ЛР № 5. Лабораторная работа 5 определение момента инерции и проверка теоремы штейнера методом крутильных колебаний теоретическое введение
 Скачать 397.12 Kb.
|
|
1 Лабораторная работа № 5 ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ И ПРОВЕРКА ТЕОРЕМЫ ШТЕЙНЕРА МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ Теоретическое введение Один из методов определения момента инерции тел основан на зависимости периода крутильных колебаний системы тел от величины момента инерции. Для измерения величины момента инерции используется трифилярный подвес, устройство которого показано на рис. 1. Подвижная платформа П подвешена на трех симметрично расположенных нитях к малой платформе П1. Платформа П1 укреплена на кронштейне и снабжена рычагом, при помощи которого системе можно сообщить крутильные колебания небольшой амплитуды. Исследуемое тело помещается на платформе так, чтобы центр масс тела и платформы находились на одной вертикали. При крутильных колебаниях вокруг вертикальной оси общий центр масс системы С перемещается вдоль вертикальной оси OZ. Начало координатной системы О совмещено с центром масс системы тел, находящейся в положении равновесия (рис. 1). Если пренебречь трением, то на основании закона сохранения механической энергии системы тел можно написать следующее уравнение: Рис. 1. 0,5𝐽 ( 𝑑𝛼 𝑑𝑡 ) 2 + 𝑀𝑔𝑧 = 𝐸 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 , (1) где 𝐽 − момент инерции системы, состоящей из платформы и размещенного на ней исследуемого тела, 𝑑𝛼 𝑑𝑡 − угловая скорость системы, 𝛼 − угловая координата, описывающая крутильные угловые колебания платформы, М − масса системы тел (платформа с телом), Е − полная энергия системы тел в 2 произвольный момент времени, соответствующий некоторому угловому перемещению 𝛼 (рис. 1). Первое слагаемое в (1) есть кинетическая энергия вращательного движения системы тел, второе слагаемое – потенциальная энергия системы тел в однородном поле силы тяжести. Содержание работы Выражение (1) необходимо преобразовать для получения расчетной формулы, определяющей экспериментальное значение момента инерции системы тел. Координаты точки А ʹ малой платформы остаются постоянными и имеют следующие значения: х = 0, у = r, z = L. Координаты точки подвеса платформы А равны в положении равновесия х = 0, y = R, z = 0. При повороте системы на малый угол 𝛼 координаты точки подвеса А становятся равными 𝑥 = 𝑅 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛼; 𝑦 = 𝑅 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼; z. Расстояние между точками А и А ʹ равно неизменной длине нити ℓ,определяемой выражением ℓ = √∆Х 2 + ∆У 2 + ∆𝑍 2 . (2) С учетом вышеуказанных координат точек А и А ʹ и формулы (2) справедливо выражение: ℓ 2 = (𝑅 − 𝑟) 2 + 𝐿 2 = 𝑅 2 𝑠𝑖𝑛 2 𝛼 + (𝑅𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝑟) 2 + (𝑧 − 𝐿) 2 (3) Из (3) следует, что 𝑧 2 − 2𝑧𝐿 = −2𝑅𝑟(1 − 𝑐𝑜𝑠𝛼) = −4𝑅𝑟𝑠𝑖𝑛 2 ( 𝛼 2 ). (4) После простых преобразований (4) находим 𝑧 = 4𝑅𝑟𝑠𝑖𝑛 2 ( 𝛼 2 ) 2𝐿−𝑧 (5) Учитывая, что угол поворота системы тел (угловое перемещение) 𝛼 мал и что 𝑧 << 𝐿, получим окончательное выражение для координаты 𝑧 и выражение для потенциальной энергии системы тел. 3 𝑧 = 𝑅𝑟𝛼 2 2𝐿 , ( 𝑀𝑔𝑅𝑟 2𝐿 ) 𝛼 2 . (6) Выражение (1) принимает вид 1 2 𝐽 ( 𝑑𝛼 𝑑𝑡 ) 2 + ( 𝑀𝑔𝑅𝑟 2𝐿 ) 𝛼 2 = 𝐸. (7) Дифференцируя выражение (7) по времени, получим 𝐽 ( 𝑑 2 𝛼 𝑑𝑡 2 ) 𝑑𝛼 𝑑𝑡 + 𝑀𝑔𝑟𝑅 𝐿 𝛼 𝑑𝛼 𝑑𝑡 = 0 Из последнего выражения следует после сокращения на 𝑑𝛼 𝑑𝑡 : 𝐽 ( 𝑑 2 𝛼 𝑑𝑡 2 ) + 𝑀𝑔𝑟𝑅 𝐿 𝛼 = 0 или 𝑑 2 𝛼 𝑑𝑡 2 + 𝑀𝑔𝑟𝑅 𝐽∙𝐿 𝛼 = 0 . (8) Это дифференциальное уравнение гармонического осциллятора. Решение уравнения (8) представляет собой гармоническое колебательное движение 𝛼 = 𝛼 А sin(𝜔𝑡 + 𝜑 0 ), где 𝛼 А − амплитуда углового гармонического колебания, 𝜑 0 − начальная фаза, 𝜔 − циклическая частота, характеризуемая выражением 𝜔 2 = 𝑀𝑔𝑅𝑟 𝐽∙𝐿 Период угловых колебаний равен 𝑇 = 2𝜋 𝜔 = 2𝜋√ 𝐽∙𝐿 𝑀𝑔𝑅𝑟 Решая последнее уравнение относительно 𝐽, получим расчетную формулу: 𝐽 = 𝑀𝑔𝑅𝑟𝑇 2 4𝜋 2 𝐿 . (9) На основании (9) по известным параметрам установки, указанным в ее паспорте 𝑅, 𝑟, 𝐿, 𝑀 и измеренному на опыте периоду колебаний, можно определить момент инерции системы. 4 Формула (9) применима для определения момента инерции системы тел при условии, если затухание колебаний этой системы, обусловленное силами трения, выражено слабо. Критерием применимости (9) является условие: 𝜏 >> Т, (10) где 𝜏 − время релаксации системы, равное времени, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в е раз ( е ≈ 2,7183). Целью работы является определение момента инерции ненагруженной платформы и платформы с исследуемыми телами, что позволяет найти моменты инерции тел и проверить теорему Штейнера. Порядок выполнения работа Принадлежности: 1. Трифилярный подвес. 2. Секундамер. 3. Штангенциркуль или измерительная линейка. 4. Исследуемые тела. Задание 1. Измерение момента инерции ненагруженной платформы. 1. Измерить время 𝑡 0 определенного числа 𝑛 колебаний платформы, свободной от исследуемых тел (ненагруженной), вычислить период колебаний платформы: 𝑇 0 = 𝑡 0 𝑛 Указание. В этом и последующих заданиях для получения достаточной точности измерения Т необходимо измерить время не менее 30 ÷ 40 колебаний. 2. По формуле (9) с учетом паспортных данных установки найти величину момента инерции платформы 𝐽 0 . Полученные значения занести в таблицу 1. Таблица 1 № измерения 𝑡 0 , с 𝑛 𝑇 0 , с 𝐽 0 , кг ∙ м 2 < 𝐽 0 >, кг ∙ м 2 1. 2. 3. Измерение 𝑇 0 провести не менее двух раз. Найти среднее значение < 𝐽 0 >. 4. Оценить справедливость выражения (10). Для этого достаточно качественно определить уменьшение амплитуды за время 30 ÷ 40 5 колебаний. Последнее можно сделать одновременно с определением периода колебаний. Задание 2. Измерение момента инерции цилиндра. 1. Установить два одинаковых цилиндра в центре платформы так, чтобы их оси совпадали с вертикальной осью платформы (см. рис. 2). 2. Измерить время 𝑡 определенного числа 𝑛 колебаний системы тел (платформа и два цилиндра), вычислить период колебаний нагруженной платформы: 𝑇 = 𝑡 𝑛 3. По формуле (9) определить момент инерции системы тел 𝐽 ʹ Рис. 2. 4. По формуле 𝐽 𝑐 = 𝐽 ʹ − 𝐽 0 2 (11) определить собственный момент инерции цилиндра 𝐽 𝑐 Момент инерции тела относительно оси вращения, проходящей через его центр масс, называется собственным. Выражение (11) написано на основании свойства аддитивности момента инерции: момент инерции составного тела равен сумме моментов инерции составных частей. Все указанные моменты инерции взяты относительно одной и той же оси вращения. Систему, состоящую из платформы и цилиндров, можно рассматривать как составное тело. 5. Измеренные и вычисленные пп. 2 ÷ 4 значения физических величин занести в таблицу 2. Таблица 2 № измерения а, м 𝑡, с 𝑛 𝑇, с 𝐽 ʹ , кг ∙ м 2 𝐽 𝑎 , кг ∙ м 2 1. 0 𝐽 𝑎 = 𝐽 𝑐 2. 3. 4. 5. и т.д. Задание 3. Проверка теоремы Штейнера. 6 Согласно теореме Штейнера момент инерции тела 𝐽 относительно заданной оси вращения равен моменту инерции этого тела 𝐽 𝑐 относительно оси вращения, проходящей через центр масс тела и параллельной заданной, сложенному с величиной 𝑚𝑎 2 , где 𝑎 − расстояние между параллельными осями, 𝑚 − масса тела. 𝐽 = 𝐽 𝑐 + 𝑚𝑎 2 (12) 1. Для проверки соотношения (12) цилиндры располагают на расстоянии а от оси вращения (то есть оси платформы) строго симметрично по ее диаметру (см. рис. 3). 2. Линейкой или штангенциркулем измеряют расстояние между осями цилиндров, равное 2а. 3. Измерить время 𝑡 определенного числа 𝑛 колебаний системы тел (платформа и два цилиндра), вычислить период колебаний нагруженной платформы: 𝑇 = 𝑡 𝑛 4. По формуле (9) определить момент инерции системы тел 𝐽 1 Рис. 3. 5. По формуле 𝐽 𝑎 = 𝐽 1 − 𝐽 0 2 (13) определить момент инерции цилиндра 𝐽 𝑎 , центр масс которого смещен относительно оси платформы (то есть оси вращения) на расстояние а. 6. Измерение момента инерции цилиндра повторить при других значениях а. 7. Результаты, полученные в пп. 1 ÷ 6, занести в таблицу 2. 8. На основании табличных данных строят график зависимости момента инерции цилиндра 𝐽 𝑎 от а 2 Если теорема Штейнера справедлива, то в пределах точности измерений экспериментальные результаты должны в координатах графика 𝐽 𝑎 = 𝑓(а 2 ) подчиняться линейному закону, заданному формулой (12). Тангенс угла наклона линейной зависимости в координатах 𝐽 𝑎 , а 2 (см. рис. 4) должен быть равен массе цилиндра. Рис. 4. 9. Из графика по тангенсу угла наклона полученной линейной зависимости определить массу цилиндра и сопоставить полученное значение массы цилиндра с указанным в паспорте установки. 7 Задание 4. Оценка погрешности измерения момента инерции системы тел. 1. На основании соотношения (9) составить формулу для относительной погрешности измерения момента инерции системы тел. 2. Получить формулу для относительной погрешности измерения периода колебаний, учитывая равенство: 𝑇 = 𝑡 𝑛 3. С помощью ранее полученных формул оценить максимальную абсолютную погрешность момента инерции ненагруженной платформы (см. задание 1). Абсолютные погрешности величин 𝑀, 𝑔, 𝑅, 𝑟, 𝐿 указаны в паспорте установки. Контрольные вопросы 1. Сформулируйте основной закон динамики вращательного движения. Укажите физический смысл момента инерции твердого тела. 2. Дайте определение момента инерции относительно оси вращения. 3. Охарактеризуйте свойство аддитивности момента инерции твердого тела. 4. Докажите свойство аддитивности момента инерции твердого тела. 5. Дайте определение собственного момента инерции твердого тела. 6. Сформулируйте теорему Штейнера. 7. Что называется моментом силы относительно оси вращения? 8. Дайте сравнительную характеристику вращательному и колебательному движениям. 9. Опишите характер крутильных колебаний платформы. 10. Почему формула (9) справедлива только при слабом затухании крутильных колебаний? 11. Сопоставьте экспериментальное значение собственного момента инерции цилиндра с значением, равным 1 2 𝑚𝑅 2 , где 𝑅 − радиус цилиндра, 𝑚 − его масса. |