17. Лекция по элементарной математике. Лекции по элементарной математике Глава Элементы теории чисел 5 Метод математической индукции 5
 Скачать 186.94 Kb.
|
|
Г а н е е в Р . М., Г а н е е в а А . Р. Лекции по элементарной математике Глава 1. Элементы теории чисел 5 § 1. Метод математической индукции 5 § 2. Делимость 6 Деление с остатком 8 § 3. Наибольший общий делитель. Алгоритм евклида 9 Наибольший общий делитель (НОД) 9 Алгоритм Евклида. 10 Свойства НОД 11 § 4. Взаимно простые числа и их основные свойства 13 § 5 Наименьшее общее кратное (НОК) 14 § 6. Простые и составные числа 17 § 7 Систематические числа 22 § 8 Обращение обыкновенной дроби в десятичную и определение периода дроби 27 Глава 2. Алгебраические уравнения и неравенства 33 §9 Уравнения. Исходные понятия. Равносильность уравнений. Алгебраические уравнения первой и второй степени 33 §10 Двучленные и трёхчленные уравнения. Возвратные уравнения. Симметрические уравнения. Двучленные уравнения. 36 §11 Системы уравнений. Основные понятия. Равносильность систем 41 Основные методы решения систем 41 §12 Методы доказательства неравенств. 44 Неравенство Коши 44 Методы доказательства неравенств 44 §13 Теоремы о среднем геометрическом и среднем гармоническом, о среднем арифметическом и 47 среднем квадратичном 47 §14 Уравнения и неравенства, содержащие неизвестное под знаком модуля. 49 Иррациональные уравнения и неравенства 49 Уравнения и неравенства, содержащие неизвестное под знаком модуля ....................................................................................................................... 49 Иррациональные уравнения и неравенства 53 §15 Преобразования графиков функций. Графический способ решения уравнений и неравенств 56 §16 Решение показательных уравнений и 64 неравенств. 64 §17 Решение логарифмических уравнений и 66 неравенств 66 Глава 3. Тригонометрия 71 §18 Соотношения между тригонометрическими функциями одного аргумента. 71 Формулы приведения 71 §19 Теоремы сложения для тригонометрических функций. Тригонометрические 74 функции кратных аргументов. 74 Формулы половинных аргументов 74 §20 Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму. Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение 77 §21 Аркфункции; их определения, 79 свойства и графики 79 §22 Тригонометрические операции 86 над аркфункциями 86 §23 Соотношения между аркфункциями 89 §24 Выполнение обратных тригонометрических операций над тригонометрическими функциями 94 Литература 99 Глава 1. Элементы теории чисел§ 1. Метод математической индукцииОдним из наиболее важных методов доказательства в математике является метод математической индукции. Он заключается в следую- щем. Пусть нужно доказать справедливость некоторого утверждения для любого натурального числа п (например, нужно доказать, что сумма первых п нечетных чисел равна n2). Непосредственная провер- ка этого утверждения для каждого значения п невозможна, поскольку множество натуральных чисел бесконечно. Чтобы доказать это ут- верждение, проверяют сначала его справедливость для n 1 . Затем доказывают, что из справедливости рассматриваемого утверждения для n=kпри любом kвытекает его справедливость для n То- гда справедливость этого утверждения считается доказанной для всех значений п. Описанный метод доказательства носит название метода ма- тематической индукции. Формулируется он в виде следующего прин- ципа. А к с и о м а м а т е м а т и ч е с к о й и н д у к ц и и Утверждение, зависящее от натурального числа п, справедливо для любого п, если выполнены два условия: а) утверждение справедливодляn 1; б) из справедливости утверждения для n=k (при любом на- туральном значении k) вытекает его справедливость и для n Доказательство по методу математической индукции проводится следующим образом. Сначала доказываемое утверждение проверяется для n Эту часть доказательства называют базисом индукции. За- тем следует часть доказательства, называемая индукционным шагом. В этой части доказывают справедливость утверждения для n в предположении справедливости утверждения для n=k (предположе- ние индукции). При проведении индукционного шага нужно внима- тельно следить за тем, чтобы рассуждение оставалось верным для лю- бых значений k т. е. чтобы никакие конкретные свойства числа k (скажем, четность, отличие от некоторого натурального значения и т. д.) не использовались в процессе доказательства. Приведем примеры доказательства методом математической ин- дукции. Пример 1. Докажем справедливость утверждения Sn для любого натурального п. Решение. а) S1 Следовательно, утверждение верно при n 1 . б) Пусть k – любое натуральное число и пусть утверждение справедливо для n=k, т. е. Sk Докажем тогда, что утверждение справедливо и для следующего натурального числа n k Sk 1 1 3 5 ... (2k 1, т. е. что 1) (2k(k 1)2. В самом деле, Sk 1 Sk (2k 1) k2 (2k (k 1)2 . На основании принципа математической индукции отсюда вы- текает справедливость утверждения для всех значений п. Иногда нужно доказать справедливость некоторого утверждения не для всех натуральных чисел, а лишь для n где p фиксированное натуральное число. В этом случае принцип математической индукции формулируется следующим образом: Если утверждение справедливо приn p и если изсправедливости утверждения для n где k следует его справедливость для га нельзя использовать никакие конкретные свойства числа k , свойства k кроме |