17. Лекция по элементарной математике. Лекции по элементарной математике Глава Элементы теории чисел 5 Метод математической индукции 5

• Название: Лекции по элементарной математике Глава Элементы теории чисел 5 Метод математической индукции 5
• Дата: 30.03.2021
• Размер: 186.94 Kb.
• Имя файла: 17. Лекция по элементарной математике.docx
• Тип: Лекции; #189455
• страница: 19 из 25

Глава 3. Тригонометрия

§18 Соотношения между тригонометрическими функциями одного аргумента. Формулы приведения

По известному значению одной из тригонометрических функций некоторого фиксированного значения аргумента могут быть найдены значения остальных тригонометриче- ских функций. При этом применяются основные тригоно- метрические тождества:

cos² x

tg x

sin x _, cos x

x n,

2
n Z;

(1)
(2)

ctgx

tgx
1

cos x _, sin x

x k,

2

k Z;

(3)
(4)
(5)

cos² x

¹ sin² x

2

(6)

Тождество (1) следует из того, что ^{cos x} и sin x яв- ляются абсциссой и орди-

натой точки P_t

тригоно-

метрической окружности (см. [7] и рис. 11). Дейст-

_x вительно, так как радиус этой окружности равен 1, то сумма квадратов

координат точки на 1.

P_t рав-

Тождества (2) и (3)

выражают определения тангенса и котангенса. Тождество (4) получается из (2) и (3) при их почленном перемножении.

Докажем тождество (5), при этом будем использовать тожде- ства (2) и (1):
1 .

Тождество (6) доказывается аналогично.

Пример. Известно, что ти sin x, tg x, ctg x .

cos x

¹² , причём

13

x ³ . Най-

2

Решение. Так как аргумент принадлежит промежутку
(третьей четверти, если воспользоваться тригонометрической ок- ружностью), то из (1) получим:

sin x

тогда из (2) и (3)

tgx ⁵ , ctgx ¹² .

12 5

Формулы приведения

Формулами приведения называют такие формулы, кото- рые служат для упрощения тригонометрических функций от

аргументов вида k .

Все формулы приведения можно получить, применяя тео- ремы сложения для тригонометрических функций, или по свойствам периодичности этих функций.

Перечислим формулы приведения для синуса, беря

k

Докажем, например, третью из этих формул. Для этого используем одну из теорем сложения: sin(

Оставшиеся семь формул доказываются аналогично (при доказательстве седьмой и восьмой можно использовать, что 2

— период синуса). Все остальные формулы приведения для синуса сводятся к этим восьми, при этом используется свой- ство периодичности синуса. Например,

sin

Аналогично обстоит дело с формулами приведения для косинуса, тангенса и котангенса. Приведём основные из них:

tg ctg , tg

2 2

ctg , k,

tg( )

tg ,

tg( ) tg , k; 2

Чтобы составить любую из формул приведения, нужно иметь в виду, что упрощаемая тригонометрическая функция

_{f k} приводится к тригонометрической функции от

2

, перед которой ставится знак или знак ; нужно лишь знать, каким будет название функции и какой знак перед ней

поставить. Это определяется при помощи мнемонического правила, которое состоит в следующем:

1. 
   если k четно, то название функции не меняется, если же k не- чётно, то название функции меняется на сходное ( т. е. " синус" на "косинус" и наоборот, "тангенс" — на "котангенс" и на- оборот):
   
2. 
   в предположении, что 0 , определяют, в какой четвер-
   

ти лежит точка

P , выясняют, какой знак имеет упрощаемая функ-

k

2

ция f в этой четверти, и ставят этот знак перед полученным ре- зультатом.

Пример. Упростить выражение cos .
Решение. Так как k — нечётное, то название функции меня-

ется на сходное, т. е . с " косинуса" на " синус". А так как

число ⁹

2

переходит при отображении наматывания в

точку, лежащую во второй координатной четверти (в пред-

положении, что 0 ), причём знак косинуса во второй чет-

2

верти отрицательн ый, то перед полученным результ атом

нужно поставить знак "минус". Итак, cos .
Ответ: .