лабы чм. Лабораторная работа 1 по теме Методы решения нелинейных уравнений

• Название: Лабораторная работа 1 по теме Методы решения нелинейных уравнений
• Анкор: лабы чм
• Дата: 12.05.2023
• Размер: 0.5 Mb.
• Имя файла: NLU_Interp_MNK_Integr_ODU_LAB_12883677.docx
• Тип: Лабораторная работа; #1124506
• страница: 4 из 7

3.4. Содержание отчета

1. 
   Индивидуальное задание.
   
2. 
   Линейная аппроксимация:
   

• 
  значения элементов матрицы Грамма и столбцов свободных членов, представленные в табл. 3-3:
  

Таблица 3-3

0
1
2
3
4
5

• 
  системы нормальных уравнений и их решения, аппроксимирующие функции;
  
• 
  исходная функция и результаты аппроксимации в узловых точках, представленные в табл. 3-4:
  

Таблица 3-4

• 
  оценка погрешности (среднеквадратическое отклонение).
  

3. 
   Аппроксимация с помощью математического пакета.
   

3.5. Пример выполнения задания

1. 
   Задание для решения задачи аппроксимации
   

Для решения задачи аппроксимации методом наименьших квадратов выберем функцию y(x), заданную следующей таблицей:

	1.0	1.2	1.4	1.6	1.8	2.0
	0.634	2.44	3.326	2.926	2.24	2.634

2. 
   Линейная аппроксимация:
   

Вычислить и записать в табл. 3-3 элементы матрицы Грамма и столбец свободных членов:

0	1.0	0.634	0.634	1
1	1.2	2.44	2.928	1.44
2	1.4	3.326	4.6564	1.96
3	1.6	2.926	4.6816	2.56
4	1.8	2.24	4.032	3.24
5	2.0	2.634	5.268	4
	9	14.2	22.2	10.2

составить системы нормальных уравнений:

для линейной функции P1(x) = А0+А1*x система нормальных уравнений примет вид (линейная аппроксимация):
6*А0+9*А1 = 14.2

9*А0+10.2*А1 = 22.2
решить систему уравнений:

получим коэффициенты А0 = 0.438 и А1 = 1.286, тогда полином первой степени будет таким:
P1(x) = 0.438+1.286*x

3. 
   Аппроксимация с помощью математического пакета
   

Осуществить аппроксимацию таблично заданной функции многочленом 1, 2, 3, 4 и 5-й степени.

В этом примере рассмотрено использование функции linfit(x,y,f), где x,y- соответственно векторы значений аргументов и функции, а f – символьный вектор базисных функций. Использование этой функции позволяет определить вектор коэффициентов аппроксимации методом наименьших квадратов и далее невязку - среднеквадратическую погрешность приближения исходных точек к аппроксимирующей функции (сkо). Степень аппроксимирующего многочлена задается при описании символьного вектора f. В примере представлена аппроксимация таблично заданной функции многочленом 1, 2, 3, 4, 5-й степени, . Вектор s представляет собой набор аппроксимирующих коэффициентов, что позволяет получить аппроксимирующую функцию в явном виде.

Следует построить графики для полиномов 1, 2 и 5 степени.

Проанализировать изменение СКО в зависимости от степени полинома.

Лабораторная работа по теме №4
«Численное интегрирование»

4.1. Вопросы, подлежащие изучению

1. 
   Постановка задачи численного интегрирования.
   
2. 
   Методы прямоугольников, трапеций, Симпсона.
   
3. 
   Оценки погрешности численного интегрирования. Априорные, апостериорные. Правило Рунге.
   
4. 
   Графическая иллюстрация методов прямоугольников, трапеций и Симпсона.
   

4.2. Задание

5. 
   Выбрать индивидуальное задание из табл.4-1 для численного интегрирования:
   

• 
  f(x) – подынтегральную функцию;
  
• 
  a, b– пределы интегрирования;
  
• 
  методы интегрирования для выполнения п.2 – значение в столбце tиm;
  
• 
  начальный шаг интегрирования h_0.
  

При этом значения в столбцах t и m означают: 1 –интегрирование методом средних прямоугольников, 2 – методом трапеций, 3 – методом Симпсона.

1. 
   Вычислить интеграл по 1-му заданному методу, определяя значения (столбец m)из табл. 4-1, с шагом и ( и ).
   
2. 
   Провести оценку погрешности полученных результатов по правилу Рунге.
   
3. 
   Написать программу для вычисления интеграла по 2-му заданному методу (столбец t из табл. 4-1) с точностями 10^-2, 10^-3, 10^-4 . Получить результаты с точностями 10^-2, 10^-3, 10^-4
   
4. 
   Построить график зависимости числа разбиений отрезка от заданной точности.
   
5. 
   Вычислить заданный интеграл с использованием функции intg пакета Scilab.
   

4.3. Варианты задания

Таблица 4-1

№	Подынтегральная функция	a	b	t	m
1	f(x) = 8 e-x sin(-2x)	2	3	1	3	0.25
2	f(x) = e-x sin(2x)	0	2	2	1	0.5
3	f(x) = x3/2 – 2 x sin(x)	3	4	3	2	0.25
4	f(x) = e-xcos(-2x)	2	4	1	3	0.5
5	f(x) = cos(2x) + 2 sin(x)	1	3	2	1	0.5
6	f(x) = 8 sin(2x) – x	0.2	1.2	3	2	0.25
7	f(x) = 5 cos(-2x) e-x	-0.5	0.5	2	3	0.25
8	f(x) = x sin(x + 1) – cos(x – 5)	1	2	1	2	0.25
9	f(x) = 0,25 x3 + cos(x/4)	1	3	1	3	0,5
10	f(x) = sin(2x) – 2 sin(x)	3.5	5	1	3	0.5
11	f(x) = sin(ex) – e-x +1	0	1	2	1	0.25
12	f(x) = 5 x sin(x + 1) + 2 cos(x)	1	2	1	2	0.25
13	f(x) = 5 e-x + 4 x + x3/3	-1	1	1	2	0.5
14	f(x) = -2 sin(4x) ln(-x) + 5	-2.5	-1.5	1	3	0.25
15	f(x) = sin(x – 1) – x cos(x + 3)	-4	-2	3	1	0.5
16	f(x) = 4 sin (x) – x1/2	1	2	2	3	0.25
17	f(x) = 5 sin3(x) + cos3(x)	1	2	2	1	0.25
18	f(x) = cos(2x + 1) ln (2 / x) + 3	1	3	3	2	0.5
19	f(x) = 3 cos(x2) / ln(x + 5)	-1	1	1	3	0.5
20	f(x) = sin(x2) + 1 / (2 – x)	-1.5	0.5	2	1	0.5
21	f(x) = x sin(x) + cos(x) + 5	0	2	1	2	0.5
22	f(x) = – cos(x) – cos(2x) – x + 5	1	3	3	1	0.5
23	f(x) = 1 + sin(4x) / ln(x)	1.5	2.5	1	3	0.25
24	f(x) = (1 + x2)1/2 + e-x	-1	2	2	1	0.75
25	f(x) = sin(x + 1) e2 / x	1	2	3	2	0.25
26	f(x) = 2 (1 + x) e-x – 2 cos(x)	1	4	2	3	0.75
27	f(x) = – 8 sin(– x3) e-x	0.4	1.4	1	3	0.25
28	f(x) = – 10 sin(x3) cos(– x)	-1.4	-0.4	2	1	0.25
29	f(x) = x2cos(x + 3) – 4	3	4	3	1	0.25
30	f(x) = – cos(x – 5) e2x / 3	1	3	1	3	0.5

4.4. Содержание отчета

1. 
   Индивидуальное задание.
   
2. 
   Сценарий пакета Scilab для проведения расчета двумя заданными методами интегралов с шагом и ( и ) и значения погрешностей по правилу Рунге.
   
3. 
   Программа вычисления интеграла по 2-му заданному методу точностями 10^-2, 10^-3, 10^-4 10^-4.
   
4. 
   График полученной зависимости.
   
5. 
   Результаты решения, полученные с помощью функции пакета Scilab.
   

4.5. Пример выполнения задания

1. 
   Задания для численного интегрирования:
   

• 
  – подынтегральная функция;
  
• 
  a=1, b=3–пределы интегрирования;
  
• 
  методы интегрирования – средних прямоугольников, трапеций, Симпсона;
  
• 
  начальный шаг интегрирования h₀=1_.
  

2. 
   Вычисление интегралов с шагом и ( и ) и оценка его погрешности по правилу Рунге
   

Правило Рунге применяют для вычисления погрешности путём двойного просчёта интеграла с шагами h/2 и h,при этом погрешность вычисляется по формуле .

Полагают, что интеграл вычислен с точностьюЕ, если тогда , где – уточненное значение интеграла, p – порядок метода.

Вычислим интеграл по формуле

• 
  средних прямоугольников и оценим погрешность интегрирования методом двойного просчёта:
  

• 
  трапеций и оценим погрешность интегрирования методом двойного просчета:
  

• 
  Симпсона и оценим погрешность интегрирования методом двойного просчета:
  

где

3.6. Вычисление определенных интегралов в Scilab

--> deff('y=f(x)','y=log(x)'); --> a=1;b=3; --> [s,ir]=intg(a,b,f) ir = 1.439D-14 s = 1.2958369

Контрольные вопросы по теме
«Численное интегрирование»

1. 
   Что такое шаг интегрирования?
   
2. 
   Каким образом связана задача численного интегрирования и интерполяция?
   
3. 
   Какое влияние оказывает уменьшение числа разбиений на отрезке [a;b] на погрешность интегрирования?
   
4. 
   Каким образом вычисляется определенный интеграл в случае, если подынтегральная функция задана таблицей с переменным шагом?
   
5. 
   Какой из изученных вами методов численного интегрирования обладает высшей степенью точности?
   
6. 
   Зависит ли точность численного интегрирования от величины шага интегрирования?
   
7. 
   Для чего предназначен метод двойного просчета?
   
8. 
   Что представляет собой формула для вычисления элементарного интеграла по формуле трапеций?
   
9. 
   Что представляет собой формула для вычисления элементарного интеграла по формуле Симпсона?
   
10. 
    Интерполяционным многочленом, какой степени заменяется подынтегральная функция в методе прямоугольников?
    
11. 
    Интерполяционным многочленом, какой степени заменяется подынтегральная функция в методе трапеций?
    
12. 
    В каком методе для вычисления интеграла необходимо выбирать количество интервалов разбиения кратное двум?
    
13. 
    Какой метод позволяет обеспечить вычисление интеграла с заданной точностью?
    
14. 
    Какой метод численного интегрирования даст наиболее точный результат, если подынтегральная функция имеет вид y = 5x³?
    
15. 
    В каком методе численного интегрирования подынтегральная функция заменяется квадратичным полиномом?
    
16. 
    Какой метод численного интегрирования даст точный результат, если подынтегральная функция имеет вид f(x) = x²?
    
17. 
    Какой метод интегрирования наилучшим образом подходит для вычисления интеграла линейной функции?
    
18. 
    Обеспечивают ли методы трапеций и метод средних прямоугольников точность одного порядка?
    
19. 
    Какой из известных вам методов интегрирования обладает наименьшей точностью?
    
20. 
    Сколько шагов интегрирования содержит элементарный отрезок интегрирования в методе Симпсона?