Методический материал Стерлядкин. учебник_стерлядкин. Курс лекций по физике учебное пособие москва 2017 2 удк 531 539. 1536 ббк 22. 222. 3622. 317
 Скачать 1.45 Mb.
|
|
8.9. Статистический смысл энтропии и второго начала термодинамики Рисунок 8.5. а) макросостояние (3:0) б) макросостояние (2:1) Рассмотрим 3 молекулы, находящиеся в сосуде, условно разделѐнным на 2 части (см. рис. Макросостоянием назовѐм описание всей системы, а микросостоянием - описание положения каждой молекулы. Макросостоянию (3:0) соответствует всего =1 возможное микросостояние см. риса. Макросостоянию (2:1) соответствуют =3 возможных микросо- стояния (см. рис.8.5.б). - называют статистическим весом данного макро- состояния системы равно числу возможных микросостояний, соответствующих данному макросостоянию. В нашем примере е макросостояние (2:1) более вероятно, чем е (3:0). Больцман доказал, что статистический веси энтропия S связаны соотношением) где k - постоянная Больцмана. Закон неубывания энтропии означает, что изолированная система стечением времени переходит вовсе более вероятные состояния, достигая максимального статистического веса и максимума энтропии в состоянии равновесия. 55 Ниже приведены дополнительные материалы, которые изучаются студентами самостоятельно ПРИЛОЖЕНИЕ 1. ЭЛЕМЕНТЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ, (СТОП. Постулаты СТО (постулаты Эйнштейна) Опыт показывает, что нельзя выделить главную инерциальную систему – все системы эквивалентны. Для классической механики, в которой для инерциальных систем отсчета справедливы Гауссовы преобразования системы координат, можно доказать, что все уравнения движения одинаковы во всех системах отсчета. Для скоростей близких к скорости света это далеко не было очевидным. Эйнштейн распространил этот принцип и на релятивистскую механику. 1-ый Постулат СТО. Принцип относительности Все законы природы одинаковы во всех инерциальных системах отсчѐта. Никакими опытами не отличить, движется ли инерциальная система или нет. Опыт показывает, что взаимодействие между телами распространяется не мгновенно, а ограничено скоростью света в вакууме, которую обозначают буквой С. Майкельсон и Морли (с 1880 по 1887 г) показали, что скорость света вдоль орбиты Земли и поперѐк неодинакова. Постоянство скорости света следовало и из уравнений Максвелла. Отсюда Эйнштейн сделал смелый вывод о том, что скорость света во всех инерциальных системах одинакова, что это фундаментальное свойство природы, которое нужно констатировать как опытный факт. ой Постулат СТО Скорость света во всех инерциальных системах от- счѐта постоянна. Эти два постулата сформулировал Эйнштейн в 1905 году. Эти два простеньких с виду постулата приводят к удивительным выводам, которые произвели революцию в физике. Рисунок П. Рассмотрим простой примерна рисунке П. Пусть Вася летит на ракете со скоростью C 2 относительно Маши, иве честь выпускает вперѐд луч света. За 1 секунду свет должен убежать от Васи на расстояние C , но за эту секунду 56 и сам Вася улетит от Машина. Значит, свет за 1 секунду удалится от Машина расстояние C C 2 . А это противоречит требованию о том, что свет в Машиной системе отсчѐта имеет скорость Это противоречие приводит к выводу о том, что, либо размер движущихся тел сокращается, либо время в разных системах течѐт по-разному. Оказывается, имеет место и то и другое и сокращение длины и замедление времени. Рассмотрим этот вопрос более подробно. П. Преобразования Лоренца Рисунок П. Рассмотрим две системы отсчета. Первая - неподвижная система k, в которой и время и координаты будем обозначать не штрихованными величинами. Вторая - подвижная система отсчета k ' , которая движется вдоль оси X со скоростью, ив которой все величины будут штрихованными. Снабдим системы и k 'универсальными часами за единицу времени примем время, за которое свет проходит некоторый вертикально расположенный эталонной длины стержень. В момент совпадения т. O и т. O ' , стержни можно сравнить и взять одинаковой длины. Рисунок П. Рассмотрим интервал времени между событиями, когда свет проходит стержень в системе k ' сверху вниз. Сточки зрения наблюдателя k ' это происходит за t ' , и длина стержня равна C t ' Сточки зрения наблюдателя k 57 свет распространяется наклонно в течение и будет снесѐн по осина расстояние, рис.П.1.3. Из теоремы Пифагора 2 2 2 (C t ') (V t) (C t ') откуда 2 2 2 1 1 V t t t C , (П) где Итак, t ' длительность события измеренного в k 'неподвижными в k 'часами (собственная длительность события) всегда меньше, чем t - его длительность, измеренная в системе k . Имеем замедление времени в движущейся ( k ' ) системе Аналогично можно показать, что размеры движущихся тел в направлении движения сокращаются 2 2 C V 1 L L (П, где L- собственная длина тела, измеренная неподвижной относительно тела линейкой. Исходя из двух постулатов, Эйнштейн вывел в 1905 году правила перехода из одной инерциальной системы в другую 2 1 2 2 1 x Vt x y y z z V t x C t и обратно 2 1 ' ' 2 2 1 x П, где 2 Эти преобразования носят имя Лоренца, он вывел их в 1904 году из уравнений Максвелла, ноне смог их правильно интерпретировать. Для медленных движений (V< 0 преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея (релятивистская механика переходит в классическую механику. 58 П. Преобразование и сложение скоростей Рисунок П. Пусть в системе k ' тело движется со скоростью V , имея следующие составляющие dt Найдѐм скорость тела V в системе k. По определению но x Vt x 2 1 , поэтому dx Vdt dx 2 1 V t x 2 C t 2 1 , соответственно V dt dx 2 C dt 2 1 Подставляя dx ив определение скорости V X , получим dx V V V dx Vdt dt X V X V V dx V V X dt dx 1 1 2 2 dt 2 C C C В результате мы получили релятивистский закон сложения скоростей V V X V X V V X 1 2 C (П) Поскольку в поперечных направлениях размеры не меняются, то dy 'и для V Y получаем (для V Z формула аналогична и здесь не приводится П) 59 Возвратимся к примеру с Васей и Машей. Если частица (свет, выпущенный Васей) движется в системе k 'со скоростью света ' V C X , тов (сточки зрения Маши) ее скорость C V C V V C C X V C C V 1 2 C те. тоже равна скорости света С. Постулат Эйнштейна не нарушается. П. Понятие о релятивистской динамике В классической механике масса тел m не зависит от скорости тела. Однако в конце 19 века в опытах по разгону электронов в электрических полях выяснилось, что с ростом электрического поля электроны разгонялись медленнее, чем это следовало из формул классической механики. На основе этих и других экспериментов был сделан вывод о том, что масса частиц растет с увеличением скорости частиц. Теория о зависимости массы m движущегося тела от его скорости держалась более 100 лет вплоть до наших дней. Однако более глубокие исследования показали, что масса тела m не зависит от его скорости и остается постоянной (инвариантной) при переходе от одной инерционной системы отсчета к другой. В современной специальной теории относительности (СТО) справедливы следующие положения 1. Масса тела m определяется энергией покоя тела Ео и не зависит от скорости тела. 2 П) 2. Движущееся тело, кроме энергии покоя E o обладает и кинетической энергией, а полная энергия тела равна П) 3. Полная энергия Е и импульс р движущегося тела описываются формулами 2 2 2 2 2 2 m C m V E E P V C V V 1 П Из (П) можно получить соотношение для связи полной энергии частицы се импульсом и массой 2 2 2 4 2 E P m C C (П) Безмассовые частицы, например квант электромагнитного излучения, движутся всегда со скоростью света С, а их импульс E P C (П) 60 Основное уравнение релятивистской механики имеет вид П) Отсюда следует и закон сохранения импульса const P сист В замкнутой системе релятивистский импульс сохраняется. В заключение отметим, что все формулы релятивистской механики переходят в формулы классической механики при скоростях V< 2 2 W E E mC m C m C 1 K 0 0 0 2 1 β (П) При малых скоростях С можно приближенно получить 1 1 2 2 2 W m C 1 1 m V K O O 2 2 те. при малых скоростях формулы релятивистской механики переходят в формулы классической механики. Примечание. При малых значениях x справедливо приближѐнное равенство (1 x) 1 x поэтому 1 1 2 2 2 (1 ) 1 2 Все уравнения релятивистской динамики инвариантны к преобразованиям Лоренца (не изменяются при переходе от одной инерциальной системы к другой. П. Выводы по специальной теории относительности 1. Понятия время, расстояние, масса не являются абсолютными, аза- висят от скорости тел. 2. Масса и энергия эквивалентны. 3. Пространство и время взаимосвязаны и образуют единое четырѐхмер- ное пространство-время. Изменяются понятия одновременности и другие. Мы рассмотрели частную (специальную) теорию относительности. Существует и общая теория относительности, в которой учитывается влияние гравитационного поля. В ней оказывается, что гравитационное поле приводит кис- кривлению пространства. ПРИЛОЖЕНИЕ 2. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА Мы рассмотрим три явления переноса теплопроводность, внутреннее трение и диффузию. Диффузия заключается в возникновении в газах или жидкостях направленного переноса массы. Внутреннее трение- это перенос импульса, а теплопроводность заключается в направленном переносе внутренней энергии(тепла). Рассмотрим длину свободного пробега частиц , те. расстояние, которое в среднем проходит молекула между столкновениями За время t молекула пройдѐт расстояние V t . Спрямим ее путь (рис.П.2.1). Рисунок П. Молекула столкнется со всеми молекулами, центры которых окажутся на расстоянии меньше 2r Введѐм радиус молекулы как радиус такого твѐрдого шарика, которым можно заменить молекулу при рассмотрении ее столкновений По пути молекула заденет все другие молекулы, центры которых находятся в цилиндре радиусом и длиной V t (рис.П.2.1). Число Z столкновений за время t равно числу молекул внутри цилиндра, а эта величина произведению объема цилиндра 2 (2r) V t на концентрацию молекул n 0 : 2 2 0 0 0 Z (2r) V t n 4 r V t n 4 2 V n , где - концентрация молекул Учитывая 2 за счѐт относительного движения молекул, получим число столкновений за единицу времени 2 0 0 Z 2 Z / t (2r) V t n 4 2 V n , где величина 2 r называется эффективным сечением молекулы. Итак, мы получили длину свободного пробега V t 1 Z 4 2 n 0 П) Длина свободного пробега обратно пропорциональна концентрации молекул давлению. Рисунок П. Диффузия – это перенос масса) Диффузия это перенос массы из мест с большей плотностью к местам c меньшей плотностью (рис.П.2.2). Перенос массы М пропорционален М -/Z - градиенту плотности (его физический смысл - изменение плотности на 1 длины. М S - площади переноса М t – времени переноса В результате получаем уравнение диффузии (Закон Фика): M D(d / dZ)S t П) D - называют коэффициентом диффузии Из классической молекулярно- кинетической теории можно показать, что D (1/ 3) V где перенос теплоты (внутренней энергии) от более нагретых частей к менее нагретым (рис.П.2.3). Перенос тепла пропорционален Q -T/Z - градиенту температуры Q S - площади переноса Q t - времени переноса В результате получаем уравнение теплопроводности t S dZ dT Q , (П) где - называется коэффициентом теплопроводности. Из классической теории уд. 1 3 V C , V где уд. С V - удельная теплоемкость при постоянном объеме, - плотность, - длина свободного пробега. в) Внутреннее трение (вязкость) возникает между слоями жидкости или газа, движущимися с различными скоростями (рис.П.2.4). 63 Рисунок П.2.4.При внутреннем трении происходит передача импульса между слоями Сила трения разгоняет медленный слой и тормозит быстрый. Сила трения пропорциональна тр F U / Z - градиенту скорости потоков. тр F S – площади соприкосновения слоев. В результате получаем уравнение для внутреннего трения du F S тр dZ П) где - коэффициент внутреннего трения (динамичная вязкость) Из классической теории можно получить (1 / 3) V , где - плотность вещества - средняя скорость молекул, - длина сводного пробега молекул. Коэффициенты переноса связаны между собой соотношениями уд V С ; D ПРИЛОЖЕНИЕ 3. РЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ П. Взаимодействие молекул реальных газов Рисунок П. Силы взаимодействия молекул в реальном газе В отличие от идеального газа в реальном газе молекулы взаимодействуют друг с другом. Силы отталкивания 13 1 r F отт очень быстро возрастают, начиная с некоторых r 0 - расстояний между центрами молекул (см. рис.П3.1). Силы притяжения 7 1 r F прит изменяются с расстоянием медленнее (см. рис. Поэтому на расстояниях 0 r r отт прит F F и молекулы притягиваются другу (Ван-дер-Ваальсовы силы притяжения. Потенциальная энергия взаимодействия 2 6 1 / / r C r C dr F W рез П представлена на рис. П3.2. Рисунок П. Потенциальная энергия взаимодействия Средняя кинетическая энергия теплового поступательного движения молекул 2 kT 3 W . При этом молекулы могут сблизиться до расстояния 1 r . (С повышением температуры 1 r убывает очень слабо, см. рис. П3.2). Расстояние 1 r называют эффективным диаметром молекул. Т. кто молекулы в потенциальной яме не остаются, и (за счет теплого движения) вблизи друг от друга (при r = r 0 ) не задерживаются. Итак, реальные молекулы имеют конечный размер и при обычных условиях испытывают некоторое притяжение. П. Уравнение состояния Ван-дер-Ваальса К чему приводит конечный размер молекул и их взаимное притяжение Рисунок П. Молекула у стенки притягивается внутрь сосуда 65 Т. к. молекулы имеют конечный объем, тов сосуде свободным останется не весь объем сосуда V, а объем (V - в, где в - поправка, определяемая объемом молекул. 1) Притяжение молекул между собой приводит к тому, что молекулы, находящиеся у стенки, испытывают притяжение внутрь сосуда и ударяют по стенкам слабее, чем в случае идеального газа (как бы тормозятся пружиной) см. рис.П.3.3) P P P ид , где Р- давление в реальном газе, Р ид – давление идеального газа. Поправка Р пропорциональна n концентрации оттягивающих молекул, n числу молекул в пограничном слое В итоге 2 2 V a n P (т. к. V n 1 концентрация обратно пропорциональна объему данного газа. Получаем давление идеального газа 2 V a P P ид Вводя эти поправки в уравнение Менделеева-Клапейрона, Ван-дер-Ваальс получил уравнение состояния для 1 моля реального газа RT b V V a P 2 (П) где V - объем, занимаемый одним молем газа, а - константы, зависящие только от вида газа. Для произвольного числа молей =m/μ объем V=V μ m/μ , и уравнение состояния принимает вид P m a V V m b m RT 2 П) П. Изотермы реальных газов. Фазы. Фазовые переходы. Рисунок П. Изотерма Ван-дер-Ваальса для реального газа Изотерма Ван-дер-Ваальса представлена на рис.П.3.4. Опыт показывает, что участок пунктирный участок ABCDE практически неосуществим и заменяется прямолинейным отрезком АЕ ( площадь АС = площади СЕ. 1. Участок ЕЕ соответствует газообразному состоянию вещества. По мере сжатия газа давление растет до точки Е. 66 2. Участок ЕА соответствует появлению вещества в жидком состоянии (конденсация газа. Чем ближе к точке А, тем больше доля жидкости в сосуде. 3. Участок АА` соответствует жидкому состоянию вещества. Давление растет очень быстро, жидкости, как правило, малосжимаемы. *) Участок Ев принципе можно реализовать. Он соответствует переохлажденному пару, а участок АВ - перегретой жидкости. На этих участках вещество находится в метастабильном неустойчивом состоянии, из которого вещество может скачкообразно перейти на стабильный участок прямой АЕ. Фазой системы называют все части системы, имеющие одинаковый химический и структурный состав. ( Например, жидкая, твердая и газообразные фазы. На участке АЕ одновременно в равновесии существуют жидкая и газообразные фазы. Равновесие фаз наблюдается при определенном давлении .П Н P , называемом давлением насыщенного пара Чем больше Т, тем больше .П Н P (см. рис.П.3.5). С ростом температуры горизонтальный участок конденсации поднимается вверх (давление Р н.п. растет) и укорачивается, до тех пор пока не сожмется в точку К (рис. П. Рисунок П. Набор изотерм для реального газа Точка К называется критической точкой. Изотерма при кр Т называется критической изотермой В точке К исчезают различия между жидкой и газообразной фазой, получается однородная среда. При кр газ никаким сжатием нельзя перевести в жидкость. Пунктирная линия КМ - линия начала конденсации газа, начала фазового перехода из газа в жидкость. Линия КЛ - конец конденсации, конец фазового перехода. Различают фазовые переходы 1 рода ирода. Фазовый переход, сопровождающийся поглощением или выделением теплоты, скачкообразным изменением плотности, молярного объема, называется фазовым переходом города (Пример испарения воды, плавление льда. Фазовый переход города не сопровождается выделением или поглощением тепла, плотность изменяется непрерывно, а скачком изменяется молярная теплоемкость, проводимость, вязкость и др. Пример переход из ферромагнитного состояния в парамагнитное. 67 П. Фазовые диаграммы РТ. Тройная точка Из рис.П.3.5 видно, что фазовые переходы пар - жидкость происходят при определенном давлении .П Н P , зависящем от температуры. Эту кривую равновесия между жидкостью и газом изображают в координатах РТ в виде отрезка Т р К (см. рис.П.3.6) (кривая парообразования. К - критическая точка. Рисунок П. Диаграмма состояния вещества Фазовый переход твердая фаза - жидкость (плавление) имеет свою зависимость Т р В (кривая плавления. Возможно также испарение твердой фазы сублимация) - кривая ОТ р Плоскость (РТ) этими кривыми разделяется натри области (твердая фаза, (жидкость) и (газ. Точка Т р , в которой в равновесии находятся все три фазы, называется тройной точкой. 68 ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ Название Формула Комментарии Мгновенная скорость dr V dt r - радиус-вектор, t – время Мгновенное ускорение 2 2 dV d r a dt dt а – численно равен изменению скорости за единицу времени Разложение ускорения на составляющие n a a a n a a a dt dV a - тангенциальная составляющая ускорения 2 n a V R - нормальная составляющая ускорения R – радиус кривизны траектории Угловая скорость Угловое ускорение d dt 2 2 d d dt dt d - вектор угла поворота Связь между линейными и угловыми величинами длина дуги, - угол поворота, R – радиус окружности, - угловое ускорение Второй Закон Ньютона основное уравнение динамики) dP F ma dt F - результирующая сила- импульс, m – масса материальной точки Третий Закон Ньютона 12 21 F F Силы и 21 F приложены к телами соответственно Закон изменения импульса для системы материальных точек d внеш сист Fрез Справедлив для любых систем материальных точек Закон сохранения импульса Р V const сист i i i Справедлив для замкнутых систем, (на которые не действуют внешние тела) Элементарная работа силы A Fd r FdrCos F - сила, dr - перемещение угол между F и dr 69 Работа на участке пути 2 12 1 A (F dr) F - сила, dr - перемещение, Кинетическая энергия тела к mV W 2 m – масса тела, V – скорость тела Закон изменения кинетической энергии всех сил W A А ВСЕХ СИЛ – работа всех сил, действующих на все точки системы Потенциальная энергия - тела на высоте H - пружины п W mgH 2 п kx W 2 m – масса тела x – смещение из положения равновесия k – жѐсткость пружины Закон изменения полной механической энергии системы E = W K +W П неконс 2 ЕЕ А А 12 неконс – работа некон- сервативных сил, (справедлив для всех систем) Закон сохранения полной механической энергии системы 2 Е Справедлив для консервативных систем, (в которых нет неконсерва- тивных сил) Момент инерции материальной точки 2 J m r m – масса точки, r – расстояние до оси Момент инерции тела 2 i i 2 V J m r J r dm V – объѐм тела, dm – элементарная масса Теорема Штейнера 2 ОО´ C J J mR m – масса тела R – расстояние между осями J ОО´ ,J C – моменты инер- ций относительно оси ОО´ и относительно оси параллельной ОО´ и проходящей через центр инерции тела С Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг оси 2 K J W 2 J – момент инерции - круговая частота Момент силы относительно точки О M r F M F "плечо F - сила, r - радиус- вектор из точки О в точку приложения силы Момент импульса относительно точки О L r P J L P "плечо p m V - импульс тела, r - радиус-вектор, J – момент инерции тела, ω - круговая частота вращения Закон динамики вращательного движения- момент силы и момент инерции относительно точки отсчѐта, Z Z L M , - тоже относительно оси z, ε - угловое ускорение Закон изменения момента импульса системы материальных точек внеш сист рез сист i L L - момент импульса системы внеш рез - результирующий момент внешних сил Закон сохранения момента импульса n L r p const сист i i i Справедлив для замкнутых систем, (на которые не действуют внешние тела) Релятивистское сокращение длины 2 2 l l 1 V C o l о – собственная длина тела, измеренная неподвижной относительно тела линейкой, С – скорость света, l – длина движущегося тела, V – скорость движущегося тела Релятивистское замедление времени o 2 2 1 V C , o - продолжительность события, измеренная неподвижными и движущимися относительно события часами, соответственно Релятивистский закон сложения скоростей скорость тела в системе k´ движущейся в направлении оси x со скоростью относительно системы k Релятивистский импульс масса тела, V – скорость тела, С – скорость света Энергия покоя тела Е о – энергия покоя, m – масса тела Полная энергия релятивистской частицы 2 к 2 m C E E W 1 V / C W K = ЕЕ кинетическая энергия релятивистской частицы Основной закон релятивистской динамики d p F dt p m V - релятивистский импульс 71 Таблица сравнения поступательного и вращательного движения. поступательное Вращательное Скорость/угловая скорость dr V dt d dt Ускорение/угловое ускорение Связь S R ;V R 2 n a R ;a R Сила/момент силы F M r F M F "плечо Масса/момент инерции m 2 J m r Импульс/момент импульса p m V L r P J L P "плечо Уравнение динамики dP F ma dt dL M J dt Закон изменения импульса момента импульса (для системы материальных точек внеш сист Fрез внеш сист рез Закон сохранения импульса момента импульса Для замкнутых систем) Р V const сист i i i 1 n L r p const сист i i i Кинетическая энергия 2 K m V W 2 2 K J W 2 Работа при малом перемещении СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ. Савельев ИВ. Курс общей физики. Вт. Том 1. Механика. Молекулярная физика и термодинамика - М КноРус, 2012. 2. Савельев ИВ. Курс общей физики. Вт. Том 4. Сборник вопросов и задач по общей физике - М КноРус, 2012. 3. Сивухин Д.В. Общий курс физики. В 5 томах. Том 1. Механика. - СПб.: Лань 2011. 4. Иродов И.Е. Механика. Основные законы. - М Бином. Лаборатория знаний, 2015. 5. Трофимова Т.И. Курс физики. - М Академия, 2014. 6. Трофимова Т.И. Сборник задач по курсу физики. - М Высшая школа. 2013. |