методические_разработки_к_лабораторным_занятиям_Восстановлен_Вос. Лабораторная работа 1 Исследование ряда случайных ошибок на закон нормального распределения

• Название: Лабораторная работа 1 Исследование ряда случайных ошибок на закон нормального распределения
• Дата: 25.04.2023
• Размер: 76.96 Kb.
• Имя файла: методические_разработки_к_лабораторным_занятиям_Восстановлен_Вос.docx
• Тип: Лабораторная работа; #1090009
• страница: 1 из 2

Лабораторная работа №1

Исследование ряда случайных ошибок на закон нормального распределения

Цель работы: исследовать данный ряд невязок на соответствие закону нормального распределения.

Дано: дан статистический ряд случайных величин – угловые невязки 32 треугольников микротриангуляции. Требуется проверить гипотезу о том, подчиняется ли этот ряд невязок нормальному распределению случайных величин.

№	Невязки	№	Невязки	№	Невязки	№	Невязки
1	-8,0	9	+16,4	17	-3,2	25	-1,8
2	-23,5	10	+11,9	18	-30,4	26	+32,3
3	-15,9	11	+4,7	19	-4,9	27	+43,0
4	-0,2	12	-35,4	20	+8,4	28	+13,7
5	-34,3	13	-2,8	21	-23,8	29	+9,6
6	-4,6	14	-26,6	22	+16,9	30	-22,1
7	-20,1	15	+8,3	23	-13,2	31	+18,7
8	-10,1	16	+20,5	24	+20,6	32	-6,0

Общий порядок вычисления задачи:

1.Составить ранжированный ряд исходных величин, т.е. разместить случайные величины в порядке возрастания их абсолютных значений.

2.Вычислить эмпирические значения математического ожидания M(∆) и стандарта m.

3.Вычислить среднюю, вероятную и предельную ошибки, а также коэффициенты к₁ и к₂.

4.Вычислить величину χ²(критерий Пирсона). Оценить ряд случайных величин согласно критерию согласия Пирсона.

5.Вычислить начальные и центральные моменты, асимметрию и эксцесс. Оценить их значения по приближенному критерию.

6.Построить гистограмму, выравнивающую и теоретическую кривые распределения.

7.Сделать вывод о соответствии рассмотренного ряда случайных величин закону нормального распределения вероятности.

Порядок вычисления:

1. Разместим невязки в порядке возрастания их абсолютных величин в таблице 1.

№ п/п	1	2	3	…	32	Σ
∆`
l∆`l
(∆`)2

2. Вычислим эмпирические значения математического ожидания М(∆) и стандарта m:



3. Вычислим ошибки: среднюю V, вероятную r и предельную ∆_пред, а также коэффициенты к₁ и к₂.





4. Вычислим величину χ² (критерий Пирсона) в таблице 2, где невязки сгруппируем в 12 интервалов размером 0,5 m.

№ п/п	конец интервала		mi			Pi	nPi	mi - nPi
	∆`	t
1
2
3
…
12
Σ

m_i – количество ошибок в i-товом интервале.

Значение Ф(t) – табличное (см. приложение А).

P_i – разница между двумя соседними интервалами.

В последнем столбце произведено вычисление χ² (сумма данной графы).

5. Вычислим асимметрию As и эксцесс Е.

Таблица 3. Вычисление данных для нахождения начальных моментов.

интервал		mi
1
2
3
…
12
Σ

- середина интервала

По данным таблицы 3 вычислим начальные моменты:





По вычисленным нами начальным моментам найдем центральные моменты второго, третьего и четвертого порядков.





Рассчитаем значение асимметрии:



Рассчитаем значение эксцесса:



Найдем дисперсию асимметрии и эксцесса:



6. Построим гистограмму, выравнивающую и теоретическую кривые распределения.

Таблица 4. Вычисление значений h_i для построения диаграммы

интервал	1	2	3	…	12
hi
hi, см

h_i (max) = 10

Таблица 5. Вычисление ординат точек выравнивающей кривой.

Граница интервала					y,см
1
2
…
7

7. Сделать выводы о подчинении и неподчинении рассматриваемого ряда ошибок нормальному закону распределения.

Для закона нормального распределения свойственно следующее:

;

;

;

;

; .
Лабораторная работа №2

Определение коэффициента корреляции и уравнения регрессии по опытным данным

Цель: установить корреляционную связь между двумя величинами.

Дано: даны абсолютные ошибки в превышениях, полученные при геометрическом нивелировании, и длины ходов D нивелирования. Требуется вычислить коэффициент корреляции величин и D, коэффициент регрессии, оценить их точность и составить уравнение регрессии.

	D, км	, мм
1	7,9	81
2	3,4	43
3	1,5	7
4	4,8	45
5	8,9	74
6	2,5	31
7	5,4	65
8	7,7	87
9	8,1	79
10	2,1	18
11	3,7	43
12	4,0	55
13	2,0	31
14	6,7	79
15	6,1	64
16	2,6	35

Порядок вычисления:

1. Составить расчетную таблицу.

2. Вычислить коэффициент корреляции и уравнение регрессии.

3. Построить график зависимости величины ошибки ∆ от длины линии D.

4. Сделать вывод.

Решение:

1. Составим таблицу:

	D, км	, мм
1
2
3
…
16
			Σ =	Σ =	Σ =	Σ =	Σ =

2. Вычислим коэффициент корреляции:



Найдем средние квадратические ошибки m_D и m_∆:



Определим надежность коэффициента корреляции (по таблице):

см. приложение Г «Значение функции Z», приняв коэффициент корреляции в качестве аргумента.

Найдем надежностный интервал для z:

z - t·G_Z ≤ z ≤ z + t·G_Z

По условию задачи t=2;


Минимально допустимое значение коэффициента корреляции вычислим по формуле:



.

Составим уравнение регрессии:

.

3. Построим график зависимости величины ошибки ∆ от длины линии D и прямую по уравнению регрессии.

4. На основании полученных данных (по виду графика и неравенств) можно ли считать корреляционную связь установленной.

Лабораторная работа №3

Обработка результатов равноточных измерений одной величины

Цель работы: обработать данный ряд равноточных измерений.

Дано: даны результаты равноточных измерений линии (м):

110, 338

381

394

387

385

379

393

386

382

389
Порядок выполнения работы:

1.Составить расчетную таблицу.

2. Провести контроль для суммы уклонений.

3. Вычислить и провести контроль величины .

4. Вычислить среднюю квадратическую ошибку отдельного измерения.

5.Определить надежность средней квадратической ошибки отдельного результата измерений.

6.Вычислить среднюю квадратическую ошибку среднего арифметического.

7. Определить надежность средней квадратической ошибки среднего арифметического.

Решение:

1. 
   Составим расчетную таблицу.
   

i	Li, м	ε=li – l0		νi, мм
1
2
3
Σ	-

2. Контроль для суммы уклонений:



3. Вычислим и проведем контроль величины :



4.Вычислим среднюю квадратическую ошибку отдельного измерения по формуле Бесселя:



5.Определим надежность средней квадратической ошибки отдельного результата измерений:



6.Вычислим среднюю квадратическую ошибку среднего арифметического:



7.Определим надежность средней квадратической ошибки среднего арифметического:



Лабораторная работа №4

Оценка точности по разностям двойных равноточных измерений

Цель работы: оценить точность двойных равноточных измерений по их разностям.

Дано: даны превышения между точками, определенные по черной и красной сторонам реек.

Порядок выполнения работы:

1. Составить расчетную таблицу.

2. Провести контроль значения .

3. Вычислить среднюю квадратическую ошибку одного измерения и среднюю квадратическую ошибку арифметической середины.

4. Определить надежность средней квадратической ошибки отдельного результата измерений.

5. Определить надежность средней квадратической ошибки среднего арифметического.

Решение:

1.Составим расчетную таблицу:

№ превышений				Превышения, вычисленные по сторонам реек:						d,мм	, мм
				черная			красная
1				+1,384			+1,382
2				-0,817			-0,813
3				+0,373			+0,370
4				+0,448			+0,451
5			+1,755			+1,758
6			+0,211			+0,215
7			+0,314			+0,317
8			-0,227			-0,229
9		+0,972				+0,975
Σ	-				-

Вычислим значение остаточной систематической ошибки θ:


2. Контроль значения


Критерием допустимости является неравенство:



3. Вычислим среднюю квадратическую ошибку одного измерения :



Вычислим среднюю квадратическую ошибку арифметической середины :



Следует заметить, что средние квадратические ошибки, полученные по разностям двойных измерений, обычно дают преуменьшенные результаты.

4. Определим надежность средней квадратической ошибки отдельного результата измерений:



5. Определим надежность средней квадратической ошибки среднего арифметического:



Лабораторная работа №5

«Обработка ряда неравноточных измерений»

Теоретические пояснения