Решето Эратосфена.
Греческим математиком Эратосфеном ( III в. до н. э.) был найден способ выделения простых чисел из любого отрезка 1, 2, 3, ... , п на- турального ряда путем вычеркивания числа 1, затем всех чисел, крат- ных числу 2 (кроме 2), затем – кратных числу 3 (кроме 3), и т. д.
Таким образом, надо вычеркнуть все числа, кратные простым чис-
лам: p1
Практические советы
Каждое ps-e число после ps(считая и уже зачеркнутые ранее) кратно psи подлежит вычеркиванию.
Дойдя до невычеркнутого простого числа, большего или рав- ного Y
n, следует остановиться, так как все числа, оставшиеся невы- черкнутыми, уже простые (на основании теоремы 6).
П р и м е р . Выделим простые числа из отрезка натурального ряда: 1, 2, 3, ..., 40.
Выписываем все натуральные числа от 2 до 40 и вычеркиваем ука- занным способом все составные числа (вычеркивание заменяем под- черкиванием).
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23,
24, 25, 26, 27, 28. 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40.
Числа 3, 5,7,11,13, 19, 23, 29, 31, 37 простые.
§ 7 Систематические числа
Непозиционные системы счисления.
Для записи натуральных чисел применяются различные системы счисления, которых можно разбить на две группы: непозиционные и по- зиционные. В не позиционных системах счисления значение каждого применяемой знака не зависит от его места в записи числа. Из много- численных непозиционных систем счисления некоторое значение со- хранил, в настоящее время лишь римская нумерация.
В этой системе счисления используют следующие знаки: I единица, V – пять, X – десять, L – пятьдесят, С – сто, D – пятьсот, М – тысяча. Знак для единицы означает один палец, для пяти – раскрытую ладонь,
для десяти – две ладони. Знаки для ста и тысячи – первые буквы ла- тинских слов centum – сто и mille – тысяча.
Правила записи чисел в римской системе счисления таковы:
а) если знак, изображающий меньшее число, стоит после знака, изображающего большее число, то производится сложение
VI = 5 + 1 = 6, XV = 10 + 5 = 15, CLV =100 + 50 +5 = 155,
MCCV = 1000 + 100 + 100 + 5 = 1205;
б) если знак, изображающий меньшее число, стоит перед зна- ком, изображающим большее число, то производится вычитание:
IV = 5 – 1 = 4; IX = 10 – 1 = 9; XL = 50 – 10 = 40; ХС = 100 – 10 =
90; MCDXXIX = 1000 + 500 – 100 + 10 + 10 + 10 – 1 = 1429.
Непозиционной была система счисления и у древних грек Они обозначали числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 первыми девятью буквами гре- ческого алфавита, например а = 1, (5 = 2, у = 3, б = и т. д. Для обозна- чения чисел 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 применялись следующие девять букв (например, i = 10), а для об значения чисел 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900 – последние девять букв (например, а – 200). По записи было невозможна усмотреть, что число а (это— обозначение для 200) в 100 раз больше числа (т. е. 2). Некоторые
элементы позиционной записи встречаются у древних греков при обо- значении чисел, большие 1000.
Культура древней Руси была тесно связана с византийской т. е. греческой, культурой, поэтому и принцип обозначения чисел был по- хож на греческий: числа обозначались с помощью букв, над которыми ставился особый знак (титло). В славянском счислении применялись сле- дующие названия для обозначения высших десятичных разрядов: 10 тысяч назывались тьмой, 10 тем – легионом, 10 легионов – леодром.
|
Скачать 186.94 Kb.