Обработка многократных результатов измерений с неравноточными наблюдениями. КУРСОВАЯ РАБОТА По дисциплине «Метрология». Курсовая работа по дисциплине Метрология

Название	Курсовая работа по дисциплине Метрология
Анкор	Обработка многократных результатов измерений с неравноточными наблюдениями
Дата	20.03.2022
Размер	74.08 Kb.
Формат файла
Имя файла	КУРСОВАЯ РАБОТА По дисциплине «Метрология».docx
Тип	Курсовая #405423
страница	4 из 6

1 2 3 4 5 6

4 Обработка результатов наблюдений третьей группы

Упорядочиваем совокупность результатов наблюдений и представляем в виде таблицы 11:

Таблица 11 – Упорядоченная совокупность результатов наблюдений, мм

№ результата	Результаты наблюдений	Вариационный ряд
1	5,1	5,1
2	5,2	5,2
3	13,4	6,3
4	14,9	6,3
5	14,8	7,4
6	11,4	7,9
7	11,5	8,5
8	10,5	8,5
9	10,4	9,4
10	9,4	9,5
11	9,5	10,4
12	6,3	10,5
13	8,5	11,4
14	8,5	11,5
15	7,4	12,5
16	7,9	12,6
17	6,3	13,4
18	12,5	13,6
19	12,6	14,8
20	13,6	14,9

4.1 Определение точечных оценок закона распределения результатов наблюдений

Требуется определить оценки результата измерения и СКО результатов наблюдений и измерений.

Будем считать, что закон распределения неизвестен. Координата центра распределения определяет положение случайной величины на числовой оси и может быть найдена несколькими способами. Наиболее фундаментальным является отыскание центра по принципу симметрии, т.е. такой точки на оси, слева и справа от которой вероятности появления различных значений случайной величины одинаковы и равны 0,5.

В качестве оценки центра распределения может выбираться одна из следующих оценок: выборочное среднее арифметическое, медиана, центр

размаха, срединный размах.

4.1.1 Определяем выборочное среднее арифметическое () по формуле (2.1)

где - отдельные результаты наблюдений;

       - общее количество результатов наблюдений.

4.1.2 Определяем среднее арифметическое 90%-выборки ()

Среднее арифметическое находится по формуле (2.2)

где - число не учитываемых результатов. Пять процентов выборки в нашем случае , т.е. один результат измерения. Отбрасываем по одному измерению с начала и конца вариационного ряда, т.е. результаты и .

4.1.3 Определяем медиану распределения по формуле (2.3)

Медианой называют наблюдаемое значение   (так называемую варианту), которая делит вариационный ряд на две части, равные по числу вариант.

При - чётном:

4.1.4 Серединный размах вариационного ряда определяем по формуле (2.4)

где - 25% и 75%-ные квантили опытного распределения (представляют собой усредненный значения конкретных результатов наблюдений).

Вычисляем 25% и 75%-ные квантили опытного распределения. Этими квантилями являются точки между 4 и 5, а также между 16 и 17 результатами:

Тогда:

4.1.5 Центр размаха определяется по формуле (2.5):

Полученные оценки центра распределения располагаем в вариационный ряд: или

За оценку распределения (результата измерения) окончательно принимаем серединный размах вариационного ряда, так как эта оценка занимает медианное положение в ряду оценок:

4.1.6 Проверим присутствие грубых погрешностей в данной совокупности. Найдем среднеквадратическое отклонение () всех представленных результатов наблюдений (2.6):

Найдем несмещенную оценку СКО (2.7):

4.2 Исключение результатов с грубыми погрешностями по критериям

Общим математическим выражением отсутствия грубых погрешностей является условие:

4.2.1 Критерий Ирвина (2.8)

Для наибольших значений случайной величины:

- условие выполняется, грубая погрешность отсутствует.

Для наименьших значений случайной величины:

– условие выполняется, грубая погрешность отсутствует.

4.2.2 Критерий Романовского(2.9):

- условие выполняется, грубая погрешность отсутствует;

- условие выполняется, грубая погрешность отсутствует.

4.2.3 Критерий , Райта (2.10)

;

- условие выполняется, грубая погрешность отсутствует;

- условие выполняется, грубая погрешность отсутствует.

4.2.4 Критерий Шовене (2.11)

,



а отсюда следует, что грубая погрешность отсутствует;



а отсюда следует, что грубая погрешность отсутствует.

Вывод: четыре критерия из четырёх показали, что выбросов нет, следовательно, гипотеза о наличии грубой погрешности не подтверждается, т.е. результаты и не являются ошибочными и при дальнейшей обработке результатов наблюдений не исключаются из вариационного ряда.

4.3 Исключение систематической составляющей погрешности измерений

Требуется выполнить обработку результатов по исключению систематической составляющей погрешности измерений.

  Первичная обработка последовательности результатов наблюдений одной и той же величины состоит в исключении переменной

систематической погрешности. Приведённые результаты представим графически. На графике мы видим линейно возрастающую по модулю погрешность. График показан на рисунке А.7. Максимальное значение погрешности определяем как разность между значениями на аппроксимирующей прямой, для первого и двадцатого результатов наблюдений, которое принимаем за .

4.3.1 Модуль переменной составляющей систематической погрешности определяем по формуле (2.12):

где - разность между наибольшими и наименьшими значениями результатов наблюдений;

- общее число результатов;

- порядковый номер измерения;

Разность определяется по аппроксимирующей прямой.

В данном случае тогда

Таблица 12 – Результаты по исключению систематической погрешности, мм

№	Исходные результаты	Исправленные результаты	Вариационный ряд исправленных результатов
1	5,1	5,095	5,095
2	5,2	5,19	5,19
3	6,3	13,385	6,216
4	6,3	14,88	6,2407
5	7,4	14,775	7,325
6	7,9	11,37	7,82
7	8,5	11,465	8,43
8	8,5	10,460	8,435
9	9,4	10,355	9,3506
10	9,5	9,3506	9,945
11	10,4	9,445	10,355
12	10,5	6,2407	10,46
13	11,4	8,435	11,37
14	11,5	8,430	11,465
15	12,5	7,325	12,411
16	12,6	7,820	12,506
17	13,4	6,216	13,385
18	13,6	12,411	13,501
19	14,8	12,506	14,775
20	14,9	13,501	14,88

4.4 Статистическая обработка результатов измерений

После исключения результатов с грубыми погрешностями и внесения поправок на систематическую погрешность проводим математическую статистическую обработку исправленных результатов измерения.

Определяем точечные оценки исправленных результатов измерений. Для этого по формулам, приведённым в разделе 1.1, определяем точечные оценки координаты центра распределения и СКО результатов наблюдений и измерений.

4.4.1 Определяем выборочное среднее арифметическое () по формуле (2.1):

где - отдельные результаты наблюдений;



  - общее количество результатов наблюдений.

4.4.2 Определяем среднее арифметическое 90%-выборки ()

Среднее арифметическое находится по формуле (2.2)

.

где - число не учитываемых результатов

Пять процентов выборки в нашем случае , т.е. один результат измерения. Отбрасываем по одному измерению с начала и конца вариационного ряда, т.е. результаты и .

4.4.3 Определяем медиану распределения по формуле (2.3)

Медианой называют наблюдаемое значение   (так называемую варианту), которая делит вариационный ряд на две части, равные по числу вариант.

При - чётном:

4.4.4 Серединный размах вариационного ряда определяем по формуле (2.4)

где - 25% и 75%-ные квантили опытного распределения (представляют собой усредненный значения конкретных результатов наблюдений).

Вычисляем 25% и 75%-ные квантили опытного распределения. Этими квантилями являются точки между 4 и 5, а также между 16 и 17 результатами:

Тогда:

4.4.5 Центр размаха определяется по формуле (2.5):

Полученные оценки центра распределения располагаем в вариационный ряд: или

За оценку распределения (результата измерения) окончательно принимаем среднее арифметическое 90%-выборки вариационного ряда, так как эта оценка занимает медианное положение в ряду оценок:

4.4.6 Оценку СКО результатов наблюдений вычисляем по формуле (2.6):

4.4.7 Смещенную оценку СКО результатов наблюдений вычисляем по формуле (2.13):

4.4.8 Разделяем вариационный ряд на интервалы. Статистическая вероятность попадания -ого результата в данный интервал находим по формуле (2.14):

где - частота попадания результатов в каждый -й интервал (2.15);

4.4.9 Вычисляем ширину интервала по формуле (2.16):

Определяем границы интервалов, затем определяем частоту попадания в интервалы и середины интервалов. Результаты расчётов сводим в таблицу 13.

Таблица 13 – Промежуточные значения интервального ряда

Границы интервалов	Середины интервалов	Частота попаданий в интервалы	Статистическая вероятность (частота)
1	2	3	4
5,095-7,02	6,0735	4	0,2
7,052-9,009	8,0305	4	0,2
9,009-10,966	9,9875	4	0,2
10,966-12,923	11,9445	4	0,2
12,923-14,88	13,9015	4	0,2
		20	1

Представим заданный статистический ряд в виде гистограммы (рисунок А.8 Приложение А).

Вычислим дифференциальную функцию распределения для середин интервалов. Для этого вычисляем значение нормированного аргумента по формуле (2.17) для каждого интервала:

А затем, пользуясь статистической таблицей (Приложение Г), определяем дифференциальную функцию

Используя свойство нормального распределения находим значения дифференциальной функции в выбранных единицах. В случае использования интегралов применяют зависимость (2.18):

где - ширина интервала;

Окончательно все вычисления сводим в таблицу 14.

Таблица 14 – Вероятностные параметры распределения третьей группы

Середины интервалов
6,0735	-0,1254	0,1826	0,1161	0,1057	0,2
8,0305	-0,618	0,3312	0,2106	0,2709	0,4
9,9875	0,0177	0,3989	0,2537	0,508	0,6
11,9445	0,653	0,323	0,2054	0,7422	0,8
13,9015	1,289	0,1758	0,1118	0,8997	1

Для построения теоретической функции воспользовались Приложением В[1]. Графики экспериментальной и теоретической функции интегрального вида показаны на рисунке А.9 Приложение А.

По виду статистических кривых можно также сделать заключение о нормальности распределения экспериментальных данных, хотя для окончательного заключения требуется проверка по критериям согласия (или приближенная идентификация по точечным числовым характеристикам).

Окончательно результаты по определению вероятностных характеристик первой группы наблюдений сводим в таблицу 15.

Таблица 15 – Параметры функций распределений третьей группы наблюдений

Границы интервалов
5,095-7,052	6,0735	-1,254	0,1826	0,1161	0,2	0,2	0,1057
7,052-9,009	8,0305	-0,618	0,3312	0,2106	0,2	0,4	0,2709
9,009-10,966	9,9875	0,017	0,3989	0,2537	0,2	0,6	0,508
10,966-12,923	11,9445	0,653	0,323	0,2054	0,2	0,8	0,7422
12,923-14,88	13,9015	1,289	0,1758	0,1118	0,2	1	0,8997

1 2 3 4 5 6