется условием sin m, max m d . (8.34) Кроме минимумов, определяемых условием sin k, min 2 2 k a , (8.35) Рис. 8.9 Волновая оптика 38 между двумя соседними, главными максимумами располагаются N-1 добавочных минимумов, угловые направления которых определяются условием sin k N , (8.36) где k принимает целочисленные значения, кроме 0, N, 2N, 3N, ..., kN. Основными спектральными характеристиками дифракционной решетки являются Угловая дисперсия характеризует степень пространственного разделения лучей с разной длиной волны. После дифференцирования (8.32) имеем d d m d cos . (8.37) 2. Разрешающая способность дифракционной решетки R = d (8.38) или R = mN = Nd (sin sin ) , (8.39) где d минимальная разность длин волн двух монохроматических линий и + d равной интенсивности, которые еще можно различить в спектре, L = Nd длина решетки. В этом случае используют критерий Рэлея две спектральные линии разрешены, если центральный максимум одной совмещен с первым минимумом другой. 3. Область дисперсии дифракционной решетки = 2 1 величина интервала спектра, при котором спектр данного порядка m не перекрывается со спектром соседних порядков. Область дисперсии определяется из условия d (sin + sin max ) = m 2 = (m + 1) 1 , (8.40) те или N . Например, из уравнения решетки следует, что угол дифракции главных максимумов есть функция длины волны, темах. те. дифракционная решетка пространственно по углам разлагает излучение различных длин волн и на экране возникает одновременно несколько спектров для каждого значения m 0 (величину m = 0, 1, 2, ... называют порядком спектра. При m = 0 разложения в спектр не происходит, т. к. условие d(sin + sin ) = 0 справедливо для всех длин волн. А падающий и дифрагирующий лучи нулевого порядка располагаются симметрично относительно нормали к решетке. По обе стороны от направления на максимум нулевого порядка Волновая оптика 39 расположены максимумы и спектры m = 1, m = 2, ... порядков. Если на дифракционную решетку нормально падает плоская, световая волна белого цвета, тона экране наблюдается дифракционный спектр в виде чередования максимумов и минимумов. Причем, центральный максимум нулевого порядка окрашен в белый цвета по обе стороны его наблюдаются цветные полосы от фиолетового до красного цвета включительно (максимумы первого порядка, затем несколько дальше расположатся вторые цветные полосы (максимумы второго порядка) и т.д. Так как длина волны красного цвета кр 7 10 7 м, а фиолетового цвета ф 4 10 7 м, то красный конец спектра второго порядка накладывается на спектр третьего порядка. Еще сильнее перекрываются спектры более высоких порядков. Используя метод Фурье можно осуществить оптическую фильтрацию пространственных частот, например, с помощью метода двойной дифракции. Существуют дифракционные решетки, пропускная способность которых для света изменяется в направлении периодичности по синусоидальному закону. Их называют дифракционными решетками с синусоидальной пропускаемостью. Лекция 4 |