Лабораторная_работа_26. Лабораторная работа 26. Ряды динамики, их исследование и прогнозирование

• Название: Лабораторная работа 26. Ряды динамики, их исследование и прогнозирование
• Дата: 08.11.2022
• Размер: 0.59 Mb.
• Имя файла: Лабораторная_работа_26.doc
• Тип: Лабораторная работа; #776999
• страница: 3 из 4

4. Определение в рядах динамики общей тенденции развития.

Определение уровней ряда динамики на протяжении длительного периода времени обусловлено действием ряда факторов, которые неоднородны по силе и направлению воздействия, оказываемого на изучаемое явление.

Рассматривая динамические ряды, пытаются разделить эти факторы на постоянно действующие и формирующие основную тенденцию развития, и случайные факторы, приводящие к кратковременным изменениям уровней ряда динамики.

Наиболее важна при анализе ряда динамики его основная тенденция развития, но часто по одному лишь внешнему виду ряда динамики ее установить невозможно, поэтому используют специальные методы обработки, позволяющие показать основную тенденцию ряда. Методы обработки используются как простые, так и достаточно сложные.

4.1. Метод укрупнения интервалов.

Простейший способ обработки ряда динамики, применяемый с целью установления закономерностей развития - метод укрупнения интервалов.

Суть метода в том, чтобы от интервалов, или периодов времени, для которых определены исходные уровни ряда динамики, перейти к более продолжительным периодам времени и посмотреть, как уровни ряда изменяются в этом случае.

Пример 3. Данные о реализации молочной продукции в магазинах города по месяцам представлены таблицей (в тоннах).

месяц	2005	2006	2007
январь	5,3	5,3	5,4
февраль	5,3	5,1	5,2
март	7,9	8,3	8,2
апрель	8,2	9,0	9,3
май	9,8	9,5	10,1
июнь	12,5	13,0	13,1
июль	11,8	12,2	12,5
август	10,3	10,4	10,8
сентябрь	8,2	8,0	8,3
октябрь	6,5	6,6	6,8
ноябрь	5,4	5,5	5,7
декабрь	5,5	5,5	5,6
итого за год	96,7	98,4	101

Исходные уровни ряда динамики подвержены сезонным изменениям; для определения общей тенденции развития переходят от ежемесячных уровней к годовым уровням:

2005 г. - 96,7 тонн

2006 г. - 98,4 тонны

2007 г. - 101 тонна
Эти цифры, полученные в результате перехода к годовым уровням ряда динамики, показывают общую тенденцию роста реализации молочной продукции.

4.2. Метод скользящих средних.

Другой способ определения тенденции в ряду динамики — метод скользящих средних. Суть метода заключается в том, что фактические уровни ряда заменяются средними уровнями, вычисленными по определённому правилу, например:

— исходные или фактические уровни ряда динамики заменяются средними уровнями:

(4.1)
(4.2)


...

...

...

(4.3)

В результате получается сглаженный ряд, состоящий из скользящих пятизвенных средних уровней . Между расположением уровней и устанавливается соответствие:



— — — — ,

сглаженный ряд короче исходного на число уровней ,

где k - число уровней, выбранных для определения средних уровней ряда.

Сглаживание методом скользящих средних можно производить по четырём, пяти или другому числу уровней ряда, используя соответствующие формулы для усреднения исходных уровней.

Полученные при этом средние уровни называются четырёхзвенными скользящими средними, пятизвенными скользящими средними и т.д.

При сглаживании ряда динамики по чётному числу уровней выполняется дополнительная операция, называемая центрированием, поскольку, при вычислении скользящего среднего, например по четырём уровням, относится к временной точке между моментами времени, когда были зафиксированы фактические уровни и . Схема вычислений и расположений уровней сглаженного ряда становится сложнее:

... — исходные уровни;

— — ... — сглаженные уровни;

— — ... — центрированные сглаженные уровни;
.
Метод скользящих средних не позволяет получить численные оценки для выражения основной тенденции в ряду динамики, давая лишь наглядное графическое представление.
Задание №4. Выявление основной тенденции развития рядов динамики методом укрупнения интервалов и скользящих средних.

Условие задачи: Имеются следующие данные о реализации молочной продукции в магазинах города по месяцам с 2004 — 2007 г.г. (тыс.т.), представленные на рис.4.
Для изучения общей тенденции реализации данной продукции необходимо:

1. 
   Произвести преобразование исходных данных путём укрупнения периодов времени: а) в квартальные уровни, б) в годовые уровни;
   
2. 
   Построить линейный график квартальных уровней;
   
3. 
   Произвести сглаживание квартальных уровней с применением пятизвенной скользящей средней;
   
4. 
   Построить график пятизвенной скользящей средней.
   
5. 
   Сделать выводы о характере основной тенденции изучаемого явления.
   

Ход выполнения:

1. 
   В книгу Ряды динамики.xls добавьте новый лист и переименуйте его в лист Задание 4.
   
2. 
   Создайте таблицу согласно рис.4.
   

Рис.4. Данные для задания №4.

3. 
   Произведите преобразование исходных данных путём укрупнения периодов времени в годовые уровни, рассчитав объемы продаж за 2004-2007 г.г. в соответствующих ячейках.
   
4. 
   Произведите преобразование исходных данных путём укрупнения периодов времени в квартальные уровни, рассчитав объемы продаж по кварталам за 2004-2007 г.г. в соответствующих ячейках.
   
5. 
   Постройте ряд динамики квартальных уровней в диапазоне ячеек А18: С34 согласно рис. 5, добавив в столбец С рассчитанные квартальные объемы продаж.
   

Рис.5. Ряд динамики (по кварталам)

6. 
   На основании квартальных уровней постройте диаграмму (тип – график), отражающую ряд динамики.
   
7. 
   Произведите сглаживание квартальных уровней с применением пятизвенной скользящей средней, используя функцию СРЗНАЧ в диапазоне ячеек D19:D34.
   
8. 
   Произведите сглаживание квартальных уровней с применением пятизвенной скользящей средней, используя инструмент анализа Скользящее среднее. Для этого:
   
   • 
     Выполните команду Сервис/Анализ данных.
     
   • 
     Выберите инструмент Скользящее среднее.
     
   • 
     В диалоговом окне установите параметры согласно рис. 6.
     

Рис. 6. Диалоговое окно «Скользящее среднее».

9. 
   Постройте график пятизвенной скользящей средней, добавив новый ряд на уже существующий график (см. рис.7).
   

Рис.7. Графики ряда динамики и скользящей средней.

10. 
    Сделайте вывод о характере основной тенденции развития изучаемого явления.
    
11. 
    Сохраните изменения в книге Ряды динамики.xls.
    

4.3. Метод аналитического выравнивания.

Применение в анализе рядов динамики методов укрупнения интервалов и скользящей средней позволяет выявить тренд (тенденцию) для его описания, но получить обобщенную статистическую оценку тренда посредством этих методов невозможно. Решение этой более высокого порядка задачи – измерения тренда – достигается методом аналитического выравнивания.

Основным содержанием метода аналитического выравнивания в рядах динамики является то, что основная тенденция развития рассчитывается как функция времени

ŷ_{t =} ƒ (t_i) (4.4)

Определение теоретических (расчетных) уровней ŷ_{t производится на основе так называемой адекватной математической} функции, которая наилучшим образом отображает основную тенденцию ряда динамики. Подбор адекватной функции осуществляется методом наименьших квадратов, сущность которого заключается в минимизации суммы квадратов отклонений между эмпирическими y_i и теоретическими ŷ_{t уровнями:}

= (y_i - ŷ_t )² = min (4.5)

Важнейшей проблемой, требующей своего решения при применении метода аналитического выравнивания, является подбор математической функции, по которой рассчитываются теоретические уровни тренда. От правильности решения этой проблемы зависят выводы о закономерностях тренда изучаемых явлений. Если выбранный тип математической функции адекватен основной тенденции развития изучаемого явления во времени, то синтезированная на его основе трендовая модель может иметь полезное применение при изучении сезонных колебаний, прогнозировании и других практических целях.

Одним из условий обоснованного применения метода аналитического выравнивания в анализе рядов динамики является знание типов развития социально-экономических явления во времени, их основных отличительных признаков. В практике статистического изучения тренда различают следующие эталонные типы развития социально-экономических явлений во времени.

1. Равномерное развитие. Для этого типа развития присущи постоянные цепные абсолютные приросты:

(4.6)

Основная тенденция развития в рядах динамики со стабильными абсолютными приростами отображается уравнением прямолинейной функции.

(4.7)

где a₀ и a₁ – параметры уравнения; t – время.

Параметр a₀ является коэффициентом регрессии, определяющим направление развития. Если a₁ > 0, то уровни ряда динамики равномерно возрастают, а при a₁ < 0 происходит их равномерное снижение.

Если в формуле (4.5) вместо ŷ_t подставить , то получим:
(4.8)

Это функция двух переменных (все и известны), которая при определенных достигает минимума. Из этого выражения на основе знаний, полученных в курсе высшей математики об экстремуме функций n переменных, получают значения коэффициентов .
(4.9)
(4.10)

где n — число моментов времени, для которых были получены исходные уровни ряда .

Если вместо абсолютного времени выбрать условное время таким образом, чтобы , то записанные выражения для определения упрощаются:

(4.11) и (4.12)
2. Равноускоренное (равнозамедленное) развитие. Этому типу динамики свойственно постоянное во времени увеличение (замедление) развития. Уровни таких рядов динамики изменяются с постоянными цепными темпами прироста:

(4.13)

Основная тенденция развития в рядах динамики со стабильными темпами прироста отображается функцией параболы второго порядка:

(4.14)

В формуле (4.9) параметры a₀ и a₁ идентичны параметрам, используемым в формуле (4.7). Параметр a₂ характеризует постоянное изменение интенсивности развития (в единицу времени).

Если a₂ > 0, то происходит ускоренное развитие, а при a₂ < 0 идет процесс замедления роста.

3. Развитие с переменным ускорением (замедлением). Для этого типа динамики основная тенденция развития отображается функцией параболы третьего порядка:

(4.15)

В формуле (4.10) параметр a₃ отображает изменение ускорения. Если a₃ > 0, то ускорение возрастает, при a₃ < 0 ускорение замедляется.

4. Развитие по экспоненте. Этот тип динамики характеризует стабильные цепные темпы роста:

(4.16)

Основная тенденция развития в рядах динамики с постоянными темпами роста отображается показательной функцией:

(4.17)

где a₁ - темп роста (снижения) изучаемого явления в единицу времени, т.е. интенсивность развития.
5. Развитие с замедлением роста в конце периода. У этого типа динамики показание цепного абсолютного прироста сокращается в конечных уровнях ряда динамики:

(4.18)

Основная тенденция развития в таких рядах динамики отображается полулогарифмической функцией:

(4.19)
При аналитическом выравнивании в рядах динамики можно применять и другие математические функции. Так, при изучении основной тенденции развития неудовлетворенного и реализованного спроса населения применяются

Степенная функция: (4.20)
Функция гиперболы: (4.21)
Задание №5. Анализ основной тенденции развития ряда динамики методом аналитического выравнивания.

Условие задачи. По данным о численности населения г. Минска (см. рис. 8) произвести анализ основной тенденции развития города.
Ход выполнения:

1. 
   В книгу Ряды динамики.xls добавьте новый лист и переименуйте его в лист Задание 5.
   
2. 
   Создайте таблицу согласно рис.8.
   
3. 
   Рассчитайте темпы роста населения г. Минска и абсолютный прирост за временной период 1991-2001 г.г. цепным методом
   
4. 
   Рассчитайте средний уровень ряда динамики, средний темп роста и средний абсолютный прирост в ячейках B14, C14, D14 соответственно.
   

Рис.8. Данные о численности населения.

5. 
   Для аналитического выравнивания в данном случае будем применять функцию , что соответствует равномерному развитию.
   
6. 
   Для нахождения коэффициентов a₀ и a₁ , а также теоретических уровней тренда , постройте матрицу расчетных показателей согласно рис. 9 (добавьте в книгу новый лист и присвойте ему имя Трендовая модель).
   

Рис.9. Матрица расчетных показателей.

7. 
   Поскольку формулы (4.11 и 4.12) для расчета коэффициентов a₀ и a₁ получены при , то поступают следующим образом: уровень, стоящий в середине ряда (1996 г.) принимается за условное начало отсчета, тогда даты, стоящие выше этого уровня, обозначаются натуральными числами со знаком «минус», а ниже – со знаком «плюс».
   
8. 
   Рассчитайте моменты времени в столбце D и произведение уровней ряда динамики y_i на моменты времени t_i в столбце Е.
   
9. 
   В строке Итого рассчитайте , , , .
   
10. 
    В ячейках А21 и B21 рассчитайте коэффициенты уравнения a₁ и a₀ по формулам 4.12 и 4.11.
    
11. 
    Проверьте правильность расчетов с помощью функции ЛИНЕЙН в ячейках А23 и B23 .
    
12. 
    Сравните полученные результаты с рис. 10.
    

Рис.10. Коэффициенты уравнения.

13. 
    Запишите полученное уравнение прямолинейной функции в ячейке А25.
    
14. 
    Параметр a₁ показывает, что численность населения г. Минска в 1991-2001 г.г. возросла в среднем на 4510 человек год.
    
15. 
    На основе полученной модели найдите теоретические уровни ряда динамики . Для этого в ячейке F3 запишите формулу для расчета .
    
16. 
    Рассчитайте остальные теоретические уровни ряда динамики в столбце F.
    
17. 
    Рассчитайте сумму теоретических уровней ряда динамики в ячейке F14, сравните полученный результат с суммой эмпирических уровней .
    
18. 
    Постройте в одних координатных осях графики эмпирических уровней и теоретических уровней ряда динамики.
    
19. 
    Добавьте линию тренда для графика эмпирических уровней , установите флажок «Показать уравнение на диаграмме».
    
20. 
    Проанализируйте полученные результаты и сделайте выводы.