Методический материал Стерлядкин. учебник_стерлядкин. Курс лекций по физике учебное пособие москва 2017 2 удк 531 539. 1536 ббк 22. 222. 3622. 317
 Скачать 1.45 Mb.
|
|
3.2. Консервативные и неконсервативные силы Рисунок Работа консервативной силы на участке аи б одинакова. Сила, действующая на материальную точку, называется консервативной или потенциальной, если работа этой силы зависит только от начального и конечного положения материальной точки. (Работа консервативной силы не зависит ни от вида траектории, ни от закона движения точки по траектории. 1A2 1B2 12 A A A , рис. 3.3) . Силы, не удовлетворяющие этому условию называются неконсервативными. Для консервативных сил изменение направления движения на противоположное приводит к изменению знака и для элементарной работы δA (F dr ) и для работы наконечном участке 1A2 2A1 A A Рисунок Работа консервативной силы по замкнутому контуру равно нулю. Работа консервативной силы на любом замкнутом контуре равна нулю рис. 3.4). Покажем это. Поделив замкнутый участок точками 1 и 2, получим 0 A A A A A 2 b 1 2 1 1 b 2 2 1 1 b 2 1 a Таким образом, для любого замкнутого контура L получаем L ( F dr Примеры консервативны сил силы упругости, силы гравитации, силы электрического взаимодействия. Примеры неконсервативных сил сила, действующая на тело со стороны человека,силы трения, силы сопротивления. 23 3.3. Потенциальная энергия материальной точки В математике доказывается, что если L ( F dr ) 0 для любого замкнутого контура L, то ( F dr ) -dW , те. F dr является полным дифференциалом некоторой скалярной функции координат ) W(r : dA ( F dr П (3.6) В физике эту скалярную функцию W ( r П называют потенциальной энергией Учитывая (3.6), работу на участке 1-2 можно представить в виде r r 2 2 A ( F dr ) dW W ( r )-W (r ) 12 П П П 2 r r 1 1 (3.7) Итак, работа А консервативной силы на участке траектории равна разности потенциальных энергий в начальной и конечной точках. Если потенциальную энергию в определѐнной точке пространства принять за нулевую, например W ( r П 0 , то A W ( r )-W (r ) W ( r П П П Получим, что потенциальная энергия материальной точки в данном положении r равна работе по перемещению материальной точки из положения r в фиксированное положение Поскольку вовсе физические уравнения входит либо разность потенциальных энергий, либо еѐ производные, топ можно определить с точностью до любой константы, поэтому неважно какую точку пространства принять за положение с нулевой потенциальной энергией. Если задана потенциальная энергия материальной точки П ( r ) , то легко найти силу, действующую на точку П П П (3.8) Здесь x означает частную производную. Объединяя (3.8) водно уравнение, получим П П П П W W W F - grad W i j k x y z (3.9) Вектор П W (r) называется градиентом и является вектором, компоненты которого равны частным производным. Градиент обладает интересным свойством – он указывает направление самого быстрого роста функции П. Альпинисты любят самые сложные маршруты, проложенные по градиенту, самому крутому подъему. Вода жесте- кает в направлении противоположном градиенту – туда, куда направлена сила. 24 3.4. Потенциальная энергия системы материальных точек Конфигурацией системы материальных точек называется совокупность положений каждой точки системы. Если силы, действующие на точки системы, зависят только от ее конфигурации, и сумма работ этих сил, при изменении конфигурации не зависит от пути перехода, а определяется только начальной и конечной конфигурацией, то такие силы называют консервативными. В такой системе можно ввести понятие потенциальной энергии системы, при этом работа консервативных сил при изменении конфигурации будет равна ) 2 ( W - (1) W П П 12 конс A (3.10) где W (1),W (п п значения потенциальной энергии системы в этих конфигурациях. Некую конфигурацию можно принять за уровень с нулевой потенциальной энергией п , тогда W (п будет равна работе консервативных сил по переводу системы из конфигурации (1) в конфигурацию (0). 3.5. Примеры 3.5.1. Потенциальная энергия тела в однородном поле тяжести Потенциальная энергия материальной точки на высоте H равна работе силы тяжести по перемещению материальной точки из положения H в положение Н, где потенциальную примем за нулевую. Рисунок 3.5. Тело на высоте Н обладает потенциальной энергией П W mgH При перемещении массы m с высоты Н на нулевой уровень сила тяжести совершает работу o A F H Cos0 mgH , которая и будет потенциальной энергией материальной точки m на высоте П (3.11) 3.5.2. Потенциальная энергия растянутой (или сжатой) пружины Пусть х - отклонение груза от положения равновесия. Сила упругости пружины F kx 25 Рисунок 3.6. Потенциальная энергия растянутой пружины равна 2 П При возврате пружины в исходное состояние, в котором П, сила упругости совершает работу 0 0 2 1 2 x x A A k xdx kx Таким образом, потенциальная энергия пружины 2 П (3.12) 3.5.3. Потенциальная энергия гравитационного притяжения двух материальных точек массой M и Материальную точку М считаем неподвижной. Принимая п при бесконечном удалении точек равной нулю, получим, что потенциальная энергия в некоторой точке r равна работе сил гравитации по перемещению массы m изданной точки r в бесконечность Рисунок 3.7. Элементарная работа отрицательна, т.к. угол между dr и F равен 180 П Таким образом, потенциальная энергия гравитационного поля, созданного двумя материальными точками, имеет вид П (3.13) 26 ЛЕКЦИЯ 4. ЗАКОН ИЗМЕНЕНИЯ И ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ПОЛНОЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ 4.1. Кинетическая энергия. Теорема об изменении кинетической энергии системы Пусть на материальную точку массой m действуют силы, результирующая которых F . Элементарная работа этих сил F dr A . Учитывая, что V F d m dt , а dr V dt , получим V F dr V V V d A m dt m d dt . Покажем, что скалярное произведение V V d равно 2 2 V d . Для этого найдѐм приращение для обеих частей очевидного равенства 2 V V V 2 ( V V) (V V) ( ) d d d V откуда следует С учѐтом последнего замечания элементарная работа принимает вид 2 F r 2 m V A d d (4.1) Интегрируя работу вдоль траектории частицы от точки 1 до точки 2, получим) Величина 2 2 K m V W называется кинетической энергией материальной точки. Итак, работа результирующей всех сил (или работа всех сил, действующих на материальную точку, тратится на приращение еѐ кинетической энергии. 12 2 1 всехсил K K A W W (4.3) В случае системы материальных точек уравнение (4.3) нужно написать для каждой материальной точки и затем сложить. В результате получим теорему об изменении кинетической энергии системы материальных точек. (1) (1) (1) 12 2 1 (2) (2) (2) 12 2 1 ( ) ( ) ( ) 12 2 1 K K K K n n n K K A W W A W W A W W 12 2 1 всехсил K K A W W 27 Здесь 12 всехсил A – работа всех сил, действующих на материальные точки системы (внешние, внутренние, консервативные и неконсервативные, те. все виды сил. W K1 и W K2 – кинетическая энергия всех точек системы в состоянии 1 и 2, соответственно. Итак, доказана Теорема об изменении кинетической энергии системы Изменение кинетической энергии системы материальных точек равно работе всех сил, действующих на точки системы. 12 2 1 всехсил K K A W W (4.4) Примечание: Следует отметить, что работу внутренних сил системы также следует учитывать, т.к. они изменяют кинетическую энергию системы. 4.2. Закон изменения и закон сохранения полной механической энергии Рассмотрим систему из n материальных точек, на которые действуют и консервативные и неконсервативные силы. Согласно (4.4) работа всех сил 12 всехсил A затрачивается на приращение кинетической энергии системы. Разобьѐм эту работу на работу консервативных сил А 12 конс и работу неконсервативных сил 12 неконсерв A 2 1 12 12 консерв неконсерв K K A A W W Но, в соответствии с (3.7), 1 2 12 консерв П П A W W - работа консервативных сил равна убыли потенциальной энергии. Отсюда 2 2 1 1 12 ( ) ( ) неконсерв К П К П W W W W A Сумму кинетической и потенциальной энергии системы называют полной механической энергией системы и обозначают Е К П E W W (4.5) Итак, мы получили закон изменения полной механической энергии Приращение полной механической энергии системы материальных точек равно работе неконсервативных сил, действующих на точки системы 2 1 12 неконсерв E E A (4.6) Если неконсервативных сил нет (система консервативна, то энергия не переходит в тепло и полная механическая энергия системы остаѐтся постоянной. Мы получаем закон сохранения полной механической энергии В консервативных системах полная механическая энергия системы сохраняется. К П E W W const (4.7) 28 4.3. Упругое и неупругое столкновение Абсолютно неупругий удар – это удар, при котором после столкновения тела слипаются и далее движутся вместе. Рисунок 4.1. а) Тела до удара в системе центра масс V c =0; б) После неупругого удара тела в системе центра масс покоятся При этом часть кинетической энергии переходит в тепло, поэтому полная механическая энергия при неупругом ударе не сохраняется. С другой стороны, выполняется закон сохранения импульса до удара после удара сист сист . Для двух тел получим ' 1 1 2 2 1 2 V V ( ) V m m m m , где 1 V и 2 V скорости тел до удара, а ' V - скорость слипшихся тел после удара. Из этого уравнения легко получить ' V . ' 1 1 2 2 1 2 V ( V V ) / (Отметим, что если два тела сталкиваются неупруго, тов системе центра масс они двигаются вдоль одной прямой навстречу друг другу, а после удара – покоятся (рис. 4.1). Абсолютно упругим называют удар, при котором потери механической энергии нет. Выполняются закон сохранения энергии и закон сохранения импульса, рис. Рисунок 4.2. а) До удара б) При упругой механической деформации в) После абсолютно упругого удара Следует отметить, что в природе ничего абсолютного не бывает, ноне- которые удары с высокой точностью можно считать абсолютно упругими. Рассмотрим абсолютно упругий удар в системе центра масс. Напомним, что в ней C V 0 . При механической деформации шары аналогичны сжатым пружинам, которые затем выпрямляются. После удара (в системе центра масс) шары как бы поменяют знак своей скорости. Для произвольных начальных скоростей 1 V и 2 V скорости тел после абсолютно упругого удара 1 V и 2 V описываются формулами 29 2 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 V ( ) V V 2 V ( ) V V m m m m m m m m m m (4.9) где m 1 и m 2 – массы соответствующих тел. 4.4. Общефизический закон сохранения энергии Классическая механика учитывает лишь кинетическую энергию макроскопического движения тел и их потенциальную энергию, отвлекаясь от атомистического строения вещества. На самом деле при трении, неупругом ударе и т.д. энергия не пропадает, а переходит в кинетическую и потенциальную энергию теплового движения атомов и молекул, (во внутреннюю энергию. Поэтому полное, с учѐтом энергии атомов, количество энергии в изолированной системе тел всегда остаѐтся постоянным. Это общефизический закон сохранения энергии. Его нельзя вывести из уравнений механики, т.к. он имеет общую универсальность. В основе закона сохранения энергии лежит однородность времени, те. тот факт, что замена момента времени t 1 моментом времени t 2 при сохранении координат и скорости тел не изменяет законов движения системы. Для дальнейшего изучения курса физики нам потребуется понятие векторного произведения и знание его основных свойств. Напомним свойства векторного произведения с помощью небольшого раздела Примечание. Свойства векторного произведения Вектор c a b называют векторным произведением векторов a и b , если он обладает следующими 3-мя свойствами Рисунок 4.3 1) Модуль вектора c вычисляется по формуле c a b sin , где - угол между векторами a и b . Направление вектора c определяется правилами 2 и 3. 2) Вектор c перпендикулярен и к первому вектору ( a ) и ко второму ( b ): c a ; c b следовательно, вектор c перпендикулярен плоскости, в которой лежат вектора a и b . Но перпендикулярно плоскости будут два направления и вверх, и вниз. Выбрать верное позволяет правило буравчика 3) Ручку буравчика нужно поворачивать по кратчайшему пути от первого вектора ( a ) ко второму ( b ), тогда перемещение самого буравчика укажет направление вектора c . 30 Пример 1. Если вектор a b , то c a b sin0 0 o Пример 2. Если вектор a b , то c a b sin90 o a b В этом случае модуль вектора c принимает максимально возможное значение. Пример 3. Если векторы a и b поменять местами см. рис. 7.1., то изменяется знак векторного произведения b a a b . Примечание. Иногда векторное произведение обозначают квадратными скобками. a b a, b ЛЕКЦИИ 5. МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА 5.1. Поступательное и вращательное движение твердого тела Поступательным является движение, при котором траектория каждой точки одинакова, поэтому движение твердого тела можно описать движением центра масс. (При этом любая прямая, проведенная в теле, движется, оставаясь параллельной самой себе. Уравнение движения центра масс мы уже получали ранее. Оно имеет вид внеш C рез ( V ) F d m dt , где масса тела, а C V - скорость центра масс. Итак, центр масс движется так, как двигалась бы материальная точка, масса которой равна массе всего тела, помещѐнная в центр масс и движущейся под действием силы, равной результирующему вектору внешних сил, действующих на тело. Строго вращательным называется движение тела вокруг некоторой оси, при котором траектория каждой точки является окружностью с центром на оси вращения. Движение твердого тела можно представить как сумму поступательного и вращательного движений. При этом ось вращения в общем случае может перемещаться в пространстве. 5.2. Момент силы и момент импульса относительно неподвижной точки Введѐм следующее определение Моментом силы относительно неподвижной точки О называют векторное произведение радиуc-вектора r , идущего от точки О к точке приложения силы, насилу) Момент силы это такая физическая величина, которая приводит к угловому ускорению вращающихся тел. Модулю момента силы можно дать наглядное толкование 31 Рисунок 5.1. Момент силы M "плечо" F и направлен перпендикулярно плоскости, составленной векторами r и F M sin F "плечо r , где введено понятие плечо. По определению плечо = r sin соответствует кратчайшему расстоянию от точки О до линии, вдоль которой действует сила F .(см. рис. 5.1). Если на материальную точку действуют N различных сил, то результирующий момент сил определяется как векторная сумма моментов всех сил. 1 1 M M r рез) Рисунок 5.2. Момент импульса L перпендикулярен плоскости, составленный векторами r и Моментом импульса материальной точки массой m относительно неподвижной точки О называется векторное произведение радиус-вектора на импульс материальной точки p m V . L r p r V m (5.3) Для системы из N материальных точек суммарный момент импульса L равен векторной сумме моментов импульса всех точек. i i i 1 1 L L r p N N i i (5.4) |