Методический материал Стерлядкин. учебник_стерлядкин. Курс лекций по физике учебное пособие москва 2017 2 удк 531 539. 1536 ббк 22. 222. 3622. 317
 Скачать 1.45 Mb.
|
|
7.1. Барометрическая формула. Классическое распределение Больцмана Рассмотрим газ в сосуде (см. рис. Как молекулы распределены по высоте Слой dH создаѐт дополнительное давление dP gdH но плотность P m N P m m P 0 A 0 V T R T k Т , где m 0 - масса молекулы. Тогда dH kT g m P dP 0 или dH kT g m P dP 0 43 Рисунок 7.1 Слой dH оказывает дополнительное давление dP Проводя интегрирование данного уравнения от Н до Н, получим 0 ln ln ( 0) 0 m g P P H kT , где Р – давление газа на уровне Н, Р – давление на высоте Н. Отсюда получаем формулу, которую называют барометрической 0 exp( ) mgH P P kT (7.1) Поскольку P nkT , то при T const концентрация n пропорциональна давлению p и изменяется с высотой по аналогичному закону 0 m Т Рисунок 7.2 Функция распределения молекул по высоте Итак, функция распределения молекул по высоте имеет вид (распределение Больцмана m gH Wп 0 kТ kТ f Ae Ae (7.2) где п gH – потенциальная энергия молекулы коэффициент А определяется из нормировки. Зависимость (7.2) называют распределением Больцмана. Графики функции распределения молекул по высоте для различных температур представлены на рис. T 2 >T 1 T 1 A 44 7.2. Распределение молекул по скоростям. Распределение Макс- велла-Больцмана Ясно, что высоты Н достигают лишь быстрые молекулы (рису которых 2 0 0 m V m gH 2 , поэтому можно ожидать, что распределение по кинетическим энергиям такое же, как и по потенциальным (так оно и есть. Функция распределения по проекциям скоростей молекул на любую ось Т Рисунок 7.3 Высоты Н достигают лишь быстрые молекулы. Можно показать, что распределение молекул по абсолютным скоростям имеет следующий вид 2 0 2 2 ( ) 4 m Т V Ae V (7.4) Это называется распределением Максвелла по абсолютным скоростям рис. Рисунок 7.4 Распределение Максвелла по скоростям Распределения Максвелла и Больцмана можно объединить W W k п Т , (7.5) 45 где п – потенциальная и кинетическая энергии молекулы. Это распределение носит имя Максвелла - Больцмана. При температуре абсолютного нуля Т молекулы падают на дно сосуда и перестают двигаться. 7.3. Степени свободы молекулы. Внутренняя энергия и теплоѐмкость идеального газа Напомним степени свободы - это минимальное число независимых переменных, которые однозначно описывают положение системы в пространстве Примеры 1 точка - 3 степени свободы (Х, У, Z) 2 свободные точки - 6 степеней свободы 2 жѐстко связанные точки - 5 степень свободы (каждая связь уменьшает число степеней свободы на 1) 3 свободные точки - 9 степеней свободы 3 жѐстко связанные точки 9 - 3 = 6 степеней свободы. (3 связи) Положение твѐрдого тела в пространстве можно полностью задать 3-мя точками, связанными с телом, следовательно, у твердого тела 6 степеней свободы. Поскольку молекулы идеального газа не взаимодействуют на расстоянии, то потенциальной энергии взаимодействия у идеального газанет. Можно принять, что внутренняя энергия идеального газа складывается из кинетической энергии атомов. Выполняется принцип равного распределения тепловой энергии по степеням свободы. На каждую степень свободы у одной молекулы приходится в среднем энергия равная 2 kT . Если у молекулы i степеней свободы, то энергия молекулы составит ( 2) W i kT молек (7.6) Внутренняя энергия для 1 моля складывается из кинетической энергии молекул. (Напомним, что в 1 моле любого вещества содержится N A =6 10 23 молекул 2 A молек A i i U N W N kT RT (7.7) Внутренняя энергия для произвольной массы m идеального газа равна 2 m m i U U RT (7.8) В общем случае, для неидеальных газов и тел внутренняя энергия включает энергию всевозможных видов движения и взаимодействия всех частиц термодинамической системы (кинетическая энергия атомов и молекул, потенциальная энергия всех частиц, включая ядра и т. д. Внутренняя энергия не включает кинетическую энергию и потенциальную энергию термодинамической системы как целого. 46 7.4. Работа идеального газа Рассмотрим газ в цилиндре с поршнем, площадь которого равна S. (рис. Пусть газ сдвигает поршень на расстояние dX. Рисунок 7.5. Работа идеального газа при расширении. При квазистатическом (квазиравновесном) расширении газа он совершит работу PdV Sdx P Fdx А Итак, мы получили выражение для элементарной работы газа PdV A (7.9) При медленном квазистатическом расширении внешние силы равны силе давления газа, но противоположно направлены. Поэтому работа внешних сил внеш (7.10) Работа при конечном приращении объѐма складывается (интегрируется) из элементарных работ А 1 V V 12 (А > 0, А < 0) (7.11) Рисунок Элементарная работа на графике соответствует площади заштрихованного столбца. Вся работа газа А равна площади под кривой 1-2. Если при переходе газа из точки 1 в точку 2 газ расширяется dV>0, работа газа получится положительной А >0. При обратном процессе, переходе из точки 2 в точку 1, газ сжимается dV<0, и работа газа отрицательна А <0. Работа равна площади под кривой перехода в координатах Р (см. рис. Работа зависит от пути перехода, значит, не является функцией состояния (см. рис.7.7) Рисунок 7.7 а) работа газа А б) работа газа А в) работа в замкнутом цикле Аи равна площади внутри замкнутой кривой г) в обратном цикле А 47 Найдем работу газа в различных изопроцессах: Рисунок 7.8. Работа идеального газа в различных процессах равна площади под кривой P(V). а) изохорный процесс V=const. Площадь под изохорой равна нулю, следовательно, А. б) изобарное расширение газа P=const. Работа А равна площади заштрихованного прямоугольника АР. в) изотермическое расширение газа T=const. 2 2 2 ( ) ( ) (m / )RTln(V / V ) 12 2 1 1 1 А dV V m RT dV где V 2 и V 1 - объем газа в начальном и конечном состояниях, соответственно. 48 ЛЕКЦИЯ 8. ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ 8.1. Основные понятия Термодинамика не интересуется строением тела изучает превращение энергии, происходящее в системе (теплообмен, работа над телами и др) Термодинамика основывается натр х опытных законах, началах Изолированная система - система, невзаимодействующая с окружающей средой. Замкнутая система - механически изолирована, но возможен теплообмен с окружающей средой. Адиабатически изолированная система – это система, в которой нет теплообмена с окружающей средой, но возможно механическое взаимодействие. Равновесное состояние - состояние, в которое приходит изолированная система со временем (после этого состояние системы не изменяется во времени Для равновесного состояния вводят термодинамические параметры состояния давления Р, температура Т, объѐм V. Опыт показывает, что параметры состояния взаимосвязаны некоторым уравнением, которое называют уравнением состояния ( , , ) 0 f P V T (8.1) 8.2. Количество теплоты. Первое начало термодинамики Энергию термодинамическая система может получать двумя путями в виде работы, совершаемой внешними силами, ив виде тепла (теплообмен. Энергия, переданная системе окружающей средой в результате теплообмена, называется количеством теплоты Q, полученной системой. При переходе системы из состояния 1 в 2 по общефизическому закону энергия сохраняется. В этом заключается смысл го начала термодинамики. 1-ое начало термодинамики теплота, сообщаемая системе, расходуется на изменение внутренней энергии системы и на совершение системой работы Первое начало - аналог закона сохранения энергии Второе начало - указывает направление процессов Третье начало - о том, при температуре абсолютной нуля система переходит в состояние с минимальной потенциальной энергией, а тепловое движение замирает Термодинамика 49 12 2 1 где Q 12 – теплота, полученная системой в процессе 1-2; U 1 ,U 2 - внутренняя энергия системы в состояниях 1 и 2, соответственно А- работа, совершенная системой при переходе 1→2. Для бесконечно малых процессов или Знак в Q и A означает, что количество теплоты Q и работа Ане являются функциями состояния системы, а d в dU означает, что U является функцией состояния и dU - полный дифференциал. 8.3. Теплоѐмкость Теплоѐмкостью термодинамической системы называется величина Q C dT (8.4) Теплоѐмкость численно равна количеству тепла Q , которое надо сообщить системе, чтобы повысить еѐ температуру на 1 градус. Молярная теплоѐмкость C - теплоѐмкость 1 моля вещества Удельная теплоѐмкость уд C - теплоемкость 1 массы вещества. Эти величины связаны между собой y , д С С (8.5) где - молярная масса. 1. Найдем теплоѐмкость 1 моля идеального газа при постоянном объѐме, которую обозначают C V . Изначала термодинамики / 2 dQ dU dA iRdT РdV Так как V=const, то dV=0 и PdV=0, и мы получаем ( / ) / 2 V V C dQ dT iR (8.6) 2. Определим теплоѐмкость 1 моля идеального газа при постоянном давлении. Изначала термодинамики ( / 2) dQ dU pdV i RdT pdV , но для 1 моля ; ( ) pV RT pdV RdT p const ( / ) / 2 2 / 2 В результате получаем уравнение Майера: P V C C R (8.8) C V - характеризует затраты тепла на увеличение внутренней энергии идеального газа, универсальная газовая постоянная R - характеризует дополнительные затраты тела на работу идеального газа при постоянном давлении. 50 8.4. Адиабатный процесс Адиабатный процесс - термодинамический процесс, при котором система не обменивается теплотой с окружающей средой. ( 0) dQ Первое начало термодинамики для адиабатного процесса имеет вид 2 1 12 U U A 0 или 12 1 2 A U U . Для малых приращений 0 dU pdV или pdV dU . Работа, совершаемая термодинамической системой в адиабатном процессе, происходит за счѐт убыли внутренней энергии 12 1 2 A U U . И наоборот, работа над системой в адиабатном процессе приводит к повышению внутренней энергии. (Пример – разогрев насоса велосипеда при накачки камеры. Можно показать, что при адиабатном процессе в идеальном газе выполняется соотношение (уравнение адиабаты PV const (8.9) где показатель степени называется постоянной адиабаты ( 2) 2 p V C i R i C iR i (8.10) Рисунок 8.1. Адиабата при расширении газа спадает круче, чем изотерма Постоянная >1 , поэтому, если на графике в координатах P,V изобразить изотерму и адиабату PV const , то получим рисунок 8.1. Так как >1 , то с ростом объема в координатах P,V график адиабаты спадает круче, чем график изотермы (см. рис. 8.1). 8.5. Обратимые и необратимые процессы. Второе начало термодинамики Обратимым называется термодинамический процесс, совершаемый системой, если после него систему и окружающие тела можно возвратить в исходное состояние так, что в окружающей среде не останется никаких изменений. В противном случае процесс называется необратимым Пример необратимых процессов. 51 1) Расширение газа в свободную часть сосуда. Газ можно возвратить впер- воначальное состояние, но для этого внешним телам нужно совершить над газом работу, те. в окружающей среде произойдут изменения. 2) Торможение тела за счѐт трения сопровождается переходом кинетической энергии тела в нагрев тел, тепловое движение молекул. Обратный процесс разгона тела невозможен, т. к. хаотическое движение частиц среды не может самопроизвольно привести к упорядоченному движению тела. Пример обратимых процессов Все квазистатические изопроцессы обратимы. Например, при плавном адиабатическом сжатии газа и последующем расширении газ и окружающие тела вернутся в исходное состояние. Первое начало термодинамики выражает лишь закон сохранения энергии. Оно не позволяет указать направление процессов. Так 1-му началу не противоречит самопроизвольный переход тепла от холодного тела к более горячему. Из опыта мы знаем, что это невозможно. Направление процессов в природе указываете начало термодинамики. Существует несколько эквивалентных формулировок го начала термодинамики. 1) (Формулировка Клазиуса) Невозможен процесс, единственным результатом которого является передача теплоты от холодного тела к горячему. 2) (Формулировка Томсона) Невозможен процесс, единственным результатом которого является совершение работы за счѐт охлаждения одного тела. КПД не может быть равным единице. Вечный двигатель города невозможен. Можно показать эквивалентность этих формулировок. 8.6. Циклы. Тепловая и холодильная машины Цикл или круговой процесс - это совокупность термодинамических процессов, в результате которых система возвращается в исходное состояние. Тело, совершающее круговой процесс, называется рабочим телом.(При этом оно может обмениваться энергией с окружающими телами. Тепловой машиной называется система, состоящая из рабочего тела и двух внешних тел - нагревателя и холодильника (рис. Рисунок 8.2. Цикл тепловой машины 52 Пример газ, контактируя с нагревателем, получает от него тепло Q 1 , затем, чтобы вернуться в исходное состояние, должен контактировать с холодильником, отдав ему тепло Q 2. По первому началу термодинамики Q 121 = Q 1 - Q 2 = U 2 -U 1 +A 121 , но придя в исходную точку имеем U 2 =U 1 . В результате газ совершает полезную работу A=Q 1 - Q 2 , которая на графике равна площади внутри цикла. КПД теплового двигателя равно 1 2 1 1 Q Q A Q Q (8.11) Рисунок 8.3. Цикл холодильной машины Холодильной машиной называется тепловая машина, работающая по обратному циклу (рис.8.3).При этом она получает от холодильника тепло Q 2 и отдаѐт нагревателю теплоту Q 1 . Газ в таком цикле совершает отрицательную работу, те. в таком цикле необходима работа внешних сил A = Q 2 - Q 1. 8.7. Цикл Карно Рисунок 8.4. Прямой цикл Карно Цикл Карно состоит из 4 обратимых процессов двух изотерм и двух адиабат (рис. Площадь внутри цикла равна работе А, которая совершается за счет поступившего тепла A = Q 1 - Прямой цикл состоит из следующих участков, рис 53 1-2 - изотермическое расширение Т = const. Газ получает от нагревателя теплоту Q 1 . Внутренняя энергия не изменяется U 2 =U 1 . Тепло, полученное газом Q 1 = A 12 , равно площади под кривой 1-2. 2-3 – адиабатическое расширение. Q 23 = 0. Температура газа падает до Т 2 Газ совершает работу за счет уменьшения внутренней энергии. A 23 =U 2 -U 3 . 3-4 - изотермическое сжатие при Т = const . Внутренняя энергия не меняется. Работа газа отрицательна, над ним совершает работу внешняя сила. Газ отдаѐт тепло холодильнику. 4-1 - адиабатическое сжатие. Q 41 = 0. Температура газа возрастает до Т 1 Внутренняя энергия растет за счет работы внешних сил. Работа в цикле A = A 12 + A 23 + A 34 + A 41 = Q 1 - Q 2 Можно показать, что КПД цикла Карно 1 2 1 Q Q Q не зависит от вида рабочего тела, а определяется только температурой нагревателя Т 1 и холодильника Т 1 2 1 2 1 1 Q Q T T Q T (8.12) 8.8. Энтропия Кроме внутренней энергии U в термодинамике существуют и другие функции состояния. Важнейшая из них - энтропия. В отличие от теплоты Q ,, приведѐнная теплота T Q в обратимых процессах является полным дифференциалом некоторой функции S состояния системы, называемой энтропией. Для обратимых процессов обрили 1 обр Q S S T (8.14) В необратимых процессах энтропия системы растѐт быстрее, чем в равновесном случае Q dS T (8.15) Из (8.15) получают ещѐ одну формулировку го начала термодинамики энтропия изолированной системы не может убывать при любых процессах, происходящих в ней Действительно, для изолированной системы Q = 0 и получаем закон не- убывания энтропии 0 dS (8.16) |