|
|
лабы чм. Лабораторная работа 1 по теме Методы решения нелинейных уравнений
Задание для численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений:
дифференциальное уравнение  ;
интервал [0;1];
начальные условия x0=0, y0=1;
шаг интегрирования h0=0.1.
Точное аналитическое решение заданного дифференциального уравнения
Найдем точное аналитическое решение заданного дифференциального уравнения (решение y=y(x))методом разделения переменных. Для этого запишем уравнение в виде  и проинтегрируем с учетом начальных условий. Получим   . Из начальных условий следует, что с=0.
Аналитическое решение дифференциального уравнения  .
Значения точного решения ОДУ –y(x)
Вычислим значения полученного решения y(xi) на отрезке [0;1] с шагом изменения аргумента h=0.1:
xi
|
y(xi)
|
0
|
1
|
0.1
|
1.1051711
|
0.2
|
1.2214026
|
0.3
|
1.3498585
|
0.4
|
1.4918243
|
0.5
|
1.6487202
|
0.6
|
1.8221179
|
0.7
|
2.0137515
|
0.8
|
2.2255394
|
0.9
|
2.4596014
|
1
|
2.7182798
|
Численное решение заданного ДУ методом Эйлера
Найдем значения численного решение ОДУ методом Эйлера ( )в точках отрезка[0;1]с шагом h=0.1. Для этогоДУ записывают в виде y’=f(x,y) . Тогда общая формула для определения очередного значения функции по методу Эйлера имеет вид yi+1=yi+hf(xi,yi), где  ,  :
xi
|
|
0
|
|
0.1
|
1.1000
|
0.2
|
1.210000
|
0.3
|
1.331000
|
0.4
|
1.4641001
|
0.5
|
1.6105101
|
0.6
|
1.7715611
|
0.7
|
1.9487172
|
0.8
|
2.1435795
|
0.9
|
2.3579478
|
1
|
2.5937426
|
Значения погрешностей
Вычислим значения погрешностей для , , :
xi
|
Ei
|
0
|
|
0.1
|
0.005171
|
0.2
|
0.011403
|
0.3
|
0.018858
|
0.4
|
0.027724
|
0.5
|
0.038211
|
0.6
|
0.050557
|
0.7
|
0.065034
|
0.8
|
0.081960
|
0.9
|
0.101654
|
1
|
0.124537
|
Схема алгоритма и программа решения ОДУ методом Рунге-Кутты 4-го порядка с автоматическим выбором шага
Схема алгоритма интегрирования ОДУ методом Рунге-Кутты 4-го порядка с автоматическим выбором шага приведена на рис.5.3-2 и рис. 5.3-3 в [2], а программу студенты должны написать самостоятельно.
Решения, полученные по составленной программе «расчетом на ПК»
Выполним программу и получим решение (то есть получим значения  с шагом
h= 0.1 и Е =10-4 ):
xi
|
|
0
|
1
|
0.1
|
1.105171
|
0.2
|
1.221403
|
0.3
|
1.349859
|
0.4
|
1.491825
|
0.5
|
1.648721
|
0.6
|
1.822119
|
0.7
|
2.013753
|
0.8
|
2.225541
|
0.9
|
2.459603
|
1
|
2.718282
|
Значения погрешностей
Вычислим значения погрешностей , 
xi
|
|
0
|
0
|
0.1
|
0.0000001
|
0.2
|
0.0000004
|
0.3
|
0.0000005
|
0.4
|
0.0000007
|
0.5
|
0.0000008
|
0.6
|
0.0000011
|
0.7
|
0.0000015
|
0.8
|
0.0000016
|
0.9
|
0.0000016
|
1
|
0.0000022
|
Все решения, полученные выше, сведем в табл. результатов 1.5-2:
xi
|
y(xi)
|
|
Ei
|
|
|
0
|
1
|
1
|
0
|
1
|
0
|
0.1
|
1.1051711
|
1.1000
|
0.005171
|
1.105171
|
0.0000001
|
0.2
|
1.2214026
|
1.210000
|
0.011403
|
1.221403
|
0.0000004
|
0.3
|
1.3498585
|
1.331000
|
0.018858
|
1.349859
|
0.0000005
|
0.4
|
1.4918243
|
1.4641001
|
0.027724
|
1.491825
|
0.0000007
|
0.5
|
1.6487202
|
1.6105101
|
0.038211
|
1.648721
|
0.0000008
|
0.6
|
1.8221179
|
1.7715611
|
0.050557
|
1.822119
|
0.0000011
|
0.7
|
2.0137515
|
1.9487172
|
0.065034
|
2.013753
|
0.0000015
|
0.8
|
2.2255394
|
2.1435795
|
0.081960
|
2.225541
|
0.0000016
|
0.9
|
2.4596014
|
2.3579478
|
0.101654
|
2.459603
|
0.0000016
|
1
|
2.7182798
|
2.5937426
|
0.124537
|
2.718282
|
0.0000022
|
Где  ,  ,
 – аналитическое решение ОДУ,
- решение ОДУ, полученное методом Эйлера,  ,
- решение ОДУ методом Рунге-Кутты 4-го порядка,  .
Графическая иллюстрация решений 
В данном случае решение y(x) совпадает с .
Что такое обыкновенное дифференциальное уравнение?
Что такое порядок ОДУ?
Что называется аналитическим решением ОДУ 1-го порядка?
Что является общим решением ОДУ ?
Что является геометрической интерпретацией общего решения ОДУ ?
Что является численным решением ОДУ ?
Что относится к начальным условиям при решении ОДУ 1-го порядка численными методами?
По какому правилу проводят оценку погрешности решения методов Рунге-Кутты?
Как выглядит формула для определения очередного значения функции по методу Рунге-Кутты 1-го порядка?
Уменьшение шага интегрирования при использовании методов Рунге-Кутты приводит к уменьшению или увеличению погрешности?
В обыкновенном дифференциальном уравнении присутствуют производные разных порядков от одной переменной или только первая производная от нескольких переменных?
Методы Рунге-Кутты являются одношаговыми или многошаговыми методами?
Сколько раз на каждом шаге необходимо вычислять  в модифицированном методе Эйлера?
Очередная точка решения ОДУ методом Рунге-Кутты вычисляется на основании одного или двух предыдущих значений функции?
Возможно ли в методах Рунге-Кутты применение переменного шага интегрирования?
Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием или дифференцированием?
Каковы формулы оценки погрешности методов Рунге-Кутты?
Почему метод Эйлера называют методом Рунге-Кутты первого порядка?
С помощью чего при оценке погрешности метода автоматического выбора шага учитывается порядок используемого метода Рунге-Кутты?
Можно ли оценить погрешность решения ОДУ, не зная точного решения?
|
|
|
Скачать 0.5 Mb.