Анализ режимов работы электрических и магнитных цепей 2018. Л. Е. Серкова, В. В. Харламов, П. К. Шкодун анализ режимов работы электрических и магнитных цепей учебное пособие Омск 2018

• Название: Л. Е. Серкова, В. В. Харламов, П. К. Шкодун анализ режимов работы электрических и магнитных цепей учебное пособие Омск 2018
• Дата: 11.05.2023
• Размер: 1.83 Mb.
• Имя файла: Анализ режимов работы электрических и магнитных цепей 2018.pdf
• Тип: Учебное пособие; #1123228
• страница: 2 из 5

2.1. Задание для самостоятельной работы Для сложной цепи постоянного тока (рис. 5), числовые значения параметров которой заданы в табл. 5, необходимо следующее
1) рассчитать значения тока во всех ветвях при помощи непосредственного применения законов Кирхгофа методом контурных токов
2) проверить правильность расчета, составив баланс мощности, и сделать вывод по его результатам
3) определить значения тока в ветвях, содержащих ЭДС, по методу меж- узлового напряжения, предварительно преобразовав исходную схему в схему с двумя узлами, заменив пассивный треугольник сопротивлений эквивалентной звездой
4) выполнить моделирование заданной электрической цепи с помощью системы схемотехнического моделирования Multisim. Сравнить полученные результаты с расчетными. Таблица Числовые значения параметров элементов схемы Вариант ЭДС, В Сопротивление, Ом ЕЕ Е
R
1
R
2
R
3
R
4
R
5
R
6 0
22 24 10 2
1 8
4 10 6
1 55 18 4
8 4
3 2
4 4
2 36 10 25 4
8 3
1 2
7 3
16 5
32 9
3 2
4 1
5 4
14 25 28 5
2 8
2 2
6 5
20 22 9
1 2
6 3
8 4
6 5
16 30 6
4 3
2 5
3 7
10 6
24 3
5 6
6 3
1 8
6 20 4
4 6
4 4
3 3
9 21 4
10 5
7 2
8 1
1

17
2.2. Методические указания к выполнению аналитического расчета При анализе режима работы сложной электрической цепи неизвестными являются значения тока в ветвях, для их определения необходимо составить систему алгебраических уравнений и решить ее. Система должна содержать столько уравнений, сколько имеется неизвестных значений тока, те. ветвей в электрической цепи. Рассмотрим применение названных в задании методов расчета на примере схемы, приведенной на рис. 6, значения параметров которой даны в табл. 6. Таблица Параметры элементов схемы, приведенной в примере Вариант ЭДС, В Сопротивление, Ом ЕЕ ЕРа счет схемы поза конам Кирхгофа подразумевает составление системы уравнений, позволяющих определить значения тока в ветвях непосредственно по первому и второму законам Кирхгофа. По первому закону Кирхгофа алгебраическая сумма значений тока в узле электрической цепи равна нулю
,
I
n
k
k



1 0
(21) те. уравнения по первому закону Кирхгофа составляются относительно узла. Знак тока зависит от его направления относительно узла. Можно принять, что токи, направленные к узлу, будут записываться со знаком плюса направленные от узла – со знаком минус, либо наоборот. Уравнения по второму закону Кирхгофа составляются для независимых контуров электрической цепи. По второму закону Кирхгофа алгебраическая сумма падения напряжения на приемниках электрической энергии в контуре равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в этом контуре










n
i
m
k
k
i
i
n
i
m
k
k
i
E
R
I
E
U
1 1
1 1
;
. (22)

18
R
1
R
2
E
1
E
2
E
3
R
5
R
6
R
4
R
3
R
1
R
3
E
1
E
3
E
2
R
2
R
5
R
6
R
4
R
2
E
2
R
3
E
3
R
1
E
1
R
4
R
5
R
6 1
2 3
R
1
E
1
R
2
E
2
R
3
E
3
R
5
R
4
R
6
R
5
R
6
E
1
E
2
E
3
R
1
R
2
R
4
R
3
R
3
E
3
R
1
E
1
R
2
E
2
R
4
R
6
R
5 4
5 6
R
3
E
3
R
5
R
6
R
4
R
1
R
2
E
2
E
1
R
3
E
3
R
1
E
1
R
5
R
6
R
4
E
2
R
2
R
3
E
3
R
5
R
6
R
4
R
1
R
2
E
2
E
1 7
8 9
R
1
E
1
R
4
R
5
R
6
E
3
E
2
R
3
R
2 0
Рис. 5

19 Если направление напряжения (тока) и ЭДС совпадают с направлением обхода контура, перед слагаемым в сумме ставится знак плюс, в противном случае – минус. Для выполнения задания можно рекомендовать следующий порядок решения) Для исходной цепи произвольно выбираем направления токов в ветвях и указываем их на схеме (рис. 6).
2) Количество неизвестных токов определяет порядок сложности цепи N и равно количеству ветвей. В рассматриваемом примере количестве ветвей в = N = 6. Следовательно, необходимо составить систему из шести уравнений.
3) По первому закону Кирхгофа составляется количество уравнений на одно меньше, чем количество узлов. Для схемы, представленной на рис. 6, количество узлов у = 4. По первому закону Кирхгофа составляем N
I
= у –1 = = 3 уравнений.
4) Выбираем любые три узла, например, 1, 2, 3, для которых записываем уравнения по первому закону Кирхгофа для узла 1:
0 2
3 1



I
I
I
; (23)
2:
0 6
4 3




I
I
I
; (24)
3:
0 5
4 2




I
I
I
. (25)
5) По второму закону Кирхгофа составляется N
II
= N – N
I
уравнений. В нашем примере N
II
= в – (у – 1) = 6 – 3 = 3 уравнения.
6) Выбираем три независимых контура I – III (см. рис. 6) так, чтобы каждый последующий контур содержал хотя бы одну новую ветвь.
7) Принимаем направления обхода контуров I , II – почасовой стрелке,
III – противнее) Составляем уравнения по второму закону Кирхгофа.
I
II
III ЕЕ Е
R
5
R
6
R
4
R
2
R
3
I
5
I
6
I
3
I
4
I
2
J
1
J
2
J
3
1
2
3 Проводимости ветвей преобразованной схемы, См 1
R1
r4


Y2 1
R2
r3


Y3 1
R3
r2


Y1

Y2

Y3

Межузловое напряжение, В U
E1

Y1

E2 Y2


E3 Токи в ветвях, А) Y1


I2
E2
U

(
) Y2


I3
E3
U

(
) Полученные значения совпадают с рассчитанными ранее.
Расчет сложной цепи постоянного тока методом межузлового напряжения
Исходные данные ЭДС 5

B
E2 16

B
E3 сопротивления, Ом 6

R2 4

R3 3

R4 2

R5 5

R6 Сопротивления эквивалентной "звезды, Ом Рис. 6
I
1
0

20
Для контура I:
3 1
6 6
3 3
1 1
E
E
R
I
R
I
R
I




(26)
II:
;
0 6
6 5
5 4
4




R
I
R
I
R
I
(27)
III
:
3 1
6 6
3 3
1 1
E
E
R
I
R
I
R
I




(28)
9) Полная система уравнений будет иметь вид
;
0 3
2 1



I
I
I
;
0 6
4 3




I
I
I
;
0 5
4 2



I
I
I
(29)
;
2 3
4 4
3 3
2 2
E
E
R
I
R
I
R
I





;
0 6
6 5
5 4
4




R
I
R
I
R
I
3 1
6 6
3 3
1 1
E
E
R
I
R
I
R
I




10) Решение системы уравнений (29) с помощью математического редактора с, листинг которой представлен в прил. 2, дает искомые значения тока в ветвях цепи. Знак минус указывает на то, что выбранное на схеме направление тока не совпадает сего реальным направлением. Результаты сведите в табл. 7. Таблица Значения токов, полученные различными методами Метод получения результата Ток, А
I
1
I
2
I
3
I
4
I
5
I
6
Расчет по законам Кирхгофа
3,038
-0,356
-3,394 1,196 0,840
-2,198
Расчет методом контурных токов
3,038
-0,356
-3,394 1,196 0,840
-2,198
Расчет методом межузлово- го напряжения
3,038
-0,356
-3,394
–
–
–
Моделирование
3,038 0,356 3,394 1,196 0,840 2,198 11) Для проверки правильности расчета составляем баланс мощности





n
k
k
т
i
i
P
P
1
потр
1
ист
. (30)

21 Для рассматриваемой цепи мощность источников (m = 3)
3 3
2 2
1 1
3 ист, (31) где мощность источника
3
E
записывается в балансе со знаком минус, потому что направление тока
3
I
и ЭДС
3
E
не совпадают, источник работает в режиме потребителя.
304
,
111 30
)
394
,
3
(
16
)
356
,
0
(
5 038
,
3 ист Вт. Мощность приемников (n = 6)
;
6 2
6 5
2 5
4 2
4 3
2 3
2 2
2 1
2 1
6 1
потр
R
I
R
I
R
I
R
I
R
I
R
I
P
k
k








(32) Вт 3
)
198
,
2
(
5 84
,
0 2
196
,
1 3
)
394
,
3
(
4
)
356
,
0
(
6 038
,
3 2
2 2
2 2
2 6
1
потр



















k
k
P
Баланс мощности
111,304 Вт = 111,304 Вт. Баланс выполняется, следовательно, расчет токов по законам Кирхгофа выполнен верно.
2.2.2. Метод контурных токов позволяет сократить количество составляемых уравнений и упростить расчеты. В соответствии с этим методом считается, что в замкнутых контурах протекают так называемые контурные токи J
1
, …, J
n
. При этом расчетные уравнения составляются по второму закону Кирхгофа. Количество необходимых в этом случае уравнений N
II
= в – (у – 1). Выбор независимых контуров осуществляется также, как было описано выше. При формировании алгебраической суммы падений напряжения от протекания контурных токов учитывают не только падение напряжения на собственных сопротивлениях контура, но и падения напряжения, создаваемые током

22 смежных контуров, протекающим по взаимным сопротивлениям, входящими в соседние контуры. Ток соседнего контура создает падение напряжения со знаком плюс, если его направление во взаимном сопротивлении совпадает с направлением рассматриваемого контурного тока, и со знаком минус – если не совпадает. ЭДС в алгебраической сумме принимается со знаком плюс, если ее направление совпадает с направлением контурного тока, и со знаком минус – в противном случае. После определения контурных токов реальные токи ветвей выражают через контурные токи. Для проверки правильности расчетов составляется баланс мощности. Для рассматриваемого примера N
II
= в – у – 1) = 3. Выбираем те же контуры, которые использованы в предыдущем методе, обозначаем направления контурных токов
3 2
1
,
,
J
J
J
и составляем расчетные уравнения
I:
2 3
6 3
4 2
4 3
2 1
)
(
E
E
R
J
R
J
R
R
R
J






; (33)
II:
0
)
(
6 3
4 1
6 5
4 2





R
J
R
J
R
R
R
J
; (34)
III:
3 1
6 2
3 1
6 3
1 3
)
(
E
E
R
J
R
J
R
R
R
J






. (35) Или в упорядоченном виде по возрастанию индексов контурных токов
2 3
3 3
4 2
4 3
2 1
)
(
E
E
R
J
R
J
R
R
R
J






;
0
)
(
6 3
6 5
4 2
4 1






R
J
R
R
R
J
R
J
; (36)
3 1
6 3
1 3
6 2
3 В матричной форме
∙
2
J
=
(37)
3
J
4 3
2
R
R
R


4
R

4
R

3
R
6
R
3
R
6
R
6 5
4
R
R
R


4 3
2
R
R
R


1
J
2 3
E
E

0 3
1
E
E


23 Полученная матрица должна быть симметричной. Так можно проверить правильность составления системы уравнений. Решение системы уравнений (37) с помощью математического редактора с (см. прил. 2) дает искомые значения контурных токов
356 А
84 0
2
,
J


А
038 А. Решение системы уравнений может быть получено и другими методами, например, методом определителей без применения ЭВМ. Реальные токи в ветвях цепи находим с учетом направлений протекающих по ветвям контурных токов
3 1
J
I

;
(38)
038 А
1 2
J
I


;
(39)
356
,
0 А
3 1
3
J
J
I



;
(40)
394
,
3 038
,
3 356
,
0 3





I
А
2 1
4
J
J
I


;
(41)
196
,
1
)
84
,
0
(
356
,
0 4




I
А
2 5
J
I


;
(42)
84 0
5
,
I

А
3 2
6
J
J
I



;
(43)
198 2
038 3
84 А. Результаты расчета, полученные методом контурных токов (см. табл. 7), совпадают с результатами расчета по законам Кирхгофа.
2.2.3. Метод межу зло во гона пряже ни я является частным случаем метода узловых потенциалов и применяется для расчета электрических цепей с двумя узлами. В этом случае неизвестными считаются потенциалы узлов. Чтобы воспользоваться этим методом, преобразуем исходную схему в схему с двумя узлами. Для этого выполним эквивалентное преобразование пассивного треугольника сопротивлений R
4
, R
5
, R
6
в эквивалентную звезду r
2
, r
3
, рис. 7, 8):
6 5
4 6
4 2
R
R
R
R
R
r



;
(44)
6 0
3 5
2 3
2 2
,
r





Ом
6 5
4 5
4 3
R
R
R
R
R
r



;
(45)
1 3
5 2
5 2
3





r
Ом
6 5
4 6
5 4
R
R
R
R
R
r



;
(46)
5 1
3 5
2 5
3 4
,
r





Ом.

24 Индексы сопротивлений полученной звезды выбраны по номерам бывших узловых точек, к которым они присоединены в новой схеме. При этом сами точки 2, 3, 4 перестали быть узловыми (см. рис. 8). В схеме, полученной после преобразования, имеется только два узла старый (1) и новый (1').
Рис. 7 Рис. 8 Определяем проводимости оставшихся трех ветвей (индекс указывает на ту ветвь, в которой стоит одноименная ЭДС
4 1
1 1
r
R
Y


;
(47)
133 0
5 1
6 См 2
2 1
r
R
Y


;
(48)
2 0
1 4
1 См 3
3 1
r
R
Y


;
(49)
278
,
0 6
,
0 3
1 3



Y
См.
Произвольно выбираем положительное направление напряжения
1 1

U между узлами 1 и 1' (см. рис. 8) и записываем в соответствии с формализованным правилом расчетное выражение для определения межузлового напряжения. Оно равно алгебраической сумме произведений ЭДС на проводимости соответствующих ветвей, деленной на сумму проводимостей всех ветвей
U
11


25 3
2 1
3 3
2 2
1 1
1 1
1 1
Y
Y
Y
Y
E
Y
E
Y
E
Y
Y
E
U
m
i
n
i
i










. (50) Знак плюс перед слагаемым в числителе ставят, если направления ЭДС и напряжения относительно узлов не совпадают, минус – в противном случае. Заметьте, что это правило выбора знака отличается от уже применяемых ранее.
782
,
17 278
,
0 2
,
0 133
,
0 278
,
0 30 2
,
0 16 133
,
0 5
1 1











U
В.
Значения токов в ветвях определяют по второму закону Кирхгофа или используют еще одно формализованное правило ток в ветви равен алгебраической сумме действующей в ветви ЭДС и межузлового напряжения, умноженной на проводимость этой ветви
i
i
i
Y
U
E
I
)
(



. (51) Знак плюс перед ЭДС и напряжением ставится, если токи ЭДС, токи напряжение направлены в одну сторону, в противном случае – знак минус. Для рассчитываемой схемы
1 1
1 1
1
)
(
Y
U
E
I



;
(
52
)
038
,
3 133
,
0
)
782
,
17 5
(
1




I
А
2 1
1 2
2
)
(
Y
U
E
I



;
(
53
)
356
,
0 2
,
0
)
782
,
17 16
(
2





I
А
3 1
1 3
3
)
(
Y
U
E
I




;
(
54
)
394
,
3 278
,
0
)
782
,
17 30
(
3





I
А. Полученные значения тока
3 1
I
I

совпадают с рассчитанными ранее рассмотренными методами, следовательно, расчеты по методу межузлового напряжения выполнены верно. Листинг расчета рассматриваемой цепи методом межузлового напряжения с помощью математического редактора с приведен в прил. 2.

26