лабы чм. Лабораторная работа 1 по теме Методы решения нелинейных уравнений
![]()
|
Лабораторная работа №1по теме |
№ | Уравнение | 1-й метод | 2-й метод | № | Уравнение | 1-й метод | 2-й метод |
1 | x - cos(x / 3) = 0 | 1 | 4 | 16 | sin(1 – 0.2x2) – x = 0 | 3 | 4 |
2 | x + ln(4x) – 1 = 0 | 3 | 1 | 17 | ex – e-x – 2 = 0 | 2 | 1 |
3 | ex – 4 e-x – 1 = 0 | 2 | 4 | 18 | x – sin(1 / x) = 0 | 4 | 1 |
4 | x ex – 2 = 0 | 3 | 2 | 19 | ex + ln(x) – x = 0 | 1 | 2 |
5 | 4 (x2 + 1) ln(x) – 1 = 0 | 1 | 3 | 20 | 1–x+sin(x)–ln(1+x) = 0 | 1 | 3 |
6 | 2 – x – sin(x / 4) = 0 | 4 | 1 | 21 | (1–x)1/2–cos(1–x) = 0 | 4 | 1 |
7 | x2 + ln(x) – 2 = 0 | 1 | 2 | 22 | sin(x2)+cos(x2)–10x = 0 | 3 | 2 |
8 | cos(x)–(x + 2)1/2 + 1 = 0 | 2 | 3 | 23 | x2 – ln(1 + x) – 3 = 0 | 2 | 3 |
9 | 4 (1 + x1/2) ln(x) – 1 = 0 | 2 | 1 | 24 | cos(x / 2) ln(x – 1) = 0 | 1 | 2 |
10 | 5 ln(x) – x1/2 = 0 | 2 | 3 | 25 | cos(x/5) (1+x)1/2–x = 0 | 1 | 3 |
11 | ex + x3 – 2 = 0 | 1 | 4 | 26 | 3x – e-x = 0 | 4 | 2 |
12 | 3 sin (x1/2) + x – 3 = 0 | 3 | 1 | 27 | 4(1+x1/2) ln(x)–10 = 0 | 1 | 3 |
13 | 0.1x2 – x ln(x) = 0 | 1 | 4 | 28 | sin(x)–31/2cos(x)+4x–4 = 0 | 3 | 4 |
14 | cos(1 + 0.2x2) – x = 0 | 1 | 3 | 29 | x – 1 / (3 + sin(3.6x)) = 0 | 1 | 3 |
15 | 3 x – 4 ln(x) – 5 = 0 | 1 | 2 | 30 | 0.25x3 + cos(x / 4) = 0 | 4 | 2 |
В табл. 1-1 номера методов: 1 – половинное деление;2 – итерации;3 – Ньютона; 4 – хорд.
1.4. Содержание отчета
Индивидуальное задание (уравнение, методы для выполнения 3-х итераций).
Результат отделения корней (график функции, таблица значений функции и её производных, вывод об отделённом отрезке, содержащем один корень).
Результаты исследования функции уравнения для проведения расчетов. Привести для каждого метода:
условие сходимости вычислительного процесса;
начальное приближение;
условие окончания этапа уточнения корня.
В сценарии мат. пакета создать функции для проведения расчета 1-м методом. Результаты расчета по каждому методу свести в табл. 1-2.
Таблица 1-2
к | x | f(x) |
1 | | |
2 | | |
3 | | |
4 | | |
Оценки погрешностей результатов расчетов после 3-х итераций с использованием формулы, соответствующего метода.
Создать программу для решения уравнения 2-м заданный методом с точностью
![](1124506_html_200265bbbc1ade21.gif)
1.5. Пример выполнения задания с использованием мат. пакета MathCad
Решить уравнение
![](1124506_html_2bd9286be698c897.gif)
методы решения нелинейных уравнений – половинного деления, итерации, Ньютона и хорд;
Этап отделения корней.
Используем для этого математический пакет MathCad. Отделение корней произведем как графическим методом (график функции), так и аналитически (таблица).
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Рис.1. Графическое и аналитическое отделение корней уравнения.
Из построенного графика функции f(x) видно, что на отрезке (0, 1) есть один корень. На этом графический способ отделения корней заканчивается.
Другой вариант отделения корня – решить задачу аналитически.
Для аналитического отделения корня построена таблица рис.1. Она требует пояснений. В столбцах таблицы выведены некоторые значения аргумента x на заданном отрезке, а также значения функций f(x),
![](1124506_html_3b7c8d6d0d54fb7e.gif)
Видно, что на отрезке (0, 1) функция f(x) меняет знак, значит существует, по крайней мере, один корень.
Значения первой производной
![](1124506_html_ede967ab93407a71.gif)
![](1124506_html_ede967ab93407a71.gif)
![](1124506_html_ede967ab93407a71.gif)
![](1124506_html_ede967ab93407a71.gif)
![](1124506_html_ede967ab93407a71.gif)
Значения первой и второй производной
![](1124506_html_3b7c8d6d0d54fb7e.gif)
Этап уточнения корня
Метод половинного деления
Исследование задания
Метод половинного деления сходится, если на выбранном отрезке отделен один корень. Так как на отрезке [0;1] функция
![](1124506_html_2bd9286be698c897.gif)
![](1124506_html_e6e1c95516f2e1db.gif)
Выберем за начальное приближение середину отрезка
![](1124506_html_753f796b5af051b1.gif)
Условие окончания процесса уточнения корня. Для оценки погрешности метода половинного деления справедливо условие
|bn – an|<ε , т.е. длина отрезка, полученного на n-ом шаге должна быть меньше заданной точности -
![](1124506_html_d27a737a3fd42a07.gif)
Результаты «ручного расчета» трех итераций
![]() 1 итерация ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() следовательно, ![]() ![]() 2 итерация ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() следовательно, ![]() ![]() 3 итерация ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() следовательно, ![]() ![]() и т.д. |
Рис.2. Три итерации метода половинного деления
Результаты вычислений представлены в форме табл. 1-2а.
n | an | bn | f(an) | f(bn) | (an+bn)/2 | f( (an+bn)/2) | bn-an |
0 | 0 | 1 | 2 | -1.459 | 0.5 | 0.377 | 1 |
1 | 0.5 | 1 | 0.377 | -1.459 | 0.75 | -0.518 | 0.5 |
2 | 0.5 | 0.75 | 0.377 | -0.518 | 0.625 | -0.064 | 0.25 |
3 | 0.5 | 0.625 | | | | | 0.125 |
После трех итераций приближение к корню – середина отрезка [a3, b3] – x3=0.5625.
Оценка погрешности результата после трех итераций: R = | b3 – a3 | = 0.125.
Это значит, что x3 отличается от неизвестного точного значения корня не больше чем на величину R = 0.125.
Метод простых итераций
1) Исследование задания
Приведем уравнение f(x)=0 к виду
![](1124506_html_7b0a38282ddad436.gif)
![](1124506_html_5af7dfd74a7d4484.gif)
![](1124506_html_d9e2b287eeaa618d.gif)
![](1124506_html_a05c85a6fe4090cb.gif)
![](1124506_html_ba6f04a8f5d0a61a.gif)
![](1124506_html_223f7938be22801.gif)
Приведем уравнение
![](1124506_html_2bd9286be698c897.gif)
![]() |
В приведенном примере условие сходимости выполняется и можно использовать итерирующую/итерационную функцию
![](1124506_html_3c94d4c6e551d424.gif)
![](1124506_html_94c6297254740df0.gif)
Построим функцию j(x) = х + lf(x), где параметр
![](1124506_html_3c3f89ab269fe1be.gif)
![](1124506_html_33e9ffaba52b647b.gif)
![](1124506_html_8db10e1346a29c5d.gif)
![](1124506_html_44c54a6b6307649a.gif)
l =
![](1124506_html_57d1e2e8188b4042.gif)
Тогда рекуррентная формула: φ(x)= x + (1 - 3x + cos x)/3.841.
2) «Ручной расчет» трех итераций
Для получения решения уравнения методом итерации необходимо воспользоваться следующей рекуррентной формулой:
![](1124506_html_739eeed8c0da58ac.gif)
![](1124506_html_698051ee657e34f3.gif)
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Результаты вычислений представлены в форме табл. 1-2б.
к | Xк | f(xк) |
0 | 0 | 2 |
1 | 0.667 | -0.214 |
2 | 0.595 | 0.042 |
3 | 0.609 | -7.95 • 10-3 |
Сходимость итерационного процесса подтверждается принадлежностью всех
![](1124506_html_fb29b795e7ac01c9.gif)
![](1124506_html_fb29b795e7ac01c9.gif)
Получим оценку погрешности результата после трех итераций:
![](1124506_html_9f6e830dbd23fed3.gif)
Метод хорд
1) Исследование задания.
Необходимые и достаточные условия сходимости аналогичны методу Ньютона, а именно:
![](1124506_html_bd8090a6a761eb33.gif)
![](1124506_html_f0c3d74a0f695c9.gif)
![](1124506_html_294168a17e27e9d.gif)
![](1124506_html_f92f12f8aa95a7b4.gif)
![](1124506_html_be2eb46742a3cb0e.gif)
В нашем случае на отрезке [0;1] требования сходимости выполняются.
На этапе отделения корня было показано, что для функции f(x)=1–3x+cosx вторая производная
![](1124506_html_f06ccbb508a835cb.gif)
![](1124506_html_1c6d8724499bb4e.gif)
![](1124506_html_9ac9453c34d6cc1a.gif)
Таким образом, полагая
![](1124506_html_e888210e2b9f84d9.gif)
В рассматриваемой задаче рекуррентная формула принимает следующий вид
![](1124506_html_7d38f3dc0d8d56d9.gif)
![](1124506_html_ef08d9c2eb07d290.gif)
![](1124506_html_29dc80d3ee0d51f9.gif)
Оценку погрешности можно проводить по любой из формул
![](1124506_html_c47275cfb007ec1f.gif)
![](1124506_html_7ac3fd0610e3d386.gif)
![](1124506_html_ce2d458df6b87491.gif)
2) Расчет трех итераций
Для получения решения уравнения методом хорд воспользуемся следующей рекуррентной формулой:
![](1124506_html_3215ee50e46a4035.gif)
![](1124506_html_9d226449f4e26f8c.gif)
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Результаты вычислений представлены в виде следующей таблицы:
n | Xn | f(xn) |
0 | 0 | 2 |
1 | 0.5781 | 0.10325 |
2 | 0.6059 | 4.0808 •10-3 |
3 | 0.60706 | 1.59047•10-4 |
3) Оценку погрешности результата, вычисленного методом хорд, получим по формуле
![](1124506_html_7ac3fd0610e3d386.gif)
|
![](1124506_html_6d898c24d06af011.gif)
![](1124506_html_4921d3b79cbdf932.gif)
![](1124506_html_ffe1c26bd3829958.gif)
Метод Ньютона
1) Исследование задания.
Необходимые и достаточные условия сходимости метода Ньютона:
![](1124506_html_bd8090a6a761eb33.gif)
![](1124506_html_f0c3d74a0f695c9.gif)
![](1124506_html_294168a17e27e9d.gif)
![](1124506_html_f92f12f8aa95a7b4.gif)
![](1124506_html_be2eb46742a3cb0e.gif)
В нашем случае на отрезке [0;1] требования сходимости выполняются.
Начальное приближение
![](1124506_html_9d226449f4e26f8c.gif)
![](1124506_html_1757c16d857b4652.gif)
![](1124506_html_5324f1bba0769daf.gif)
![](1124506_html_d6484021998a415a.gif)
![](1124506_html_9d226449f4e26f8c.gif)
2) Расчет трех итераций
Для получения решения уравнения методом Ньютона воспользуемся следующей рекуррентной формулой:
![](1124506_html_93c083cce7ed874b.gif)
В нашем случае
![](1124506_html_175631abb0075453.gif)
![](1124506_html_9d226449f4e26f8c.gif)
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Представим вычисления в виде следующей табл. 1-2б.
k | Xk | f(xk) |
0 | 1 | -1.4597 |
1 | 0.62 | -0.046 |
2 | 0.607121 | -6. 788 •10-5 |
3 | 0.60710164814 | -1.484 •10-10 |
Оценим погрешность после трех итераций:
![](1124506_html_8b009bff534f6db2.png)
Сравните оценки погрешности методов после трех итераций. Представляется, что комментарии излишни.
0>