17. Лекция по элементарной математике. Лекции по элементарной математике Глава Элементы теории чисел 5 Метод математической индукции 5

• Название: Лекции по элементарной математике Глава Элементы теории чисел 5 Метод математической индукции 5
• Дата: 30.03.2021
• Размер: 186.94 Kb.
• Имя файла: 17. Лекция по элементарной математике.docx
• Тип: Лекции; #189455
• страница: 25 из 25

§24 Выполнение обратных тригонометрических операций над тригонометрическими функциями

При взятии обратных тригонометрических функций от тригоно- метрических функций, то есть при преобразовании выражений

вида arcsin(sin x), arccos(cos x), arctg(tg x), arcctg(ctg x) нужно учи-

тывать, в какой четверти находится аргумент х (если мыслить его дугой тригонометрической окружности) и в каком промежутке на- ходится значение данной аркфункции.

Рассмотрим результат взятия функции arcsin от синуса, то есть

функцию y arcsin(sin x) .

По определению арксинуса, y есть число из промежутка (или дуга правой полуокружности), синус которого равен

sin x : sin y .'

Областью определения функции arcsin(sin x) является интервал

x , так как при всех действительных значениях х значение

промежуточного аргумента u содержится на сегменте

1 u 1. При произвольном действительном хзначение у(в общем

случае) отлично от значения х. Так, например, при x имеем:

но при x ² 3

Так как синус — периодическая функция, то arcsin(sin x) также

является периодической функцией с периодом 2 , поэтому

достаточно исследовать ее на сегменте длиной 2 .

Если

^x , то y x ; таким образом, на этом сегменте

график функции является отрезком биссектрисы первого и третьего координатных углов.

Если

x ; ³

2 2

, то (

, а так как

sin x sin x, то y x.

Далее пользуясь переодичностью, в общем случае получаем: для

y x 2

n, n Z,

(то есть когда x )

Итак, имеем:

arcsin(sin x)


График функции y arcsin(sin x) изображён на рисунке 17:

y

y=arcsin(sin x)

^ O ^{ x}

Рассмотрим функцию y

arccos(cos x) .

Рис. 17

^{Областью определения этой функции является} R ^{— множество} всех действительных чисел. Функция периодическая с пе- риодом 2 . Функция чётная (так как чётной является функция ^{cos x} ). Поэтому достаточно исследовать её на промежутке длиной .

Если x

[0; ] , то, поскольку cos y

cos x и 0 y , полу-

чим: y x . При x

y x.

[ ; 0] (то есть когда

24. 
    [0; ] ) будем иметь:
    

Вообще, при x

[2 n; 2

n] (то есть при 0

) по

предыдущему получим:

24. 
    x 2
    

n, n Z.

Если же ж x

[ 2 n; 2

n] (а значит

x 2 n

0), то

y x 2 n, n Z.

Итак,

arccos(cos x)

Графиком функции у = arccos(cos х) является ломаная, изо- бражённая на рис. 18

Рассмотрим функцию y arctg(tg x)
Согласно определению арктангенса tg y tg x, где .

Выражение arctg(tg x) имеет смысл при всех действительных
значениях, за исключением x . Следовательно,

областью определения данной функции является объединение

интервалов ...
Данная функция периодическая с периодом , нечётная.

При x в силу равенства тангенсов от у и от х получаем:

y x. Вообще, для ^x

(то есть при

(x

arctg(tg x)

) получим: y x n, где n

. Итак:
.

График функции

y arctg(tg x) состоит из

бесконечного множества па- раллельных между собой от- резков (см. рис. 19).
Точки являются

функции y

точками разрыва первого рода

arctg(tg x) , так как в этих точках предел функции не

существует, но существуют различные между собой правые и левые

пределы. Так, в точке левый предел

2

_lim (arctg(tg x))

x 0

2
а правый предел

_lim (arctg(tg x)) .

x 0

2

Рассмотрим функцию y arcctg(ctg x).

Согласно определению арккотангенса ctg x ctg y, где

0 . Аналогично предыдущей функции имеем:

arcctg(ctg x) x n , если
Точки k (где k Z ) являются точками разрыва первого рода

функции y arcctg(ctg x). Её график изображён на рис. 20.

Исследование функций y

y arctg(ctg x), y arcctg(tg y) не представляет затруднений благо-

даря тождествам (1) и (2) параграфа 15.

Рис. 20

Литература

1. 
   Вавилов, В.В. Задачи по математике. Алгебра: Справ. пособие
   

/ В.В. Вавилов, И.И. Мельников, С.Н. Олехник, П.И. Пасичен- ко. – М.: Наука, 1987. – 432 с.

2. 
   Вавилов, В.В. Задачи по математике. Уравнения и неравенства: Справ. пособие / В.В. Вавилов, И.И. Мельников, С.Н. Олехник, П.И. Пасиченко. – М.: Наука, 1987. – 240 с.
   
3. 
   Виленкин, Н.Я. Алгебра и теория чисел. / Н.Я. Виленкин. – М.: «Просвещение», 1974. – 200 с.
   
4. 
   Виленкин, Н.Я. Элементарная математика / Н.Я. Виленкин, В.Н. Литвиненко, А.Г. Мордкович. – М.: «Просвещение», 1970. – 222 с.
   
5. 
   Куликов, Л.Я. Алгебра и теория чисел: Учебное пособие для педагогических институтов. / Л.Я. Куликов. – М.: Высшая школа, 1979. – 559 с., ил.
   
6. 
   Мантуров, О.В. Толковый словарь математических терминов / О.В. Мантуров, Ю.К. Солнцев, Ю.И. Соркин, Н.Г. Федин. – М.: Просвещение, 1965. – 540 с.: ил.
   
7. 
   Новосёлов, С.И. Специальный курс тригонометрии / С.И. Но- восёлов. – М.: Высшая школа, 1967. - 536 с.: ил.
   
8. 
   Новосёлов, С.И. Специальный курс элементарной алгебры / С.И. Новосёлов. – М.: Высшая школа, 1962. – 564 с.: ил.
   
9. 
   Панчишкин, А.А. Тригонометрические функции в задачах / А.А. Панчишкин, Е.Т. Шавгулидзе. – М.: Наука. Гл. ред. физ.- мат. лит., 1986. – 160 с.
   
10. 
    Шарыгин, И. Ф. Решение задач: Учеб. пособие / И.Ф. Шары- гин. – М.: Просвещение, 1994. – 252 с.: ил.