17. Лекция по элементарной математике. Лекции по элементарной математике Глава Элементы теории чисел 5 Метод математической индукции 5
 Скачать 186.94 Kb.
|
§ 5 Наименьшее общее кратное (НОК)Определение 1. Пусть a1,..., an – целые числа, отличные от нуля. Целое число М называется общим кратным этих чисел, если оно де- лится на каждое из данных чисел. Определение 2. Целое число т называется наименьшим общим кратным чисел a1,..., an , если оно является их общим кратным и если любое общее кратное этих чисел делится на т. Покажем, что если наименьшее общее кратное чисел a1,..., an суще- ствует, то оно однозначно определено с точностью до знака. В самом деле, пусть т1 и т2 – наименьшие общие кратные чисел a1,..., an . То- гда по определению 2 должны выполняться соотношения m1 и m2 m1 . Эти соотношения могут выполняться лишь при условии, что т1 = т2 или т1 = – т2. В дальнейшем мы будем выбирать положительное значение наи- меньшего общего кратного и обозначать его так: Докажем следующую теорему: Теорема 1. Число (a, b) где (a, b) – наибольший общий дели- тель двух натуральных чисел а и b, является наименьшим общим кратным этих чисел. Доказательство. Пусть (a,b) , тогда a nlи b ld, , где (n,l) Следовательно, (a, b) d Это равенство показывает, что ляется общим кратным чисел а и b. (a, b) делится на а и на b, т.е. яв- Покажем теперь, что любое кратное М > 0 чисел а и b делится число s, что as nds.Поскольку M b и b то nds ld , и потому ns l. . Но (n,l) 1, и потому в силу теоремы 3 § 3 s l. Зна- чит, существует такое натуральное число k, что s = lk. Но тогда М = nds = ndlk и, поскольку (a, b) число М делится на . (a, b) Мы показали, что m а и b. Теорема доказана. (a, b) наименьшее общее кратное чисел Следствие 1. Любые два отличные от нуля целые числа имеют наи- меньшее общее кратное. В самом деле, этим наименьшим общим кратным является число a, b (a, b) Следствие 2. Наименьшее общее кратное двух чисел а и b (a является наименьшим по -величинеположительным общим кратным этих чисел. В самом деле, Любое общее кратное М > 0 чисел а и b делится на m (a, b) , а потому M Свойство 1. Если каждое из чисел а и b умножить на одно и то же числоk то их НОК умножится наk. Действительно: ak bk abk2 abak,bk k. (ak,bk) (a,b)k (a,b) Свойство 2. Если a и mo Доказательство аналогично доказательству свойства 1. Теорема 2. Если [a1,..., an и [ , an ] m, то [a1,..., an ] Д о к а з а т е л ь с т в о . Число [ , an] m, делится на апи на . Но делится на каждое из чисел a1,..., an 1 . Поэтому т делится на любое из чисел a1,..., an т. е. является их общим кратным. числа a1,..., an 1, , а значит, и на [a1,..., an . Так как М делится и на ап, то М делится на [ , an ] m . Этим доказано, что т – наимень- шее общее кратное чисел a1,..., an . Из теоремы 2 точно так же, как и в случае наибольшего общего делителя, вытекает следующее утвержде- ние: Теорема 3. Если [a1, a2 ] то [a1,..., an ] [mn Пример1. Найти наименьшее общее кратное чисел 546 и 231. [546, 231] 546 231 . (546, 231) Для этого необходимо найти наи- |