17. Лекция по элементарной математике. Лекции по элементарной математике Глава Элементы теории чисел 5 Метод математической индукции 5
 Скачать 186.94 Kb.
|
§19 Теоремы сложения для тригонометрических функций.Тригонометрические функции кратных аргументов. Формулы половинных аргументов Теоремы сложения для тригонометрических функций Основными теоремами сложения являются следующие:
(5) (6) Докажем формулу (2). Рас- смотрим точки P , P , P , P0 на тригонометрической окружно- сти, соответствующие при отображении наматывания (см. [7]) числам динаты: и 0; их коор- Дуги P0 P и PP равны, по- этому равны и стягивающие их хорды. Выразив квадраты расстояний между точками чим: (cos( P0 и P , P и P и приравняв их, полу- . Отсюда имеем (после раскрытия скобок и применения тождества cos2 t sin2 t 1) равенство 2 2cos( ) 2 2cos cos 2sin sin , из которого и получаем соотношение (2): cos( ) cos cos sin sin . Формулу (2) называют формулой косинуса разности. С помощью формулы (2) легко получить соотношение (1) — формулу косинуса суммы: cos( Для вывода формулы (3) используем соотношение (2) и формулы приведения: sin Из формулы (З) получим формулу (4): . Применяя формулы (1) и (3), выведем формулу (5): Аналогично получается и формула (6) (она также может быть по- лучена из формулы (5) заменой на ). Заметим, что для формул (5) и (6) k , n, 2 2m , k, n, m Z. 2Тригонометрические функции кратных аргумен- тов В формулах (1), (3), (5) положим , получим: cos 2 cos2 sin2 ; (7)sin 2 2sin cos ; (8) tg 2 2tg (9)1 tg2 Формулы половинных аргументов Основными формулами являются: sin(10) Чтобы вывести эти формулы, воспользуемся уже известными равенствами cos2 Складывая и вычитая, получим соответственно: 2 cos2откуда и получаются формулы (10) и (11). Выведем формулы (12) для tg 2sin tg 2 2sin cos2 2 sin ; 2 cos 2 cos2 2 2sin 2sin2 1 cos1 cos tg 2 2 . 2 cos 2sin cos2 2 2 sin |