Методический материал Стерлядкин. учебник_стерлядкин. Курс лекций по физике учебное пособие москва 2017 2 удк 531 539. 1536 ббк 22. 222. 3622. 317
 Скачать 1.45 Mb.
|
|
________________________________________________________________ Примечание. Напомним правила дифференцирования произведения. Производные от произведения двух функций d f t g t dt вычисляется по правилу d f g df dg g f dt dt dt Если один из сомножителей – константа, то константу можно вынести за знак производной. Например, если const, то d f t df t dt dt _______________________________________________________________ Из (1.5) и (1.3) получим (учтѐм, что единичные векторы и векторы , , i j k - константы, и их можно вынести за знак производной dr V i j k i j k i j k x y z d dx dy dz x y z V V V dt dt dt dt dt (где dx Vx dt , dy Vy dt , dz Vz dt - являются проекциями вектора скорости на оси координат. 11 Вектор средней скорости за интервал времени вычисляется так V Δr ср t , где Δr - перемещение за время Средняя путевая скорость вычисляется как ср.пути V S t , где S – весь путь, пройденный телом за все время Единицы измерения скорости мс. Ускорение По определению ускорение a материальной точки есть производная еѐ скорости повремени или dV a dt (1.9) Поскольку скорость V - сама является производной радиус-вектора, то a является второй производной радиус-вектора. 2 dV d r a 2 dt dt (1.10) С учѐтом (1.8) получим dV d dVx dVy dVz a i Vx j Vy k Vz i j k dt dt dt dt dt i ax j ay k az (1.11) , где x 2 dVx x d a 2 dt dt , y 2 dVy y d a 2 dt dt , z z 2 dV z d a 2 dt dt являются проекциями вектора ускорения на оси координат. Расшифруем физический смысл формулы (1.9) . Для этого берѐм знаменатель и получаем c 1 V d a . Вектор ускорения a численно равен приращению вектора скорости за единицу времени. Единица измерения ускорениям с. Тангенциальная и нормальная составляющие ускорения Из соотношений (1.7) и (1.9) можно получить (здесь τ не является константой, поскольку он скользит по траектории) dV d(V τ) dV d τ a τ V dt dt dt dt (1.12) Можно показать, что производная dτ V n dt R , где R – радиус кривизны траектории- единичный вектор нормали к траектории. 12 Рисунок 1.5. Полное ускорение a и его составляющие a n и a Радиус кривизны траектории – это радиус R такой окружности, которая вписывается в данный участок траектории. С учетом последнего замечания (1.12) принимает вид 2 dV V a τ n a a τ n dt R (1.13) Итак, ускорение можно всегда разложить на две составляющие a τ - тангенциальное ускорение направленное по касательной к траектории и на нормальное ускорение a n , перпендикулярное к траектории. dV a a τ τ dt - тангенциальное ускорение приводит к изменению модуля скорости. 2 V a a n n R - нормальное ускорение приводит к изменению направления скорости. Рисунок 1.6. Ускорение a направлено в сторону вогнутости траектории Модуль полного ускорения а можно выразить через a n и a : 2 2 2 dV V 2 2 a a a n dt R (1.14) Полное ускорение всегда направленно в сторону вогнутости траектории Рис. 1.6.) 13 Пример 1: Равномерное движение по окружности V=const dV a 0 τ dt ; 2 V a n R ; a Пример 2: Равноускоренное движение по прямой, a=const. Для прямой радиус кривизны R=. dV aτ dt ; 2 2 V V a 0 n R ; a aτ 1.6. Угловая скорость и угловое ускорение Рисунок 1.7. Вектор угла поворота перпендикулярен плоскости вращения, а направление определяется по правилу буравчика. Рассмотрим движение материальной точки по окружности радиуса R. Введем вектор угла поворота Δ , который направлен по оси вращения и соответствует правилу буравчика. Угол измеряется в радианах рад. Угол в 1 радиан = 57.3 0 ). По определению угловой скоростью (омега) называют производную угла поворота повремени (Физический смысл) Угловая скорость численно равна углу поворота за единицу времени. Единица измерения угловой скорости [ ]=рад/с. Так как длина дуги dS связана с углом поворота d соотношением dS R d , где R=const, то dS d V R R dt dt Мы получили связь линейной скорости точки V се угловой скоростью вращения (1.16) 14 Рисунок 1.8. Векторы угловой скорости ω и углового ускорения как и вектор направлены перпендикулярно плоскости вращения. Угловым ускорением ε (эпсилон) называют производную угловой скорости повремени) Угловое ускорение численно равно изменению угловой скорости за единицу времени 2 2 d ω d ε dt dt (1.18) Нормальное и тангенциальное ускорения связаны с угловыми величинами следующими соотношениями dV d(R ) a R dt dt (1.19) 2 2 2 V R 2 a R n R R (1.20) 2 2 2 2 2 2 4 a a a R R R n (1.21) Единицы измерения углового ускорения [ ]=рад/с 2 ЛЕКЦИЯ 2. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ Динамика - раздел механики, изучающий движение тел под действием сил. В основе динамики лежат 3 закона Ньютона, сформулированные им в 17 веке. 2.1. Первый закон Ньютона Первый закон Ньютона (закон инерции Всякое тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока внешнее воздействие (силане заставит его изменить это состояние. Этот закон не является очевидным, поскольку практика показывает, что для равномерного движения санок необходимо их тащить с некоторой силой. Сейчас мы знаем, что эта сила равна силе трения и результирующая сила при равномерном движении равна нулю, но до Ньютона и Галилея считали, что для равномерного движения тела необходима фиксированная сила. 15 Данное свойство тел называют инертностью. Мерой инертности служит физическая величина, называемая массой тела m. Единица измерения m кг Первый закон Ньютона справедлив не во всяких системах отсчѐта. Например, если в системе отсчѐта А на тело не действуют силы и оно покоится, тов системе отсчѐта В, которая движется относительно Ас ускорением, мы увидим следующее на тело силы не действуют, а оно движется с ускорением. Следовательно, в системе отсчѐта В первый закон Ньютона не выполняется. Система отсчѐта, в которой выполняется первый закон Ньютона, называется инерциальной системой отсчѐта. Первый закон Ньютона неявно указывает на существование инерциальных систем отсчѐта. Если есть одна инерциальная система отсчѐта, то любая другая система от- счѐта, которая движется относительно первой равномерно и прямолинейно, также будет инерциальной. Все законы движения одинаковы во всех инерциальных системах отсчета. Поэтому все инерциальные системы эквивалентны, нельзя выделить главную. Это принцип относительности Галилея. Строго говоря, все системы отсчѐта, связанные с Землѐй, не являются инерциальными из-за вращения Земли. Однако, это вращение медленное, ив большинстве задач систему отсчѐта, связанную с Землѐй, можно считать инерциальной. С большой степенью точности, инерциальной можно считать Гелиоцентрическую систему отсчѐта, центр которой располагается в центре Солнца, а оси направлены на удалѐнные звѐзды. 2.2. Второй закон Ньютона Силой называется векторная величина, характеризующая меру действия одного тела на другое. Сила имеет величину (модуль, направление в пространстве и точку приложения. Сила может появляться как при взаимном контакте тел, таки на удалении посредством гравитационных, электромагнитных и других полей. Если на тело действует несколько сил F i , то их векторная сумма называется результирующей силой F F i Опыты показали, что под действием сил тела ускоряются, пропорционально результирующей силе F и обратно пропорционально инерционности тела, которую назвали массой m. Этот закон выражен как второй закон Ньютона. F a m или F m a (2.1) Соотношение (2.1) называют уравнением движения материальной точки или основным законом динамики материальной точки. Т.к. d V a dt , а const m , то (2.1) можно переписать 16 d V d(m V) d p F m dt dt dt Вектор p m V называется импульсом материальной точки. Так мы получаем другую запись второго закона Ньютона Скорость изменения импульса материальной точки равна действующей на неѐ силе d p F dt (2.2) Соотношение (2.2) является более общей формулировкой ого закона Ньютона еѐ можно использовать и для объектов с переменной массой. Из (2.1) следует, что при условии F 0 получим a 0 , те. в отсутствии сил тело движется равномерно прямолинейно, или покоится. Кажется, что первый закон Ньютона следует из го. Но первый закон Ньютона формулируют отдельно, т.к. в нѐм содержится утверждение о существование в природе инерциальных систем отсчѐта. Единица измерения силы 2 кг / F Н м с . (H - ньютон. 2.3. Третий закон Ньютона Взаимодействие тел всегда обоюдное. Это относится как к контактирующим телам, таки к телам, взаимодействующим посредством полей. Третий закон Ньютона Силы взаимодействия двух материальных точек i и j равны по модулю, противоположны по направлению и действуют вдоль прямой, соединяющей эти материальные точки F F ij ji (2.3) 2.4. Силы. Силы тяготения Силы тяготения (гравитации) обусловлены взаимным притяжением любых объектов, обладающих массой или энергией. (Напомним, что масса и энергия эквивалентны 2 E mc , где с – скорость света в вакууме. Силы гравитации описываются законом всемирного тяготения m m 1 2 F G 2 R (2.4) где m 1 и m 2 - массы взаимодействующих точечных тел, R - расстояние между телами, 11 2 2 G 6.67 10 Нм кг- гравитационная постоянная. Тело m на поверхности Земли притягивается поэтому же закону, но второе тело – это Земля, имеющая постоянную массу з М , и расстояние R до центра Земли можно приблизительно считать постоянным З. В этом случае 17 m З З (2.5) где константу 2 G MЗ g 9 м / ,8 2 RЗ с - называют ускорением свободного падения. Причина такого названия проста если на тело действует только одна сила тяжести, то уравнение движения имеет видимы получаем a , те. свободное тело падает на Землю с ускорением G З З Итак, на поверхности Земли на все тела действует сила тяготения, равная m g , направленная к центру Земли. Вес тела это сила, с которой тело за счѐт притяжения Земли действует на подвесили опору. Вес тела не всегда равен m g, а зависит оттого, с каким ускорением движется опора вверх или вниз. В частности, если опора движется вниз с ускорением, то вес тела будет равен нулю. (В свободнопадающем лифте или спутнике наступает невесомость. 2.4.2. Силы трения Силы трения возникают при контакте тел при условии, что они движутся относительно друг друга, или при наличии сил, стремящихся сдвинуть одно тело относительно другого. Силу трения для тел, движущихся относительно друг друга, (так называемое сухое трение) можно выразить соотношением F F тр n , где n F – сила нормального давления, а - коэффициент трения, зависящий от свойств поверхностей. Если же тела не смещаются относительно друг друга, например кирпич на слабо наклонѐнной доске, то сила трения меньше, чем F n , а еѐ величина такова, что выполняется условие равновесия тела F mg F F 0 i тр При увеличении угла наклона сила трения растѐт до тех пор, пока не станет равной n F . При больших углах наклона сила трения возрастать уже не может, F F тр n , кирпич начинает двигаться. Упругие силы Упругие силы возникают при деформации тел и направлены на восстановление формы тела. 18 В первом приближении можно считать, что величина упругой силы пропорциональна деформации x . В частности, для пружины F k x упр , где коэффициент k называют жѐсткостью пружины. Закон изменения импульса и закон сохранения импульса Рисунок 2.1. Вектор направлен туда же, куда и вектор скорости V, но его длина враз длиннее. Импульсом материальной точки называется величина P m V . (рис 2.1). Замкнутая система материальных точек – это совокупность материальных точек, на которую не действуют внешние, по отношению к системе, тела. Закон сохранения импульса Импульс замкнутой системы материальных точек сохраняется (те. вовсе моменты времени одинаков. Р V const сист i i i (2.6) Это фундаментальный закон природы, который не требует доказательств. Но его можно вывести для классической механики на основе законов Ньютона. Вывод закона изменения импульса и закона сохранения импульса для системы материальных точек Пусть система состоит из N материальных точек (рис. 2.2). Рисунок 2.2. Система материальных точек Найдѐм производную N N d P d P d сист i i F i dt dt dt i 1 i 1 19 Результирующую силу i F , действующую на ю точку, можно представить в виде суммы внешних и внутренних сил внутр внеш i i , где внутр внутр ij j Тогда N N N N d внутр внеш внеш внеш внеш сист i i ji рез dt i 1 i 1 j 1i 1 (2.7) Внутренние силы во второй сумме уравнения (2.7) попарно уничтожаются исходя из го закона Ньютона внут F 0 ij И мы получаем закон изменения импульсадля системы материальных точек внешн сист рез d P F dt (2.8) этот закон справедлив всегда для любой системы материальных точек. Для замкнутой системы внешние силы равны нулю внешн рез, следовательно d сист, откуда получаем, что суммарный импульс замкнутой системы сохраняется сист (2.9) мы вывели закон сохранения импульса для замкнутой системы материальных точек. Из (2.8) видно, что импульс системы сохраняется не только при отсутствии внешних сил, те. для замкнутой системы, но ив случае, когда результирующий вектор внешних сил равен нулю внешн рез, при этом система может быть и незамкнута. Центр масс и закон его движения Рисунок 2.3. Центр масс C это просто точка пространства. Центром масс системы из n материальных точек называют точку С с координатой 20 n m r m r ... m r 1 1 1 2 2 n n r m r i i m m ... m m c i 1 1 2 n (2.10) где i m - масса той материальной точки r i - радиус-вектор той материальной точки m m i - суммарная масса системы. В однородном поле сил тяжести центр масс совпадает с центром тяжести. В центре масс может не оказаться никакой массы это точка пространства. Найдѐм скорость центра масс n n n n d r d(m r ) d r 1 1 1 сист c i i i V m m V P C i i i i dt m dt m dt m m m i 1 i 1 i 1 i Величина n P P i сист i 1 является импульсом системы материальных то- чек.Итак, мы получили сист V (2.11) Подставляя (2.11) в (2.8) получим уравнение движения центра масс внеш C рез d(m V ) F dt (2.12) Итак, центр масс движется так, как двигалась бы материальная точка, масса которой равна массе всей системы, помещѐнная в центр масс и движущейся под действием силы, равной результирующему вектору внешних сил. ЛЕКЦИЯ 3. РАБОТА. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ. Работа Рисунок 3.1. При перемещении dr точки под действием силы F совершается работа А Примечание. Скалярное произведение двух векторов a и b обозначают либо точкой a b , либо круглыми скобками c (a, b) . В результате скалярного произведения двух векторов получается число c a b cos , где - угол между векторами a и b . 21 Элементарной работой А силы F при малом перемещении dr точки, к которой приложена сила, называется скалярное произведение F ирис) Работа обозначается A, а не dA, т.к. она не является полным дифференциалом) Примеры а) Пусть сила F и смещение dr направлены в одну сторону F Тогда δA F dr cos(0 ) F dr - работа максимальна. б) Если сила перпендикулярна перемещению dr : F dr То o δA F dr Cos90 0 - работа равна нулю. Работа переменной силы наконечном участке пути от 1 r до 2 r вычисляется как сумма элементарных работ (интеграл, (рис.3.2). Рисунок 3.2. Работа на участке пути складывается из элементарных работ. Криволинейный интеграл по траектории r r 2 2 ( F dr ) 12 r r 1 Работа, совершаемая за единицу времени, называется мощностью Р A P dt Поскольку d r V dt , то A (F dr) (F V)dt . Отсюда следует, что мощность равна P (F V) , (3.4) где V - скорость. Единица измерения работы A F Нм Дж (Джоуль) Единица измерения мощности P F Нм / с Дж / с Вт (Ватт 22 |