лабы чм. Лабораторная работа 1 по теме Методы решения нелинейных уравнений
Скачать 0.5 Mb.
|
Лабораторная работа №1по теме |
№ | Уравнение | 1-й метод | 2-й метод | № | Уравнение | 1-й метод | 2-й метод |
1 | x - cos(x / 3) = 0 | 1 | 4 | 16 | sin(1 – 0.2x2) – x = 0 | 3 | 4 |
2 | x + ln(4x) – 1 = 0 | 3 | 1 | 17 | ex – e-x – 2 = 0 | 2 | 1 |
3 | ex – 4 e-x – 1 = 0 | 2 | 4 | 18 | x – sin(1 / x) = 0 | 4 | 1 |
4 | x ex – 2 = 0 | 3 | 2 | 19 | ex + ln(x) – x = 0 | 1 | 2 |
5 | 4 (x2 + 1) ln(x) – 1 = 0 | 1 | 3 | 20 | 1–x+sin(x)–ln(1+x) = 0 | 1 | 3 |
6 | 2 – x – sin(x / 4) = 0 | 4 | 1 | 21 | (1–x)1/2–cos(1–x) = 0 | 4 | 1 |
7 | x2 + ln(x) – 2 = 0 | 1 | 2 | 22 | sin(x2)+cos(x2)–10x = 0 | 3 | 2 |
8 | cos(x)–(x + 2)1/2 + 1 = 0 | 2 | 3 | 23 | x2 – ln(1 + x) – 3 = 0 | 2 | 3 |
9 | 4 (1 + x1/2) ln(x) – 1 = 0 | 2 | 1 | 24 | cos(x / 2) ln(x – 1) = 0 | 1 | 2 |
10 | 5 ln(x) – x1/2 = 0 | 2 | 3 | 25 | cos(x/5) (1+x)1/2–x = 0 | 1 | 3 |
11 | ex + x3 – 2 = 0 | 1 | 4 | 26 | 3x – e-x = 0 | 4 | 2 |
12 | 3 sin (x1/2) + x – 3 = 0 | 3 | 1 | 27 | 4(1+x1/2) ln(x)–10 = 0 | 1 | 3 |
13 | 0.1x2 – x ln(x) = 0 | 1 | 4 | 28 | sin(x)–31/2cos(x)+4x–4 = 0 | 3 | 4 |
14 | cos(1 + 0.2x2) – x = 0 | 1 | 3 | 29 | x – 1 / (3 + sin(3.6x)) = 0 | 1 | 3 |
15 | 3 x – 4 ln(x) – 5 = 0 | 1 | 2 | 30 | 0.25x3 + cos(x / 4) = 0 | 4 | 2 |
В табл. 1-1 номера методов: 1 – половинное деление;2 – итерации;3 – Ньютона; 4 – хорд.
1.4. Содержание отчета
Индивидуальное задание (уравнение, методы для выполнения 3-х итераций).
Результат отделения корней (график функции, таблица значений функции и её производных, вывод об отделённом отрезке, содержащем один корень).
Результаты исследования функции уравнения для проведения расчетов. Привести для каждого метода:
условие сходимости вычислительного процесса;
начальное приближение;
условие окончания этапа уточнения корня.
В сценарии мат. пакета создать функции для проведения расчета 1-м методом. Результаты расчета по каждому методу свести в табл. 1-2.
Таблица 1-2
к | x | f(x) |
1 | | |
2 | | |
3 | | |
4 | | |
Оценки погрешностей результатов расчетов после 3-х итераций с использованием формулы, соответствующего метода.
Создать программу для решения уравнения 2-м заданный методом с точностью 10-4. Построить график зависимости количества итераций от точности в логарифмическом масштабе.Решение нелинейного уравнения с использованием функции fsolve.
1.5. Пример выполнения задания с использованием мат. пакета MathCad
Решить уравнение ;
методы решения нелинейных уравнений – половинного деления, итерации, Ньютона и хорд;
Этап отделения корней.
Используем для этого математический пакет MathCad. Отделение корней произведем как графическим методом (график функции), так и аналитически (таблица).
|
Рис.1. Графическое и аналитическое отделение корней уравнения.
Из построенного графика функции f(x) видно, что на отрезке (0, 1) есть один корень. На этом графический способ отделения корней заканчивается.
Другой вариант отделения корня – решить задачу аналитически.
Для аналитического отделения корня построена таблица рис.1. Она требует пояснений. В столбцах таблицы выведены некоторые значения аргумента x на заданном отрезке, а также значения функций f(x), при этих значениях x.
Видно, что на отрезке (0, 1) функция f(x) меняет знак, значит существует, по крайней мере, один корень.
Значения первой производной в заданных точках отрезка (0, 1) не меняет знак, что вызывает некоторую надежду о том, что не меняет знак на всем отрезке (0, 1), но делать вывод об этом не совсем корректно с точки зрения математики. Однако анализ аналитического выражения = –sin(x)–3 приводит к выводу, что <= -2 при любых значениях x. А это значит, что отрицательно на всем отрезке (0, 1), и уже из этого следует, что на отрезке (0, 1) функция f(x) монотонна и имеет один корень.
Значения первой и второй производной на отрезке (0, 1) из таблицы рис.1 будут использованы в методах Ньютона, хорд и итераций.
Этап уточнения корня
Метод половинного деления
Исследование задания
Метод половинного деления сходится, если на выбранном отрезке отделен один корень. Так как на отрезке [0;1] функция меняет знак ( ) и монотонна (f′(x)<0), то условие сходимости выполняется.
Выберем за начальное приближение середину отрезка
=0.5.
Условие окончания процесса уточнения корня. Для оценки погрешности метода половинного деления справедливо условие
|bn – an|<ε , т.е. длина отрезка, полученного на n-ом шаге должна быть меньше заданной точности -
Результаты «ручного расчета» трех итераций
1 итерация f(x0)=0.377 следовательно, 2 итерация f(x1)=-0.5 следовательно, 3 итерация f(x2)=-0.064 следовательно, и т.д. |
Рис.2. Три итерации метода половинного деления
Результаты вычислений представлены в форме табл. 1-2а.
n | an | bn | f(an) | f(bn) | (an+bn)/2 | f( (an+bn)/2) | bn-an |
0 | 0 | 1 | 2 | -1.459 | 0.5 | 0.377 | 1 |
1 | 0.5 | 1 | 0.377 | -1.459 | 0.75 | -0.518 | 0.5 |
2 | 0.5 | 0.75 | 0.377 | -0.518 | 0.625 | -0.064 | 0.25 |
3 | 0.5 | 0.625 | | | | | 0.125 |
После трех итераций приближение к корню – середина отрезка [a3, b3] – x3=0.5625.
Оценка погрешности результата после трех итераций: R = | b3 – a3 | = 0.125.
Это значит, что x3 отличается от неизвестного точного значения корня не больше чем на величину R = 0.125.
Метод простых итераций
1) Исследование задания
Приведем уравнение f(x)=0 к виду . Тогда рекуррентная формула . Для сходимости процесса простых итерации необходимо, чтобы при . Если то сходимость не обеспечена.
Приведем уравнение к виду x = (cos(x)+1)/3 и проведем исследование.
|
В приведенном примере условие сходимости выполняется и можно использовать итерирующую/итерационную функцию в рекуррентной формуле для уточнения корня методом итераций, что и будет показано ниже. Однако, в случаях, когда свободный х выразить не удается, или когда целесообразно воспользоваться следующим приемом, позволяющим обеспечить выполнение условий сходимости.
Построим функцию j(x) = х + lf(x), где параметр может быть определен по правилу: l = , а в знаменатель следует подставить (x), у которого то есть
l =
Тогда рекуррентная формула: φ(x)= x + (1 - 3x + cos x)/3.841.
2) «Ручной расчет» трех итераций
Для получения решения уравнения методом итерации необходимо воспользоваться следующей рекуррентной формулой: ,
|
Результаты вычислений представлены в форме табл. 1-2б.
к | Xк | f(xк) |
0 | 0 | 2 |
1 | 0.667 | -0.214 |
2 | 0.595 | 0.042 |
3 | 0.609 | -7.95 • 10-3 |
Сходимость итерационного процесса подтверждается принадлежностью всех выбранному исходному отрезку изоляции корня [0;1] и стремлением f( ) к нулю.
Получим оценку погрешности результата после трех итераций:
Метод хорд
1) Исследование задания.
Необходимые и достаточные условия сходимости аналогичны методу Ньютона, а именно:
непрерывна на [a;b] и ;
и отличны от нуля и сохраняют знаки для .
В нашем случае на отрезке [0;1] требования сходимости выполняются.
На этапе отделения корня было показано, что для функции f(x)=1–3x+cosx вторая производная <0 на отрезке [0;1] и, следовательно, неподвижной точкой является точка = b = 1, так как .
Таким образом, полагая = a= 0, получим сходящуюся последовательность приближений к корню.
В рассматриваемой задаче рекуррентная формула принимает следующий вид
= +
Оценку погрешности можно проводить по любой из формул или , где m1 и M1 – наименьшее и наибольшее значения на отрезке. В случае, если M1
2) Расчет трех итераций
Для получения решения уравнения методом хорд воспользуемся следующей рекуррентной формулой:
= 0.
|
Результаты вычислений представлены в виде следующей таблицы:
n | Xn | f(xn) |
0 | 0 | 2 |
1 | 0.5781 | 0.10325 |
2 | 0.6059 | 4.0808 •10-3 |
3 | 0.60706 | 1.59047•10-4 |
3) Оценку погрешности результата, вычисленного методом хорд, получим по формуле
. Тогда после трех итераций
| - | <=
Метод Ньютона
1) Исследование задания.
Необходимые и достаточные условия сходимости метода Ньютона:
непрерывна на [a;b] и ;
и отличны от нуля и сохраняют знаки для .
В нашем случае на отрезке [0;1] требования сходимости выполняются.
Начальное приближение должно удовлетворять условию: , т.е. за начальное приближение следует принять тот конец отрезка, где знак функции и знак второй производной совпадают. Поскольку < 0 и < 0, то выберем начальное приближение к корню: =1.
2) Расчет трех итераций
Для получения решения уравнения методом Ньютона воспользуемся следующей рекуррентной формулой:
В нашем случае , =1.
|
Представим вычисления в виде следующей табл. 1-2б.
k | Xk | f(xk) |
0 | 1 | -1.4597 |
1 | 0.62 | -0.046 |
2 | 0.607121 | -6. 788 •10-5 |
3 | 0.60710164814 | -1.484 •10-10 |
Оценим погрешность после трех итераций:
Сравните оценки погрешности методов после трех итераций. Представляется, что комментарии излишни.
0>