|
|
Методический материал Стерлядкин. учебник_стерлядкин. Курс лекций по физике учебное пособие москва 2017 2 удк 531 539. 1536 ббк 22. 222. 3622. 317
5.3. Закон изменения момента импульса. (Уравнение моментов) Пусть материальная точка массой m движется относительно неподвижной точки О со скоростью
V
. Продифференцируем еѐ момент импульса
L r p
повремени Но dr dt V
, поэтому в первом произведении векторно умножаются параллельные векторы V и mV , что даѐт ноль. В свою очередь dp dt F
, и мы получаем
L
r F
d
dt
или d L
r M
dt
(5.5) Это закон изменения момента импульса (уравнение моментов для одной материальной точки. Рисунок Моменты, обусловленные парами внутренних сил, противоположно направлены и попарно уничтожаются. Для системы из N материальных точек уравнение (5.5) можно написать для каждой точки системы, а затем сложить. Моменты сил, обусловленные внутренними силами внут i
F
, попарно уничтожатся. В результате для системы материальных точек получаем закон изменения момента импульса внеш сист рез
L
M
d
dt
(5.6)
,где сист i
1
N
i
- момент импульса системы материальных точек, внеш внеш рез i
i
1
N
i
- результирующий момент внешних сил, действующих на точки системы или на твердое тело.
5.4. Закон сохранения момента импульса Из закона изменения момента импульса для системы материальных точек внеш сист рез
L
M
d
dt
следует, что в замкнутых системах, где внешних сил нет и внеш рез , суммарный момент импульса рез, те. сохраняется, и мы получаем Закон сохранения момента импульса В замкнутой системе материальных точек момент импульса сохраняется.
33 сист i i 1 L r p Niconst (5.7) Примечание Момент импульса сохраняется ив незамкнутой системе материальных точек, если результирующий момент внешних сил внеш рез равен нулю. Закон сохранения момента импульса справедлив не только в классической механике, но и во всѐм материальном мире. В основе закона сохранения момента импульса лежит изотропность пространства, те. неизменность законов движения при повороте системы в пространстве на любой угол. 5.5. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. Момент инерции. Теорема Штейнера Рассмотрим вращение твердого тела вокруг некоторой неподвижной оси Z. Уравнение моментов (5.6) можно рассчитать для любой точки Она оси а затем спроектировать его на ось вращения внеш При этом моменты M
z и L
z
. можно рассчитывать как произведение силы или импульса на плечо, которое является расстоянием от оси до линии, вдоль которой направлен вектор силы или импульса, соответственно.
Рассмотрим вращение материальной точки, находящейся на расстоянии r вокруг неподвижной оси Z. При таком движении скорость точки V=rω, и для момента импульса получаем
2
z
L
r mV
r m r
mr
По определению, величина J
z
=mω
2
называется моментом инерции материальной точки относительно оси Z. Итак, момент импульса L
z материальной точки относительно оси вращения
Z равен
z z
J
L
(5.8) где J
z
– момент инерции относительно оси z, ω – угловая скорость. Для расчѐта момента инерции твѐрдого тела относительно оси, необходимо разбить тело на элементарные массы dm, для каждой рассчитать элементарный момент инерции dJ = r
2
dm и проинтегрировать все элементарные моменты инерции по всему объѐму тела V:
2
V
J
r dm
(5.9) Уравнение динамики тела, вращающегося относительно оси z, с учетом связи момента импульса с угловой скоростью (5.8.) будет иметь вид внеш
34 Здесь мы учли, что dω/dt является угловым ускорением ε. В результате мы получаем уравнение вращения твердого тела в виде, аналогичном второму закону Ньютона внеш) где внеш- проекция на ось Z результирующего момента внешних сил,
z
J
- является моментом инерции всего тела относительно оси Z. Рисунок При вращении тела вокруг оси OO’ еѐ момент инерции вычисляют по теореме
Штейнера.
При расчѐтах момента инерции тел, очень полезна теорема Штейнера, которая имеет следующий вид
2
OO '
C
J
J
mR
(5.11) где
OO '
J
´
- момент инерции относительно оси ОО´;
J
C
– момент инерции относительно оси параллельной ОО´ и проходящей через центр масс тела C; m– масса всего тела R– расстояние между осями. Рисунок 5.5. Обруч может вращаться вокруг гвоздя, вбитого в стену. Пример Рассчитаем момент инерции обруча, вращающегося на гвозде вокруг точки О. По теореме Штейнера, учитывая, что момент инерции обруча относительно центра масс С равен mR
2
, получим
2 2
2 Приведем табличные значения моментов инерции некоторых твердых тел.
35 Рисунок 5.6. 1- обруч, 2- диск, 3- тонкая палочка или стержень. 1. Обруч, массой m и радиусом R, при вращении вокруг оси, проходящей через центр обруча перпендикулярно его плоскости 2 J mR 2. Однородный диск массой m и радиусом R при вращении вокруг оси, проходящей через центр диска перпендикулярно его плоскости 2 J 2 mR 3. Однородная палочка массой m и длиной L, при вращении вокруг оси, проходящей через крайнюю точку 2 J 3 mL 5.6. Кинетическая энергия при вращении тела вокруг оси Полная кинетическая энергия любого тела складывается из кинетической энергии всех материальных точек тела. Разобьем тело на малые участки массой dm и сложим их кинетические энергии
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
z
k
V
V
V
J
V dm
r
dm
W
r Рисунок 5.7. Твердое тело разобьем на участки dm и сложим их кинетические энергии.
Итак, кинетическая энергия вращающегося тела равна
2 2
J
z
W
K
(5.12) где
J
z
– момент инерции тела относительно оси вращения Z;
- угловая скорость вращения тела
36 5.7. Кинетическая энергия тела при плоском движении Плоским называют движение, при котором все материальные точки движутся, оставаясь в параллельных плоскостях. Пример Колесо при движении велосипеда. Плоское движение можно представить как сумму поступательного и вращательного движения. Рисунок 5.8. Катящийся обруч участвует в двух движениях поступательном со скоростью цента масс и во вращательном вокруг центра масс. Можно показать, что кинетическая энергия при плоском движении равна сумме кинетических энергий поступательного движения тела со скоростью центра масс плюс кинетическая энергия вращения вокруг оси, проходящей через центр масс
2 2
mV
J
плоск c
c
W
K
2 2
(5.13) Где m – масса тела,
V
C
– скорость центра масс,
J
C
– момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс,
– угловая скорость вращения тела. Пример Найдѐм кинетическую энергию обруча, массой m, катящегося без проскальзывания со скоростью V. Момент инерции обруча
2
c
J
mR
. Угловую скорость вращения в системе центра масс найдем по скорости движения нижней точки обруча, которая вместе с землей движется назад со скоростью V=Rω. Откуда ω=V/R. В результате получаем по формуле (5.13):
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2
J
mV
mV
mR V
плоск
c
W
mR
K
R
Кинетическая энергия катящегося обруча оказалась больше, чем
2 Таблицу сравнения поступательного и вращательного движения смотри в конце конспекта.
5.8. Работа внешних сил при вращении твердого тела Пусть твердое тело может вращаться вокруг неподвижной оси. В точке на расстоянии от оси приложена сила F, которая направлена под углом α к касательной. Пусть тело под действием этой силы повернулось на некоторый угол dφ. При этом сила совершит работу
( )
A
F dS
FCos
dS
F dS
где α угол между направлением силы и касательной к окружности. Но при вращении величина перемещения dS=rdφ и направлена по касательной. Поэтому мы получаем для элементарной работы при вращении твердого тела
A
F rd
Md
(5.14) где М – момент силы относительно оси вращения, а dφ - угол поворота. Рисунок 5.9. Сила, приложенная к диску, создает момент силы М, который совершает работу
A
F При конечном угле поворота элементарные работы следует проинтегрировать в пределах от начального угла до конечного угла φ2:
2 РАЗДЕЛ 2. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА ЛЕКЦИЯ 6. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МОЛЕКУЛЯРНО-
КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
6.1. Статистический и термодинамический методы исследований Молекулярная физика изучает физические - свойства веществ исходя из представления об их молекулярном строении. Е основной метод - физическая статистика, в котором не следят за поведением каждой молекулы, а используют средние величины, осреднѐнные по огромному массиву молекул. В молекулярной физике происходит переход наших представлений в новое качество от точного знания мы переходим к знанию усреднѐнному, прибли- жѐнному. Мы не знаем (да и не стремимся узнать) как движется каждая из 10 молекул и не только потому, что рассчитать движение каждой молекулы технически сложно (10 20
диф. уравнений. Главное в том, что указать точное движение даже одной молекулы в замкнутом сосуде принципиально невозможно, т. к. свойства молекул и параметров движения носят вероятностный характер (квантовая механика.
38 На наше счастье в телах настолько огромное число молекул, что знать о движении каждой и ненужно, потому что их совместное результирующее действие сочень высокой точностью можно описать средними величинами. Рассмотрим пример давления газа на поршень, которое обусловлено ударами молекул. В молекулярной физике давление описывается одним числом Р. Насколько это обосновано Отметим, что в действительности сила давления флуктуирует вокруг некоторого среднего значения. Причѐм, чем больше число молекул, тем меньше относительные флуктуации и тем с большим основанием можно вводить понятие давления и считать его константой. (Относительные флуктуации р р 1/ n
, где n – концентрация молекул, и при
20 10
n
10
/
10
p p
). Таким образом, чем больше число молекул, тем меньше относительные флуктуации. Аналогично температура является мерой интенсивности (энергии) хаотического движения молекул и тем более точно описывает систему, чем больше в ней частиц. Принципиально иным подходом к свойствам веществ является термодинамика. Термодинамику, в отличие от молекулярной физики, не интересует строение тел. Термодинамика изучает количественные и качественные соотношение между макроскопическими характеристиками объектов (энергию, температуру, давление, фазовые переходы и т.д.), исходя из трех экспериментально установленных законов (начал, обладающих большой общностью. Поэтому термодинамический подход можно применять к большому кругу явлений (газы, твердые тела, электромагнитные поля и др. Термодинамика, как и молекулярная физика, не учитывает флуктуации и при малом числе частиц теряет смысл.
6.2. Основные понятия. Уравнение состояния идеального газа Напомним основные положения молекулярно-кинетической теории
1. Вещества состоят из атомов и молекул.
2. Атомы и молекулы находятся хаотическом тепловом движении.
3. Свойства макроскопических тел объясняются взаимодействием молекул. Основные термодинамические параметры состояния
1.Объѐм V м Давление P=dF/dS – численно равно силе, действующей на единицу площади перпендикулярно к ней. [Н/м
2
]=Па (паскаль) Температура Т К Кельвин Масса газа m Кг Равновесное состояние - состояние системы, которое стечением времени не изменяется пример неравновесного состояния - горячее тело внесли в комнату. Идеальный газ – это газ, в котором молекулы не взаимодействуют на расстоянии, а лишь при столкновениях. Размеры молекул исчезающе малы.
39 Моль - это набор из 23 10 6 элементов (Это число называют числом Авогадро и обозначают А) Молярная масса - это масса 1 моля вещества. Обозначается буквой μ. Размерность моля [μ]=кг/моль. Закон Авогадро (опыт В равных объѐмах различных газов при равных температурах и равных давлениях содержится одинаковое число молекул. Из закона Авогадро следует уравнение состояния идеального газа Клапейрона - Менделеева
m
pV
RT
(6.1) где Дж моль K
R
8,3
- универсальная газовая постоянная,
m
- число молей. Напомним основные изопроцессы, которые можно проводить с идеальным газом. Эти процессы автоматически следуют из уравнения состояния (6.1):
1. Изотермический (Т = const) PV = const (см. риса)
2. Изобарический (P = const) V = CT (см. рис.6.1б)
3. Изохорический (V = const) P = Т (см. рис.6.1в) Рисунок Графики изопроцессов: а) изотермический б) изобарический в) изохорический. Вывод основного уравнения
молекулярно-кинетической теории
Найдем давление газа на стенки сосуда. Рассмотрим следующую модель пусть в центре куба со стороной
l
находится молекула (рис. Условно можно считать, что молекула может двигаться водном из 6 возможных направлений. Пусть ее средняя скорость равна V. Ударяясь в стенки, молекула оказывает на них давление. Найдѐм его.
Рисунок 6.2 а) Молекула из центра куба может лететь к одной из 6-ти граней куба б) P
1
=mv
1
, P
2
=mv
2
- импульсы молекулы дои после удара о стенку 40 Сила, действующая на стенку при ударе одной молекулы равна силе, действующей на молекулу. Она равна отношению изменения импульса р молекулы ко времени этого изменения t: F p t После удара о стенку молекула упруго отражается и летит обратно 1 vv риса. Изменение импульса молекулы 2 , 2 1 1 pmvmvmv где m - масса 1 молекулы, 1 , 2 - скорости движения молекулы к стенке и обратно (рис.6.2.б). Изменение импульса стенки имеет противоположный знаки равно 2 pmv Молекула долетит до стенки и вернѐтся в центр куба через время dt= l/. Отсюда получаем, что сила, действующая на стенку, равна 2 p 2mv F t Средняя сила, создаваемая ударом одной молекулы равна Здесь мы угловыми скобками < > обозначаем усреднение по всем молекулам. Если число молекул в кубе n, ток данной стенке движутся их 1/6 часть. В таком случае они создают силу 2 1 6 и давление 2 2 1 2 2 3 3 3 3 2 nmmfnPlll . Величина 0 3 nnl - является концентрацией молекул. А величина 2 2 mWK - средняя кинетическая энергия одной молекулы. Итак, для давления идеального газа на стенки сосуда получаем основное уравнение кинетической теории газов 2 0 3 Pn кили
2 2
0 3
2
m
P
n
(6.2) Давление на стенку сосуда определяется произведением концентрации молекул n0 на их среднюю кинетическую энергию 2 2 mWK . 6.4.Молекулярно-кинетическое толкование температуры Перепишем основное уравнение кинетической теории для произвольной массы газа m. Пусть в объеме V содержится идеальный газ, имеющий молярную массу . Водном моле газа (массой ) содержится число молекул, равное числу Авогадро, если же масса газа равна m, то это составит m/ молей и общее
41 число молекул будет равно N= N
A
m/. С учетом объема V, занимаемого газом, нетрудно получить концентрацию молекул n
0
=N/V= (N
A
m/)/V. Подставляя это значение в соотношение (6.2), получим выражение
3 к, которое целесообразно сравнить с уравнением состояния идеального газа Мен- делеева-Клапейрона: Сравнение этих выражений позволяет получить величину средней кинетической энергии молекулы газа
3 3
2 к) По определению, отношение газовой постоянной R к числу Авогадро
A
N называют постоянной Больцмана и обозначают буквой
A
R
k
N
.;
k=1,38
.
10
-23
Дж/К. Таким образом, получаем, что температура тела Т с точностью до постоянного множителя 3/2
.
k равна средней кинетикой энергии поступательного движения молекул W
k
:
3 к
(6.4) С учетом данного выражения основное уравнение кинетической теории можно переписать иначе (основное уравнение кинетической теории
0 0
2 3
k
p
n W
n kT
(6.5)
Найдѐм среднюю квадратичную скорость поступательного движения молекул
V
ср.кв.
из выражения для средней кинетической энергии
2
m К откуда
2
V
V
3kT m
3RТ
ср.кв.
,
(6.6) где k
– постоянная Больцмана, m
– масса молекулы,
R
– универсальная газовая постоянная,
- молярная масса, Т – температура. При абсолютном нуле (Т = 0) движение молекул прекращается те.
0
K
W
6.5. Статистические распределения Задача статистического распределения - указать, какая доля частиц имеет заданные параметры. Например, какая часть людей имеет рост от Н до H + dH
42 рис, или какая часть молекул имеет скорость в интервале (V , V+dV) или энергию в интервале (W , W+dW). Рисунок 6.3 Пример статистического распределения
Площадь заштрихованного прямоугольника (см. рис) равна f(H)dH и является долей людей ростом от Н до Н
0
N
dN
dH
)
H
(
f
,
(6.7) где dN количество людей с ростом от Н до Н, N
0
– общее число людей. Площадь под всей кривой, с одной стороны равна интегралу f (H)dH
, с другой стороны, равна единице, т. к. общее число людей dN
N
0
, равно откуда следует, что )
1 0
dN N
f H Величина dN
N f (H)dH
0
- задаетчисло людей с ростом в интервале Н до Н. Вид статистики зависит от свойств частиц квантовые объекты подчиняются квантовым статистикам. ЛЕКЦИЯ 7. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МОЛЕКУЛ ПО ПАРАМЕТРАМ. ВНУТРЕННЯЯ ЭНЕРГИЯ И РАБОТА ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
|
|
|
Скачать 1.45 Mb.